Катастрофа $A_{2}$ задается следующим семейством функций, зависящих от одного управляющего параметра $a$ :
\[
A_{2}: F(x ; a)=\frac{1}{3} x^{3}+a x .
\]

Функция, принадлежащая семейству $F(x ; \sim a)$, при $a<0$ имеет две критические точки, при $a=0$ – одну дважды вырожден-

Рис. 6.1.
$a$ – функция семейства $F(x ; a)$ при $a>0, a=0, a<0 ; 6-(1)$ положение критических точек $F(x ; a)$ как функция $a$; (2) критические значения функции $F(x ; a)$ в зависимости ot величины $a$; (3) критическая кривизна функции $F(x ; a)$ в зависимости от величнны $a$.

ную критическую точку, а при $a>0$ не имеет ни одной критической точки (рис. 6.1). Бифуркационное множество состоит из единственной точки $x=0$. По.ожение критических точек опре-

деляется решением квадратногс уравнения вида
\[

abla F=x^{2}+a=0 .
\]

Критическое многообразие, определяемое уравнением (6.1б), изображено на рис. 6.1.

Значения функции $F(x ; a)$ в критических точках (рис. 6.1) определяются из формул (6.1а) и (6.1б):
в точке $\quad x=-\sqrt{-a} \quad F(x ; a)=\frac{2}{3}|a|^{3 / 2}$,
в точке $\quad x=+\sqrt{-a} \quad F(x ; a)=-\frac{2}{3}|a|^{\beta / 2}$.

Собственные значения матрицы устойчивости (т. е. квадратной матрицы $d^{2} F / d x^{2}$ порядка 1) в этих точках равны
\[
\begin{array}{ll}
\text { в точке } x=-\sqrt{-a} & d^{2} F / d x^{2}=-2|a|^{1 / 2}, \\
\text { в точке } x=+\sqrt{-a} & d^{2} F / d x^{2}=+2|a|^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Соотношения (6.1г) изображены на рис. 6.1, г.