8.1. $\boldsymbol{C}_{4 v}$

Поддерживающий кронштейн, изображенный на рис. 11.16, обладает вышеописанным типом чувствительности к несовершенству составных систем. Если пружины вдоль осей $x$ и $y$

Рис. 11.16. Потенциальная функция, описывающая этот совершенный поддерживающий кронштейн, когда все пружины имеют одну и ту же константу упругости $k$, обладает группой симметрий $C_{4 v}$.

имеют коэффициенты жесткости $k_{1}$ и $k_{2}$, то потенциальная функция, описывающая совершенную систему, имеет симметрию
\[
V_{p}( \pm x, \pm y ; F)=V_{p}(x, y ; F) .
\]

Разложение $V_{p}$ в ряд Тейлора может содержать лишь четные степени $x$ и $y$.

Если $k_{1}=k_{2}$, то функция $V_{p}$ инвариантна относительно большой группы симметрий. Такой группой является $C_{4 d}$, т. е. группа вращений на $\pi / 2$ вокруг оси $z$ и отражений в четырех плоскостях, содержащих ось $z$ и прямые $x=0, x-y=0, y=0$, $x+y=0$. Результаты влияния восьми преобразований группы на координаты $(x, y)$ любой точки из плоскости $x-y$ представлены в следующей таблице:

Инвариантность функции $V_{p}$ огносительно группы преобразований $C_{4 v}$ означает, в частности, что коэффициенты при членах $x^{p} y^{q}$ разложения в ряд Тейлора в окрестности $(x, y)=(0,0)$ должны равняться нулю, если $p$ или $q$ нечетно, а коэффициент при $x^{p} y^{q}$ должен равняться коэффициенту при $x^{q} y^{p}$.

Это утверждение может быть значительно усилено. Разложение в ряд Тейлора $V_{p}$ может содержать лишь члены вида $\left(x^{2}+y^{2}\right)$ и $x^{2} y^{2}$, а также произведение этих функций:
\[
V_{p}(x, y ; F)=f\left(x^{2}+y^{2}, x^{2} y^{2} ; F\right) .
\]

Докажем справедливость подобного утверждения, используя методы теории групп.

Разложение $V_{p}$ в ряд Тейлора содержит линейные члены по $x$ и $y$, квадратичные члены, а также члены степени $3,4, \ldots$. Линейное векторное пространство членов степени $d$ имеет размерность $d+1$. В качестве базисных векторов этого пространства можно взять одночлены $x^{d}, x^{d-1}, y, \ldots, y^{d}$. Каждое преобразование группы $C_{4 v}$ отображает член степени $d$ в член степени $d$ в силу однородности. Например, в результате преобразования $C_{4}$ имеем

или в матричной форме
\[
\left[\begin{array}{l}
x^{2} \\
x y \\
y^{2}
\end{array}\right]^{\prime}=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x^{2} \\
x y \\
y^{2}
\end{array}\right] .
\]

Матрица размером $3 \times 3$, описывающая действие группы преобразований $C_{4}$ на трехмерное линейное векторное пространство, порожденное одночленами степени два, называеттся матричным представлением $C_{4}$. Аналогично могут быть вычислены матричные представления других групп преобразований в этом пространстве и во всех других пространствах, порождаемых одночленами различных степеней.

Для рассматриваемой цели не так важны сами матрицы, как их следы (характеры). Эти характеры могут быть использованы для определения числа линейно независимых полиномиальных инвариантов, которые существуют в некотором $(d+1)$-мерном подпространстве членов степени $d$. Это число равно
\[
\frac{1}{8} \sum_{g \in C_{4 j}} \chi^{d}(g)
\]

Здесь $\chi^{d}$-след $(d+1) \times(d+1)$-матричного представления группового элемента $g$. Характеры для разных значений $d$ приведены в табл. 11.2 (она повторяется очевидным способом за пределами $d=7$ ). Число независимых инвариантов для любой степени представлено в правой колонке таблицы. Инвариантом степени 0 является постоянный член. Инвариантом степени 2 является $x^{2}+y^{2}=I^{2}$. Два инварианта степени 4 суть $\left(x^{2}+y^{2}\right)=I_{2}^{2}$ и $x^{2} y^{2}=I_{4}$.

Таблица 11.2. Характеры для представлений группы $C_{4 v}$ в $(d+1)$-мерном пространстве, порождаемом одночленами вида $x^{p} y^{q}$, $p+q=d$
Все инварианты имеют вид
\[
I_{2}^{p} I_{4}^{q}, \quad p \geqslant 0, \quad q \geqslant 0,
\]

где $p$ и $q$ – неотрицательные целые числа. Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что число всех инвариантов степени $d$ в точности равно числу инвариантов степени $d$, которые могут быть записаны в виде $I_{2}^{p} I_{4}^{q}$. Из табл. 11.2 следует, что число инвариантов степени $d$ равно
\[
\begin{aligned}
0, & \text { если } d \text { нечетно, } \\
{\left[\frac{n}{4}\right]+1, } & \text { если } d \text { четно, }
\end{aligned}
\]

где $[x]$ означает «наибольшее целое, не превышающее $x$ ». Вместе с тем число неотрицательных целых решений $(p, q)$ для уравнения
\[
2 p+4 q=d, \quad p \geqslant 0, q \geqslant 0, \quad p, q \text {-целые, }
\]

также дается формулой (11.56). Следовательно, $I_{2}$ и $I_{4}$ являются единственными функционально независимыми инвариантами относительно группы преобразований $C_{4 v}$, и
\[
V_{p}(x, y ; F)=\sum_{p, q \geqslant 0} A_{p, q}(F) I_{2}^{p} I_{4}^{q}=f\left(I_{2}, I_{4} ; F\right),
\]

как и утверждалось. (Предполагалось, что функции $V_{p}, f-$ вещественные и аналитические.)

Точный вид потенциальной функции, описывающей совершенный поддерживающий кронштейн, который изображен на рис. 11.16, можно найти посредством прямых вычислений. Предположим, что точка $(x, y)$ определяет положение конца кронштейна. Для простоты возьмем длину кронштейна равной единице. Тогда
\[
V_{p}(x, y ; F)=\frac{2}{2} k \theta_{1}^{2}+\frac{2}{2} k \theta_{2}^{2}+F z .
\]
(В этом выражении вес кронштейна не учитывается.) Здесь $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ – углы отклонения от направлений $x$ и $y, \mathrm{a} z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$. Углы $\theta_{i}$ могут быть выражены через $x$ и $y$ :
\[
\theta_{1}=\arcsin x=x+\frac{x^{3}}{6}+\ldots .
\]

С точностью до членов четвертого порядка разложение $V_{p}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
V_{p}(x, y ; F)=F+\left(k-\frac{1}{2} F\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(\frac{k}{3}-\frac{F}{8}\right)\left(x^{4}+y^{4}\right)- \\
\quad-\frac{1}{4} F x^{2} y^{2} .
\end{array}
\]

Нагрузка становится критической при $F=2 k$. При действии критической нагрузки коэффициенты при $x^{4}$ и $y^{4}$ равны $k / 12$, а коэффициент при $x^{2} y^{2}$ равен – $k / 2$. Поскольку последний отрицателен, система глобально неустойчива.

Неустойчивые разрушающие моды встречаются в направлении $x= \pm y$. В этих направлениях потенциал сводится к слёдующему ( $\pm x=t, \pm y=t$ ):
\[
V_{p}(t ; F)=F+(2 k-F) t^{2}+\left(\frac{2 k}{3}-\frac{F}{2}\right) t^{4} .
\]

В точке сборки коэффициент при $t^{4}$ отрицателен. Следовательно, сильное сцепление двух мод, каждая из которых является соответствующей катастрофе $A_{+3}$ модой выпучивания и поэтому относительно безопасна, может привести к разрушающей моде, соответствующей катастрофе $A_{-3}$, с ее жесткой чувствительностью к несовершенству. По существу чувствительность к несовершенству в случае возмущений типа $\varepsilon_{1}(x \pm y)$ имеет вид
\[
F_{c}=F_{p}-k^{\prime}\left|\varepsilon_{1}\right|^{2 / 3},
\]

в то время как чувствительность к динамическому нагружению демонстрирует каноническую степенную зависимость (с показателем степени $1 / 2$ )
\[
F_{c}=F_{p}-k^{\prime \prime}(\Delta E)^{1 / 2},
\]

где $F=2 k$. Комбинированная чувствительность к статическим $\left(\varepsilon_{1}
eq 0\right)$ и динамическим $(\Delta E
eq 0)$ несовершенствам описывается поверхностью, изображенной на рис. 11.9.
$\diamond \diamond \diamond$ Если $k_{1} \ll k_{2}$, то единственная возможная разрушающая мода соответствует катастрофе $A_{+3}$ в направлении оси $x$. Если $k_{1} \gg k_{2}$, то может произойти лишь катастрофа $A_{+3}$ в направлении оси $y$. В любом случае изучение разрушающих мод и параметров несовершенства сводится к одномерным задачам. Когда $k_{1}$ и $k_{2}$ становятся равными, как того требует философия инженерной оптимизации конструкций, для изучения разрушающих мод необходимо привлечь дополнительно вторую степень свободы. Вместо одной сборки получаем две; вместо трех фазовых траекторий изменения состояния после выпучивания – $3^{2}$. Более того, при $F<F_{p}$ их тоже больше одной. Они представляются седлами, отделяющими локально устойчивое состояние $(x, y)=(0,0)$ от области глобальной неустойчивости, которая существует при больших $r^{2}$.
8.2. $\boldsymbol{C}_{3 v}$

Поддерживающий кронштейн, изображенный на рис. 11.17, отличается от кронштейна, показанного на рис. 11.16, симметричным расположением пружин. Совершенная система инвариантна относительно вращений на $2 \pi / 3$ радиан, а также отображений в каждой из трех плоскостей, содержащих одну из пружин. Эти шесть преобразований ( $\left.E, C_{3}, C_{3}^{2} ; \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}\right)$ образуют группу, называемую $C_{3 v}$. Потенциальная функция $V_{p}(x, y ; F)$, описывающая совершенную систему, должна быть инвариантной относительно преобразований группы $C_{3 v}$.

Полиномиальные функции, которые являются инвариантными относительно $C_{3 v}$, могут быть вычислены при помощи методов,

Рис. 11.17. Потенциальная функция, описывающая этот совершенный поддерживающий кронштейн, обладает группой симметрий $C_{3 v}$.

Рис. 11.18. Матрица представленив для операторов $C_{3 v}$ легко может быть построена, если распространить действие элементов группы на сверхполную систему векторов $a, b, c$.

использованных в предыдущеи разделе. Сначала введем три вектора (рис. 11.18)
\[
a=x, \quad b=-\frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} y, \quad c=-\frac{1}{2} x-\frac{\sqrt{3}}{2} y .
\]

Очевидно, что
\[
a+b+c=0 .
\]

Эти векторы линейно зависимы и порождают плоскость переменных состояния $R^{2}$. Любые два из них могут быть взяты в качестве базисных векторов. Действие элементов группы $C_{3 v}$ на эти векторы описывается следующим образом;

Действие любого элемента группы на $d+1$ линейно независимых членов степени $d$ может быть определено при помощи выбора $a$ и $b$ в качестве базисных векторов пространства $\mathbb{R}^{2}$. Тогда базисные векторы в пространстве членов степени $d$ имеют вид $a^{p} b^{q}, p+q=d$. Например, при действии преобразования $C_{3}$ имеем
\[
\begin{array}{c}
C_{3}: a^{4} \rightarrow b^{4}, \quad a^{3} b \rightarrow b^{3}(-a-b), \\
a^{2} b^{2} \rightarrow b^{2}(-a-b)^{2}, \quad a b^{3} \rightarrow b(-a-b)^{3}, \\
b^{4} \rightarrow(-a-b)^{4} .
\end{array}
\]

Тогда матрица размером $5 \times 5$, представляющая $C_{3}$, определяется из
\[
\left[\begin{array}{l}
a^{4} \\
a^{3} b \\
a^{2} b^{2} \\
a b^{3} \\
b^{4}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrrrr}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & -3 & -3 & -1 \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
a^{4} \\
a^{3} b \\
a^{2} b^{2} \\
a b^{3} \\
b^{4}
\end{array}\right] .
\]

След этой представляющей матрицы равен -1 .
Аналогично могут быть вычислены представляющие матрицы всех преобразований группы в любом $(d+1)$-мерном пространстве однородных многочленов степени $d$. Характеры этих представляющих матриц приведены в табл. 11.3, которая повторяется очевидным образом, когда $d$ возрастает. Правый столбец таблицы содержит число линейно независимых инвариантных многочленов степени $d$. Это число определяется с помощью стандартного анализа характеров и равно
\[
\frac{1}{6} \sum_{g \in C_{s v}} \chi^{d}(g) .
\]

Один инвариант степени $d$ ясно виден:
\[
I_{d}=a^{d}+b^{d}+c^{d} .
\]

Тогда $I_{0} \simeq 1, I_{1}=0$ (в силу $11.64^{\prime}$ ), $I_{2} \simeq x^{2}+y^{2}, I_{3} \simeq a b c \simeq$ $\simeq x^{3}-3 x y^{2}$.

Теперь докажем, что $I_{2}$ и $I_{3}$ являются единственными функционально независимыми инвариантами.

Таблица 11.3. Характеры для представлений группы $C_{3} v$ в $(d+1)$-мерном пространстве, порождаемом одночленами вида $x^{p} y^{q}$, $p+q=d$ степени $d$
Заметим, что
1. На основании анализа характеров число инвариантов степени $d$ равно
\[
\begin{array}{l}
{\left[\frac{d}{6}\right]+1, \quad d \bmod 6
eq 1,} \\
{\left[\frac{d}{6}\right], \quad d \bmod 6=1 .}
\end{array}
\]
2. Число неотрицательных целых решений уравнения
\[
2 p+3 q=d, \quad p \geqslant 0, \quad q \geqslant 0, \quad p, q \text { – целье, }
\]

равно $[d / 6]+1$, если только не выполняется условие $d(\bmod 6)=$ $=1$, в противном случае оно равно $[d / 6]$.

Поскольку любой инвариант степени $d$ может быть записан в виде $I_{2}^{p} I_{3}^{q}$, то $I_{2}$ и $I_{3}$ – единственные функционально независимые инварианты. Следовательно,
\[
V_{p}(x, y ; F)=f\left(I_{2}, I_{3} ; F\right) .
\]

Единственный управляющий параметр $F$ может быть использован для обращения в нуль одного коэффициента ряда Тейлора, так что потенциальная функция, описывающая совершенную систему с точностью до нижнего нетривиального порядка, равна
\[
V_{p}(x, y ; F)=\frac{1}{2}\left(F_{p}-F\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(x^{3}-3 x y^{2}\right) .
\]

Наиболее общая деформация ростка $x^{3}-3 x y$ трехмерна и имеет базисные векторы $x, y, x^{2}+y^{2}$. Деформация, включающая $x^{2}+y^{2}$, будет давать мягкую чувствительность первого порядка к несовершенству. Следовательно, для того чтобы определить чувствительность к несовершенству поддерживающего кронштейна, вполне достаточно рассмотреть параметр несовершенства вида $\varepsilon_{1} x+\varepsilon_{2} y$.
Возмущенная потенциальная функция имеет вид
\[
V\left(x, y ; F, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)=x^{3}-3 x y^{2}+\frac{1}{2}\left(F_{p}-F\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)+\varepsilon_{1} x+\varepsilon_{2} y .
\]

Критические точки определяются из системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial V}{\partial x}=3 x^{2}-3 y^{2}+\left(F_{p}-F\right) x+\varepsilon_{1}=0, \\
\frac{\partial V}{\partial y}=-6 x y+\left(F_{p}-F\right) y+\varepsilon_{2}=0 .
\end{array}
\]

Матрица устойчивости имеет вид
\[
V_{i j}=\left[\begin{array}{cc}
6 x+\left(F_{p}-F\right) & -6 y \\
-6 y & -6 x+\left(F_{p}-F\right)
\end{array}\right] .
\]

На бифуркационном множестве $\operatorname{det} V_{i j}=0$. Следовательно, бифуркационное множество определяется посредством трех уравнений (11.73a), (11.73б) и
\[
(6 x)^{2}+(6 y)^{2}=\left(F_{p}-F\right)^{2} .
\]

Параметрическое представление рассматриваемого бифуркационного множества удобно дать через $x$ и $y$ :
\[
\begin{array}{rlrl}
\varepsilon_{1} & =-3\left(x^{2}-y^{2}\right) & \pm 6 x \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \\
\varepsilon_{2} & = & 6 x y & \pm 6 y \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \\
F_{p}-F & = & \pm 6 \sqrt{x^{2}+y^{2}} .
\end{array}
\]

Это бифуркационное множество показано на рис. 11.19,a. В действительности физически интересна только его наименьшая $F$-компонента, поскольку система разрушается на этом множестве. Такая компонента показана на рис. 11.19,6 [5].

Вдоль любой прямой, проходящей через начало координат, имеем $y=t x$. Параметрическое представление бифуркационного множества в этом случае имеет вид
\[
\begin{aligned}
\varepsilon_{1} & =\left\{-3\left(1-t^{2}\right)\right. & \left. \pm 6 \sqrt{1+t^{2}}\right\} x^{2}, \\
\varepsilon_{2} & = & \left\{6 t \pm 6 t \sqrt{1+t^{2}}\right\} x^{8}, \\
F_{p}-F & = & \pm 6 \sqrt{1+t^{2}} x .
\end{aligned}
\]

Рис. 11.19.
$a$ – бифуркационное множество катастрофы $D_{-4}$ в пространстве управляющих параметров $F-\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2} ; \sigma-$ при возрастании $F$ до встречи с бифуркационным множеством происходит разрушение. Поверхность разрушения является нижним листом бнфуракционной поверхности [5].

Исключая определенные значения $t$, видим, что имеет место степенная (с показателем степени 1/2) зависимость разрушающей нагрузки от параметров несовершенства $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$.
$\diamond \diamond \diamond$ Степенная зависимость чувствительности к несовершенству (с показателем степени $1 / 2$ ) не является такой уж неожиданной. Росток $x^{3}-3 x y^{2}$ подобен ростку $x^{3}+y^{3}$. Он может быть назван катастрофой «двойной складки» по аналогии с катастрофой «двойной сборки» $\pm x^{4} \pm y^{4}$. Чувствительность к несовершенству для двойной сборки имеет ту же степенную зависимость, что и обычная сборка: показатель степени равен $2 / 3$ для статического несовершенства и $1 / 2$ для динамического. Аналогично чувствительность к несовершенству для двойной складки имеет ту же степенную зависимость, что и обыкновенная складка: показатель степени равен $1 / 2$ для статического несовершенства и $1 / 3$ для динамического несовершенства.