При описании физического процесса в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ удобно выделить некоторую произвольную систему координат ( $x_{1}$, $x_{2}, \ldots, x_{n}$ ). Если рассмотреть новую систему координат ( $x_{1}^{\prime}$, $\left.x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}\right)$, то в любой точке $p \in \mathbb{R}^{n}$, в которой якобиан $\operatorname{det}\left|\partial x_{i}^{\prime} / \partial x_{j}\right|_{p \in \mathrm{R}^{n}}$ отличен от нуля, исходная координатная система преобразуется в новую систему, т. е.
\[
\begin{aligned}
x_{1}^{\prime} & =x_{1}^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \\
x_{2}^{\prime} & =x_{2}^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \\
& : \\
& : \\
x_{n}^{\prime} & =x_{n}^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

В такой точке пространства $\mathbb{R}^{n}$ возможно и обратное преобразование $x_{j}=x_{j}\left(x_{i}^{\prime}\right)$. Существование этого обратного преобразования следует из теоремы о неявной функции.

Во многих ситуациях бывает полезно использовать разложение координат $x_{i}^{\prime}=x_{i}^{\prime}\left(x_{j}\right)$ в ряд Тейлора:
\[
x_{i}^{\prime}=A_{i}+A_{i, j} x_{j}+A_{i, j k} x_{j} x_{k}+A_{i, j k l} x_{j} x_{k} x_{i}+\ldots .
\]

Преобразование (3.2) обратимо в точке $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=$ $=(0,0, \ldots, 0)$, если $\operatorname{det}\left|A_{i, j}\right|=0$. Факториальные коэффициенты, которые иногда приводятся в разложениях типа (3.2), здесь для простоты опущены.

С целью упрощения вычислений как в этой, так и в следующей главе общее нелинейное преобразование (3.2) будем выполнять путем последовательного осуществления следующих преобразований:
\[
x_{i} \rightarrow x_{i}^{\prime}=x_{i}+A_{i}
\]
— неоднородное линейное преобразование, которое означает перемещение начала координат и параллельный перенос координатных осей;
\[
x_{i}^{\prime} \rightarrow x_{i}^{\prime \prime}=A_{i, j} x_{j}^{\prime}
\]
— однородное линейное преобразование, которое геометрически можно интерпретировать как вращение и сжатие координатных осей. Оно не вырождено, если $\operatorname{det}\left|A_{i, j}\right|
eq 0$;
\[
x_{i}^{\prime \prime} \rightarrow x_{i}^{\prime \prime \prime}=\delta_{i j} x_{j}^{\prime \prime}+A_{i, j k} x_{j}^{\prime \prime} x_{k}^{\prime \prime}+A_{i, j k l} x_{i}^{\prime \prime} x_{k}^{\prime \prime} x_{l}^{\prime \prime}+\ldots
\]
— «осесохраняющее» нелинейное преобразование. То, что оно нелинейно, очевидно, а сохранение начала координат и координатных осей следует из того, что $\partial x_{i}^{\prime \prime \prime} / \partial x_{j}^{\prime \prime}=\delta_{i j}$.

Неоднородное и однородное линейные преобразования легко обратить, однако этого нельзя сказать о нелинейном преобразовании.

Заметим, что, поскольку в данной главе свойства потенциальной функции рассматриваются только в точке (которую будем далее везде считать началом координат), нет необходимости в переносе начала координат посредством неоднородного преобразования (3.3ih).

Так как при использовании штрихов весьма легко допустить ошибку, то исходную систему координат в преобразованиях координат будем обозначать без штрихов, а новую систему координат — одним штрихом.

B пространстве $\mathbb{R}^{n}$ может быть выбрано много различных систем координат, поэтому будеи представлять физический процесс или его параметры (например, потенциал $V$ ) в функциональной форме:

Очевидно, что вид функционального выражения зависит от выбранной системы координат. Равенство $f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=f(x)$ (3.4) означает, что
\[
f^{\prime}\left(x^{\prime}(x)\right)=f(x),
\]
т. е. один и тот же физический процесс может быть описан двумя различными функциями в двух разных системах координат.

Пример. Потенциальная функция, определенная в $R^{2}$ и изображенная на рис. 3.1 в виде седла, вложенного в пространство $\mathbb{R}^{2} \oplus \mathbb{R}^{1}$, может быть функционально представлена как

Системы координат $(x, y)$ и $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ связаны между собой линейным преобразованием:
\[
x^{\prime}=(x+y) / \sqrt{2}, \quad y^{\prime}=(-x+y) / \sqrt{2} .
\]

Рис. 3.1. Изображение седла в пространстве $\mathbb{R}^{2} \otimes \mathbb{R}^{1}$ зависит от выбранной системы координат.

Два различных физических процесса в одной и той же системе координат $(x, y)$ описываются функциями

Например, два различных седла на рис. 3.2 представляются двумя различными функциями в системе координат $(x, y): V_{1}=-x^{2}+y^{2}, V=2 x y$. Однако качественно эти седла одинаковы, так как любое из них может быть совмещено с другим посредством вращения системы координат.

В общем случае два раэличных процесса $V$ и $V^{\prime}$ имеют различные функциональные формы в одной и той же системе координат: $f(x)
eq f^{\prime}(x)$. Однако эти два процесса качественно подобны, если можно найти такую гладкую замену координат (3.1), что функциональная форма для $V^{\prime}$, записанная в новых координатах, в точностн совпадает с функциональной формой $V$, записанной в исходной :истеме координат:
\[
f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=f(x) .
\]

В частности, это означает, что
\[
\begin{array}{l}
f^{\prime}\left[x^{\prime}(x)\right]=f(x), \\
f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=f\left[x\left(x^{\prime}\right)\right] .
\end{array}
\]

Если $f$ и $f^{\prime}$ качественно подобны, то все их свойства полностью совпадают ${ }^{1}$ ).