Иногда удобно изучать динамическую систему с помощью разложения силовых функций $F_{i}(x ; c)$ в ряд Тейлора в окрестности стационарного решения. Если предположить, что координаты переменной состояния выбраны таким образом, что $x=0$ для $c=0$, то разложение в ряд Тейлора правой части уравнения (12.1) относительно выбранного состояния дает
\[
\dot{x}_{i}=F_{i}+F_{i}^{l} x_{i}+F_{i}^{j k} x_{j} x_{k}+\ldots .
\]

Здесь верхние индексы означают дифференцирование по соответствующей координате, например $F_{i}^{i k}=\partial^{2} F_{i} / \partial x_{j} \partial x_{k}$. Bсе производные вычисляются в точке $(x ; c)=(0 ; c)$. Для фиксированного значения управляющих параметров $c$ матрицу $F_{i}^{j}$ можно рассматривать как функцию линейного отклика на изменение переменных состояния, которал описывает изменение $\dot{x}_{i}$, соответствующее изменению $x_{j}$. В более общем случае $F_{i}^{j k}$ не что иное, как компоненты тензора восприимчивости.

Коэффициенты $F_{i}(c), F_{i}^{i}(c)$ могут быть разложены в ряды Тейлора по управляющим параметрам $c$ :
\[
\begin{array}{l}
F_{i}(c)=F_{i}(0)+F_{i}^{\alpha} c_{a}+F_{i}^{\alpha \beta} c_{\alpha} c_{\beta}+\ldots, \\
F_{i}^{\prime}(c)=F_{i}^{j}(0)+F_{i}^{j a} c_{\alpha}+\ldots .
\end{array}
\]

Коэффициенты этих разложений являются частными производными функций $F_{i}$, вычисленными в точке $(x ; c)=(0 ; 0) \in$ $\in \mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k} ;$ коэффициенты $F_{i}$ можно трактовать как функции линейного отклика на изменение управляющих параметров, коэффициенты $F_{l}(0,0)$ и $F_{i}^{\alpha}(0,0)$ рядов Тейлора в окрестности стационарного состояния $(0,0)$ можно рассматривать как функции линейного отклика на изменение переменных состояния и управляющих параметров, а все другие члены разложений оказываются нелинейными по переменным состояния и (или) управляющим параметрам.

Для некоторых динамических систем можно изучать присущее им нелинейное поведение, оставляя в разложении лишь главные нелинейные члены по переменным состояния. Такие нелинейные системы описываются уравнениями (12.4), если пренебречь членами третьей и более высоких степеней. Ряд систем подобного типа обладает дополнительным свойством, а именно существует постоянньй невырожденный положительно определенный симметрический метрический тензор $G^{l i}$, такой, что
\[
x_{l} G^{l i} F_{i}^{j k} x_{j} x_{k}=\tilde{F}^{i j k} x_{i} x_{j} x_{k}=0 .
\]

Для таких систем можно определить «энергетическую» функцию посредством следующих вычислений:
\[
\begin{array}{c}
x_{l} G^{l i} \dot{x}_{i}=x_{l} G^{l i} F_{i}+x_{l} G^{l i} F_{i}^{j} x_{j}+x_{l} G^{l i} F_{i}^{i k} x_{j} x_{k}, \\
\frac{1}{2} \frac{d}{d t}\left(G^{l l} x_{l} x_{i}\right)=\widetilde{F} x_{i}^{i}+\widetilde{F}^{i j} x_{i} x_{i}+\widetilde{F}^{i j k} x_{i} x_{j} x_{k} .
\end{array}
\]

Последний член, согласно (12.6), равен нулю. Произведение $G^{i l} F_{l}^{j}$, вообще говоря, не есть симметрический тензор и может быть представлено в виде суммы симметрического и антисимметрического тензоров, причем последний свертывается к нулю. Следовательно, достаточно взять $\tilde{F}^{i j}$ как симметрическую часть $G^{i l} F_{l}^{i}$. Если симметрическая матрица $\tilde{F}^{i j}$ невырождена, а обратная ей матрица есть $\tilde{F}_{i j}$, то выражение (12.7) можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} G^{i j} x_{i} x_{j}\right)=\tilde{F}^{i j}\left(x_{i}+b_{i}\right)\left(x_{j}+b_{j}\right)-\tilde{F}^{i j} b_{i} b_{j},
\]

где $b_{l}=\frac{1}{2} \tilde{F}^{i} \tilde{F}_{i j}$ есть функция только управляющих параметров. Если $G^{i j}$ положительно определена, квадратичная форма
\[
E=\frac{1}{2} G^{i j} x_{i} x_{j}
\]

может интерпретироваться как энергия. В этом случае уравнение (12.8) описывает скорость изменения обобщенной энергии $E$ динамической системы. Взятая с обратным знаком обобщенная «энергетическая» функция (12.9) будет являться функцией Ляпунова для динамических систем вышеописанного типа.

$\diamond \diamond \diamond$ Если силы $F_{i}$ задаются как градиенты какой-либо функции, то
\[
F_{i} \dot{x}_{i} \rightarrow-\frac{\partial V}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}=-\frac{d V}{d t} .
\]

Для градиентной динамической системы функция Ляпунова есть просто потенциальная функция. Для динамических систем в рассматриваемом случае функция Ляпунова ( $-E$ ) может быть названа обобщенной потенциальной функцей.