При описании физического процесса в пространстве ${\mathbb{R}}^n$ удобно выделить некоторую произвольную систему координат ( $x_1$, $x_2,\dots ,x_n$ ). Если рассмотреть новую систему координат ( $x_1^{\prime }$, $x_2^{\prime },\dots ,x_n^{\prime })$, то в любой точке $p\in {\mathbb{R}}^n$, в которой якобиан $\det {\left|\partial x_i^{\prime }/\partial x_j\right|}_{p\in {\mathrm{R}}^n}$ отличен от нуля, исходная координатная система преобразуется в новую систему, т. е.
$$\begin{array}{rl}{x}_1^{\prime }& =x_1^{\prime }(x_1,x_2,\dots ,x_n),\\ x_2^{\prime }& =x_2^{\prime }(x_1,x_2,\dots ,x_n),\\ & :\\ & :\\ x_n^{\prime }& =x_n^{\prime }(x_1,x_2,\dots ,x_n).\end{array}$$

В такой точке пространства ${\mathbb{R}}^n$ возможно и обратное преобразование $x_j=x_j\left(x_i^{\prime }\right)$. Существование этого обратного преобразования следует из теоремы о неявной функции.

Во многих ситуациях бывает полезно использовать разложение координат $x_i^{\prime }=x_i^{\prime }\left(x_j\right)$ в ряд Тейлора:
$$x_i^{\prime }=A_i+A_{i,j}{x}_j+A_{i,jk}{x}_j{x}_k+A_{i,jkl}{x}_j{x}_k{x}_i+\dots .$$

Преобразование (3.2) обратимо в точке $(x_1,x_2,\dots ,x_n)=$ $=(0,0,\dots ,0)$, если $\det \left|A_{i,j}\right|=0$. Факториальные коэффициенты, которые иногда приводятся в разложениях типа (3.2), здесь для простоты опущены.

С целью упрощения вычислений как в этой, так и в следующей главе общее нелинейное преобразование (3.2) будем выполнять путем последовательного осуществления следующих преобразований:
$$x_i\to x_i^{\prime }=x_i+A_i$$
— неоднородное линейное преобразование, которое означает перемещение начала координат и параллельный перенос координатных осей;
$$x_i^{\prime }\to x_i^{\prime \prime }=A_{i,j}{x}_j^{\prime }$$
— однородное линейное преобразование, которое геометрически можно интерпретировать как вращение и сжатие координатных осей. Оно не вырождено, если $\det \left|A_{i,j}\right|eq0$;
$$x_i^{\prime \prime }\to x_i^{\prime \prime \prime }={\delta }_{ij}{x}_j^{\prime \prime }+A_{i,jk}{x}_j^{\prime \prime }{x}_k^{\prime \prime }+A_{i,jkl}{x}_i^{\prime \prime }{x}_k^{\prime \prime }{x}_l^{\prime \prime }+\dots$$
— «осесохраняющее» нелинейное преобразование. То, что оно нелинейно, очевидно, а сохранение начала координат и координатных осей следует из того, что $\partial x_i^{\prime \prime \prime }/\partial x_j^{\prime \prime }={\delta }_{ij}$.

Неоднородное и однородное линейные преобразования легко обратить, однако этого нельзя сказать о нелинейном преобразовании.

Заметим, что, поскольку в данной главе свойства потенциальной функции рассматриваются только в точке (которую будем далее везде считать началом координат), нет необходимости в переносе начала координат посредством неоднородного преобразования (3.3ih).

Так как при использовании штрихов весьма легко допустить ошибку, то исходную систему координат в преобразованиях координат будем обозначать без штрихов, а новую систему координат — одним штрихом.

B пространстве ${\mathbb{R}}^n$ может быть выбрано много различных систем координат, поэтому будеи представлять физический процесс или его параметры (например, потенциал $V$ ) в функциональной форме:

Очевидно, что вид функционального выражения зависит от выбранной системы координат. Равенство $f^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=f(x)$ (3.4) означает, что
$$f^{\prime }(x^{\prime }(x))=f(x),$$
т. е. один и тот же физический процесс может быть описан двумя различными функциями в двух разных системах координат.

Пример. Потенциальная функция, определенная в $R^2$ и изображенная на рис. 3.1 в виде седла, вложенного в пространство ${\mathbb{R}}^2\oplus {\mathbb{R}}^1$, может быть функционально представлена как

Системы координат $(x,y)$ и $(x^{\prime },y^{\prime })$ связаны между собой линейным преобразованием:
$$x^{\prime }=(x+y)/\sqrt{2},y^{\prime }=(-x+y)/\sqrt{2}.$$

Рис. 3.1. Изображение седла в пространстве ${\mathbb{R}}^2\otimes {\mathbb{R}}^1$ зависит от выбранной системы координат.

Два различных физических процесса в одной и той же системе координат $(x,y)$ описываются функциями

Например, два различных седла на рис. 3.2 представляются двумя различными функциями в системе координат $(x,y):V_1=-x^2+y^2,V=2xy$. Однако качественно эти седла одинаковы, так как любое из них может быть совмещено с другим посредством вращения системы координат.

В общем случае два раэличных процесса $V$ и $V^{\prime }$ имеют различные функциональные формы в одной и той же системе координат: $f(x)eq{f}^{\prime }(x)$. Однако эти два процесса качественно подобны, если можно найти такую гладкую замену координат (3.1), что функциональная форма для $V^{\prime }$, записанная в новых координатах, в точностн совпадает с функциональной формой $V$, записанной в исходной :истеме координат:
$$f^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=f(x).$$

В частности, это означает, что
$$\begin{array}{l}{f}^{\prime }[x^{\prime }(x)]=f(x),\\ f^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=f\left[x\left(x^{\prime }\right)\right].\end{array}$$

Если $f$ и $f^{\prime }$ качественно подобны, то все их свойства полностью совпадают ${}^1$ ).