Как только стационарное решение (или решения), отвечающее $\dot{x}_{i}=0$ в уравнении (12.1), будет найдено, необходимо исследовать его (их) свойства устойчивости. Проще всего это сделать с помощью стандартной процедуры линейного анализа устойчивости. Если $x=x^{0}$ — стационарное решение уравнения (12.1) при $c=c^{0}$, то уравнение движения в точке $x=x^{0}+\delta x$, лежащей в окрестности $x^{0}$, есть
\[
\begin{aligned}
\delta \dot{x}_{i} & =M_{i}^{j} \delta x_{i}+O(2), \\
M_{i}^{j} & =\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}\left(x^{0} ; c^{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Члены второго порядка в выражении для $\delta x$ могут быть опущены, если матрица устойчивости $M$ размером $n \times n$ не имеет собственных значений с нулевой действительной частью (гл. 19). В пренебрежении членами второго порядка уравнение (12.11) имеет решение
\[
\delta x(t)=e^{M\left(t-t_{0}\right)} \delta x\left(t_{0}\right),
\]

где $\delta x$ есть вектор-столбец $n \times 1$, а экспонента определяется ее степенным разложением. Свойства устойчивости вблизи $x^{0}$ можно определить, приводя $M$ к канонической жордановой форме (гл. 14). В частности, если хотя бы одно из собственных значений матрицы $M$ имеет положительную действительную часть, $x^{0}$ является неустойчивым стационарным состоянием. Если все собственные значения $M$ в точке $x^{0}$ находятся в левой полуплоскости, возмущенная система будет возвращаться к устойчивому стационарному состоянию в течение интервала времени, определяемого собственным значением матрицы с наименьшей действительной частью:
\[
T_{1} \simeq \max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left(-\operatorname{Re} \lambda_{i}\right)^{-1} .
\]

Если $x^{0}$ есть стационарное решение для $c=c^{0}$, то, слегка изменяя значение управляющего параметра $c \rightarrow c^{0}+\delta c$, можно получить небольшое изменение положения стационарного решения. Если все собственные значения $F_{i}^{l}\left(x^{0} ; c^{0}\right)$ лежат в левой полуплоскости, то там же лежат и все собственные значения $F_{i}^{j}\left(x^{0}+\delta x ; c^{0}+\delta c\right)$. Открытое множество в $\mathbb{R}^{k}$, содержащее $c^{0}$, которое локально параметризует устойчивые стационарные решения (12.1), ограничивается бифуркационным множеством $\mathscr{P}_{B} \subset \mathbb{R}^{k}$, на котором одно или более собственных значений $F_{i}{ }^{i}\left[x^{0}(c) ; c\right]$ имеют нулевую действительную часть. Если матрица $M_{i}^{i}(12.11)$ оказывается симметрической, как в случае градиентных систем, то все ее собственные значения будут действительными и бифуркационное множество $F_{i}^{\prime}$ будет локально эквивалентным бифуркационному множеству некоторой функции катастроф. Однако матрица $F_{i}^{i}$ не обязательно должна быть симметрической, она может иметь (и довольно часто имеет) комплексные собственные значения, и поэтому ее бифуркационное множество и катастрофы таят в себе немало неожиданного (гл. 19).