Главная > ПРИКЛАДНАЯ TEOPИЯ КАТАСТРОФ. ТОМ-1 (Р.ГИЛМОР)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

При описании физического процесса в пространстве Rn удобно выделить некоторую произвольную систему координат ( x1, x2,,xn ). Если рассмотреть новую систему координат ( x1, x2,,xn), то в любой точке pRn, в которой якобиан det|xi/xj|pRn отличен от нуля, исходная координатная система преобразуется в новую систему, т. е.
x1=x1(x1,x2,,xn),x2=x2(x1,x2,,xn),::xn=xn(x1,x2,,xn).

В такой точке пространства Rn возможно и обратное преобразование xj=xj(xi). Существование этого обратного преобразования следует из теоремы о неявной функции.

Во многих ситуациях бывает полезно использовать разложение координат xi=xi(xj) в ряд Тейлора:
xi=Ai+Ai,jxj+Ai,jkxjxk+Ai,jklxjxkxi+.

Преобразование (3.2) обратимо в точке (x1,x2,,xn)= =(0,0,,0), если det|Ai,j|=0. Факториальные коэффициенты, которые иногда приводятся в разложениях типа (3.2), здесь для простоты опущены.

С целью упрощения вычислений как в этой, так и в следующей главе общее нелинейное преобразование (3.2) будем выполнять путем последовательного осуществления следующих преобразований:
xixi=xi+Ai
— неоднородное линейное преобразование, которое означает перемещение начала координат и параллельный перенос координатных осей;
xixi=Ai,jxj
— однородное линейное преобразование, которое геометрически можно интерпретировать как вращение и сжатие координатных осей. Оно не вырождено, если det|Ai,j|eq0;
xixi=δijxj+Ai,jkxjxk+Ai,jklxixkxl+
— «осесохраняющее» нелинейное преобразование. То, что оно нелинейно, очевидно, а сохранение начала координат и координатных осей следует из того, что xi/xj=δij.

Неоднородное и однородное линейные преобразования легко обратить, однако этого нельзя сказать о нелинейном преобразовании.

Заметим, что, поскольку в данной главе свойства потенциальной функции рассматриваются только в точке (которую будем далее везде считать началом координат), нет необходимости в переносе начала координат посредством неоднородного преобразования (3.3ih).

Так как при использовании штрихов весьма легко допустить ошибку, то исходную систему координат в преобразованиях координат будем обозначать без штрихов, а новую систему координат — одним штрихом.

B пространстве Rn может быть выбрано много различных систем координат, поэтому будеи представлять физический процесс или его параметры (например, потенциал V ) в функциональной форме:

Очевидно, что вид функционального выражения зависит от выбранной системы координат. Равенство f(x)=f(x) (3.4) означает, что
f(x(x))=f(x),
т. е. один и тот же физический процесс может быть описан двумя различными функциями в двух разных системах координат.

Пример. Потенциальная функция, определенная в R2 и изображенная на рис. 3.1 в виде седла, вложенного в пространство R2R1, может быть функционально представлена как

Системы координат (x,y) и (x,y) связаны между собой линейным преобразованием:
x=(x+y)/2,y=(x+y)/2.

Рис. 3.1. Изображение седла в пространстве R2R1 зависит от выбранной системы координат.

Два различных физических процесса в одной и той же системе координат (x,y) описываются функциями

Например, два различных седла на рис. 3.2 представляются двумя различными функциями в системе координат (x,y):V1=x2+y2,V=2xy. Однако качественно эти седла одинаковы, так как любое из них может быть совмещено с другим посредством вращения системы координат.

В общем случае два раэличных процесса V и V имеют различные функциональные формы в одной и той же системе координат: f(x)eqf(x). Однако эти два процесса качественно подобны, если можно найти такую гладкую замену координат (3.1), что функциональная форма для V, записанная в новых координатах, в точностн совпадает с функциональной формой V, записанной в исходной :истеме координат:
f(x)=f(x).

В частности, это означает, что
f[x(x)]=f(x),f(x)=f[x(x)].

Если f и f качественно подобны, то все их свойства полностью совпадают 1 ).

1
Оглавление
email@scask.ru