Катастрофа типа $A_{3}$ задается следующим семейством функций, зависящих от двух управляющих параметров $a$ и $b$ :
\[
A_{+3}: \quad F(x ; a, b)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x .
\]

Любая точка пространства параметров $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$, за исключением точек сепаратрисы (рис. 5.4), параметризует функции с одной или тремя изолированными критическими точками. График функции (6.2a) изображен на рис. 6.2 при различных значениях управляющих параметров $(a, b)$ : внутри области, имеющей форму сборки, $F(x ; a, b)$ имеет три изолированные критические точки, а вне этой области – всего одну; на границе функция семейства имеет изолированную критическую точку и дважды вырожденную критическую точку, а в начале координат – трижды вырожденную критическую точку. Положение критических точек находится путем решения кубического уравнения вида
\[

abla F=x^{3}+a x+b=0 .
\]

Уравнение (6.2б) задает двумерное многообразие, расположенное в трехмерном пространстве с координатными осями $x-a$ – $b$ (рис. 6.2,б).

Критические значения функции $F$ определяются путем решения кубического уравнения (6.26) для критических точек

Рис. 6.2.
$a$-функции семейства $F(x ; a, b)$ для различных значений управляющих параметров $(a, b) ; \sigma$ – двумерное многообразие катастрофы сборки, решение уравнения $
abla F=0$ изображено вложенным в пространство $R^{3}=R^{1} \otimes R^{2}$. Проекция этого многообразия вниз на плоскость управляющих параметров R! представляет линию складки. Искаженная линия складки $(a / 3)^{3}+(b / 2)^{2}=0$ в плоскости управляющих параметров является тенью надскладочной части многообразия. Штриховая линия $a<0, b=0$ в плоскости управляющих параметров представляет множество Максвелла или нелокальную сепаратрису и служит границей раздела между функцнями, имеющими более глубокий левосторонний минимум, и функциями, нмеющими более глубокий правосторонний минимум; $\boldsymbol{\theta}-$ изображение поверхности критических значений в плоскости управляющих параметров; 2 изображение поверхности критической кривнзны.

и оценивания (6.2a) в этих критических точках. Получаемое «критическое множество» (не являющееся многообразием) изображено на рис. 6.2, в. Проекция этого критического множества на плоскость управляющих параметров позволяет сделать вывод о свойствах локальных и нелокальных сепаратрис, описанных выше. Собственные значения матрицы устойчивости $F$ находятся путем вычисления $d^{2} F / d x^{2}=3 x^{2}+a$ в критических точках [уравнения (6.2в)]. Получаемое множество изображено на рис. 6.2, e.

Заметим, что геометрия сборки (рис. $6.2, a-2$ ) полностью аналогична геометрии складки (рис. 6.1,a-2). Однако если кривые, изображенные на рис. 6.1.б-2, являются геометрическим представлением точных выражений (6.1б-6.1в), то соответствующие им кривые на рұс. $6.2,6-2$ являются по своей природе качественными, т. е. в последнем случае мы располагаем лишь способом построения изображенных поверхностей. Вместе с тем ощущается острая необходимость в количественных выражениях для поверхностей, изображенных на рис. 6.2 , $6-2$. Оказывается это можно сделать, используя пересчетные соотношения. Основываясь на наблюдениях, сделанных в гл. 5, можно отметить следующее преобразование подобия:
\[
x \rightarrow \lambda x, \quad a \rightarrow \lambda^{2} a, \quad b \rightarrow \lambda^{3} b, \quad F \rightarrow \lambda^{4} F .
\]

Это позволяет сразу же получить количественные выражения для пересечений плоскостей $a=+1, a=0, a=-1$ с тремя поверхностями, изображенными на рис. 6.2, б – 2. Если количественные выражения для каждой плоскости найдены, то численные значения любой точки на этой поверхности могут быть определены из соотношений (6.3). Продемонстрируем, как прак. тически реализуется данный метод.

В плоскостях $a=+1, a=0, a=-1$ критические точки задаются как функции одного параметра $b$ :
\[
\begin{aligned}
x^{3}+x+b & =0, & & (6.4, a=+1) \\
x^{3}+b & =0, & & (6.4, a=0) \\
x^{3}-x+b & =0, & & (6.4, a=-1)
\end{aligned}
\]

Чтобы получить выражение $x$ через $b$, нет необходимости решать уравнения (6.4); достаточно изобразить их графически, представив $b$ как функцию $x$. Если затем эти графические представления собрать воедино, то в результате получим не что иное, как аналог рис. 6.26 , присем оси $x, a$ и $b$ будут иметь масштаб, указанный в преобразованиях (6.3).

Пример 1. Найти критические точки, если $(a, b)=(-3,1)$.
Решение. Пусть $x_{0}, b_{0}$ – точки на плоскости $a=-1$, которые мы будем пересчитывать до соответствующих точек на плоскости $a=-3$. Тогда имеем
\[
\begin{array}{c}
-3=\lambda^{2}(-1) \Rightarrow|\lambda|=\sqrt{3}, \\
1=\lambda^{3} b_{0} \Rightarrow b_{0}=3^{-3 / 2}=0,19 .
\end{array}
\]

Для $b_{0}=0,19$ три критических значения $x$ могут быть взяты из рис. 6.3, а именно $x_{10}=0,88, x_{20}=0,20, x_{30}=-1,08$.
Соотношения пересчета дают
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=\lambda x_{10}=1,53, \quad x_{2}=\lambda x_{20}=0,35, \\
x_{3}=\lambda x_{30}=-1,88 .
\end{array}
\]

Эти критические значения могут быть проверены посредством подстановки их в уравнение (6.26).

В плоскостях $a=+1, a=0, a=-1$ критические значения $b$ могут быть определены из соотношений (6.4) и рис. 6.3. В частности, для любого значения $b$ критические точки определяются из рис. 6.3, а значения в этих точках определяются из (6.2a) при $a=1,0,-1$ (рис. 6.4).
Пример 2. Найти критические значения, если $(a, b)=(-3,1)$.
Peшение. При $(a, b)=(-1,0,19)$ критические значения равны 0,02 , $-0,07$ и $-0,45$. Так как критические значения пересчитываются в соответствии с $\lambda^{4}=(\sqrt{3})^{4}$, то критические значения при $(a, b)=(-3,1)$ будут равны 0,18 , – 0,63 и – 4,05 ; они могут быть также вычислены непосредственно из соотношений (6.6).

Аналогично может быть определена кривизна функции в критической точке. Критические точки находим из рис. 6.3 , а кривизну в любой из них определяем с помощью формулы $d^{2} F / d x^{2}=$ $=3 x^{2}+a$. Результаты вычислений в плоскостях $a=+1, a=$ $=0, a=-1$ изображены на рис. 6.5 .

Рис. 6.3. Критические точки $F$ как функция параметра $b$.

Рис. 6.4. Критические значения $F$ как функция параметра $b$.

Рис. 6.5. Критическая кривизна $F$ как функция параметра $b$.
$\diamond \diamond \diamond$ Заметим, что на основе кривых, приведенных на рис. $6.3-$ 6.5 , и пересчетных соотношений (6.3) могут быть построены поверхности, изображенные на рис. 6.2.
Пример 3. Найти кривизну в критических точках функций $F$, задаваемых точками прямолинейной траектории (рис. 6.6, a):
\[
b(t)=-b_{0}+b_{1} t, \quad a(t)=-a_{1} t
\]

в пространстве управляющих параметров.
Решение, Для каждого $t>0$ можно определить пересчетный множитель $\lambda(t)=\left(a_{1} t\right)^{1 / 2}$, а затем вычислить собственные значения функции в соответ-

Рис. 6.6. Определение критической кривизны в пространстве управляющих параметров для прямолинейной траекгории в пространстве управляющих параметров с помощью соотношений (6.3) и кривизны в соответствующих плоскостях $a=+1, a=0$ или $a=-1$.

ствующей точке $b_{0}=b(t) / \lambda^{3}(t)$ на плоскости $a=-1$. Эти собственные значєния пересчитываются с учетом множителя $\lambda^{2}(t)$. Процесс может быть повторен для $t=0, t<0$. Собственные значения, вычисленные этим способом, изображены на рис. $6.6,6$ для $b_{0}=1, a_{1}=2, b_{1}=3$.