Рассмотрим поведение летательного аппарата, для которого потеря устойчивости соответствует одной элементарной катастрофе. Для такого летательного аппарата матрица устойчивости в случае некоторых устойчивых стационарных решений имеет комплексно-сопряженные корни, однако один из ее действительных корней проходит через нуль и является ответственным за потерю устойчивости. Изучаемые ниже уравнения, описывающие движение летательного аппарата, имеют вид (12.4) (без …). Если $x=x^{0}$ есть стационарное решение этой системы уравнений, то линеаризованная матрица устойчивости в окрестности этой точки имеет вид
\[
M_{l}^{j}=F_{i}^{j}+2 F_{i}^{j k} x_{k}^{0} .
\]

Прежде чем приступить к описанию возможных стационар. ных состояний летательного аппарата, необходимо выбрать подқодящую систему переменных состояния. Эта система должна быть достаточно развернутой, чтобы наше описание не было жалкой карикатурой на поведение летательного аппарата, и вместе с тем достаточно компактной, чтобы быть удобной при использовании.

Начнем с выбора системы координат, жестко связанной с қорпусом летательного аппарата. Для этого начало координат (или системы отсчета) поместим в центр масс летательного aппарата, а оси координат совместим с осями его главных моментов инерции (рис. 12.2). Ориентация осей рассматриваемого

Рис. 12.2. Система координат, жестко связанная с корпусом летательного аппарата, оси которой составляют эйлеровы углы с осями инерционной системы отсчета $[1,2]$.
$X, Y, Z$ – компоненты вектора силы; $L, M, N$ – компоненты вектора вращающего момента; $u, v, w$ – компоненты вектора скорости относительно инерционной системы отсчета; $p, q, r$ – компоненты вектора угловой скорости по главным осям; $\alpha, \beta$ – угол атаки, угол скольжения; $a_{l}, a_{r}$ – углы откіонения элеронов; $e_{l}, e_{r}$ – углы отклонения рулей высоты; $\tau$ – угол отклонения руля направления.

тела относительно инерциальной системы отсчета определяется тремя углами Эйлера ( $\phi, \theta, \psi)$. Отличные от нуля компоненты тензора инерции $I_{i j}$ по трем главным осям суть $\left(I_{x x}, I_{y y}, I_{z z}\right)$. Компоненты вектора угловой скорости $\omega$ по главным осям обозначим через ( $p, q, r$ ), а компоненты вращающего момента T – через ( $L, M, N$ ). Компоненты вектора скорости центра масс v относительно инерциальной системы отсчета обозначим $(u, v, w)$, а компоненты силы $\mathrm{F}$ – через $(X, Y, Z)$.

Если скорость приблизительно постоянна, то часто удобно вместо декартовой системы координат использовать полярные координаты $|\mathbf{v}|, \alpha, \beta$, где $\alpha$-угол атаки, $\beta$ – угол скольжения Для малых углов (в радианной мере) приближенно имеем $\alpha \simeq w /|\mathrm{v}|, \beta \simeq v /|\mathrm{v}|$.

Для описания устойчивости летательного аппарата во многих случаях достаточно использовать в качестве переменных состояния три компоненты угловой скорости ( $p, q, r)$, два «полярных» угла $(\alpha, \beta)$ и три эйлеровых ориентационных угла ( $\phi, \theta, \phi)$. Тогда пространство переменных состояния $R^{n}$ является 8 -мерным, и $(p, q, r, \alpha, \beta, \phi, \theta, \psi)=\left(x_{1}, \ldots, x_{8}\right) \in \mathbb{R}^{8}$.

Ориентация летательного аппарата определяется положениями $a_{l}, a_{r}$ левого и правого элеронов, положениями $e_{l}$, $e_{r}$ левого и правого рулей высоты и положением $\tau$ руля направления. Эти углы измеряются от положений, устанавливаемых для полета по прямой на постоянной высоте, и, как правило, они малы. Перечисленные угловые отклонения являются управляющими воздействиями $\left(a_{l}, a_{r}, e_{l}, e_{r}, \tau\right)=\left(c_{1}, c_{2}, c_{4}, c_{5}\right) \in \mathbb{R}^{5}$. Для последующего изложения удобно ввести следующие обозначения:
\[
\begin{array}{l}
a=\frac{1}{2}\left(a_{l}+a_{r}\right), \quad \delta a=a_{l}-a_{r}, \\
e=\frac{1}{2}\left(e_{l}+e_{r}\right), \quad \delta e=e_{l}-e_{r} .
\end{array}
\]

Теперь определим структуру уравнений движения. Поскольку ньютоновские уравнения движения имеют второй порядок, аэродинамические уравнения движения также должны быть уравнениями второго порядка. Так как три компоненты угловой скорости ( $p, q, r)$ уже являются производными первого порядка по времени, то для этих трех переменных состояния получаем уравнения вида
\[
\dot{x}_{i}=F_{i}(x ; c),
\]

где $1 \leqslant i \leqslant 3$.
Два «полярных» угла также выражаются через компоненты скорости $w, v$, которые сами являются производными первого порядка по времени. Следовательно, эти два угла также описываются уравнениями первого порядка (12.17) с индексами $4 \leqslant i \leqslant 5$. Наконец, производные по времени трех эйлеровых ориентационных углов ( $\phi, \theta, \psi$ ) связаны следующими линейными преобразованиями с тремя компонентами угловой ско“ рости $(p, q, r)$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{\phi}=p+q \operatorname{tg} \theta \sin \phi+r \operatorname{tg} \theta \cos \phi, \\
\dot{\theta}=\quad q \cos \phi \quad-r \sin \phi .
\end{array}
\]

Это тоже соотношения типа (12.17) с индексами $6 \leqslant i \leqslant 8$, играющие роль определяющих уравнений. Короче говоря, получаем систему уравнений типа (12.1) с восемью переменными и пятью управляющими параметрами.

Уравнения движения для ( $p, q, r)(1 \leqslant i \leqslant 3)$ не зависят от ориентационных углов Эйлера ( $\phi, \theta, \psi)$, а уравнения для $(\alpha, \beta)$ i. $4 \leqslant i \leqslant 5$ ) зависят от углов $\phi, \theta$ из-за наличия слагаемых, содержащих гравитационное ускорение, деленное на модуль скорости $g /|\mathbf{v}|$. Для реактивных летательных аппаратов величина $\mathbf{v}$ велика и $g /|\mathbf{v}| \rightarrow 0$, поэтому указанными слагаемыми часто можно пренебречь. В результате в случае реактивных летательных аппаратов системы первых пяти и последних трех уравнений оказываются расцепленными, и в качестве уравнений движения имеем
\[
\begin{array}{ll}
\dot{x}_{i}=F_{i}\left(x_{j} ; c\right), & 1 \leqslant i, j \leqslant 5, \\
\dot{x}_{k}=F_{k}\left(x_{l} ; c\right), & 6 \leqslant k \leqslant 8,1 \leqslant l \leqslant 8 .
\end{array}
\]

Займемся решением первой системы уравнений (12.19a).
В случае симметричного реактивного летательного аппарата система уравнений (12.19a) имеет одно очевидное стационарное решение $x=0 \in \mathbb{R}^{5}$ при $c=0 \in \mathbb{R}^{5}$. Для поиска других возможных решений воспользуемся разложением системы уравнений в ряд Тейлора, как это сделано в (12.4):
\[
\dot{x}=L A+L C+N L \text {. }
\]

Здесь $L A$-линейные аэродинамические, а $L C$-линейные управляющие параметры
\[
L A=F_{i}^{j} x_{j}, \quad L C=F_{i}^{\alpha} c_{\alpha} .
\]

Из нелинейных членов $N L$ наиболее важными являются инерционные $I N=F_{i}^{i k} x_{j} x_{k}, \quad 1 \leqslant i
eq j
eq k \leqslant 3$, где
\[
\begin{array}{l}
F_{1}^{23}=F_{1}^{32}=\frac{\left(I_{y y}-I_{z z}\right)}{I_{x x}}, \\
F_{2}^{31}=F_{2}^{13}=\frac{\left(I_{z z}-I_{x x}\right)}{I_{y y}}, \\
F_{3}^{12}=F_{3}^{21}=\frac{\left(I_{x x}-I_{y y}\right)}{I_{z z}} .
\end{array}
\]

Если пренебречь всеми нелинейными членами, за исключением инерционных, то система нелинейных аэродинамических уравнений движения имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{i}=\sum_{\alpha} F_{i}^{a} c_{\alpha}+\sum_{j=1}^{5} F_{i}^{l} x_{j}+\sum_{i \leqslant j<k}^{3} F_{l}^{j k} x_{j} x_{k}, \quad 1 \leqslant i \leqslant 3, \\
\dot{x}_{i}=\sum_{\alpha} F_{i}^{a} c_{\alpha}+\sum_{j=1}^{5} F_{i}^{l} x_{j}, \quad 4 \leqslant i \leqslant 5,
\end{array}
\]

а следовательно, и свойства динамической системы, изученной в разд. 2. Ее функция Ляпунова совпадяет с указанной в (12.8), а именно величина
\[
E=\frac{1}{2} M \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}+\frac{1}{2} I_{i j} \omega_{i} \omega_{j}
\]

равна функции Ляпунова, взятой с обратным знаком. Применение линейного анализа устойчивости непосредственно к системе (12.23) позволяет получить ее стационарные решения.