Как было показано, уже простое сравнение фазовой диаграммы в окрестности критической точки с максвелловским множеством катастрофы сборки и последующий анализ типичных признаков катастрофы позволяют выявить существование многих физических процессов в реальных системах. И все-таки мы не можем довольствоваться только лишь качественным описанием систем. Поэтому попытаемся от качественного описания перейти к количественному описанию (уравнение состояния) системы (в частности, жидкости) в окрестности ее критической точки. Для этого необходимо прежде всего установить соответствие между математической переменной состояния $x$ и соответствующим физическим параметром. Наиболее естественно на первый взгляд было бы идентифицировать $x$ с объемом $V$. Однако это только на первый взгляд, поскольку при пересечении кривой равновесия жидкой и газообразной фаз величина $V$ возрастает, а при пересечении в том же направлении максвелчение, доставляющее глобальный минимум, уменьшается, перескакивая с положительного значения ( $b<0$ ) на отрицательное $(b>0)$. Поэтому используем другую очевидную возможность и будем идентифицировать $x$ с $V^{-1}$, т. е. с величнной, пропорциональной плотности $\rho$ вещества.

Теперь нам предстоит преодолеть две технические трудности. Первая из них состоит в том, что математическая сборка имеет место при $(x;a,b)=(0;0,0)$, а физическая — при $({\rho }_c;P_c,T_c)$. Вторая трудность связана с тем, что в отличие от физических $(\rho ;P,T)$ математические $(x;a,b)$ параметры безразмерны. Обе эти трудности можно преодолеть, введя безразмерные масштабированные физические величины $({\rho }_r;P_r,T_r$ ), а именно:
$$\begin{array}{rlr}\frac{\rho -{\rho }_c}{{\rho }_c}={\rho }_r-1,\frac{P-P_c}{P_c}& =P_r-1,\frac{T-T_c}{T_c}& =T_r-1,\\ & =p-1,& =t-1\end{array}$$
(индекс $r$ показывает, что эти величины являются приведенными к их значениям в критической точке).

Простейшая возможная связь между математическими $(a,b)$ и физическими ( $p-1,t-1$ ) управляющими параметрами есть линейное преобразование вида
$$\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}p-1\\ t-1\end{array}\right].$$

При наличии такой связп кривая равновесия фаз должна быть прямой линией (что не так уж далеко от истины в окрестности критической точки), которая описывается уравнением
$$0=b=C(p-1)+D(t-1).$$

Приведенный коэффициент наклона $m$ этой прямой есть
$$m=\frac{dp}{dt}=\frac{T_c}{P_c}lim\frac{dP}{dT}=-\frac{D}{C},$$

где предел вычисляется при приближении к критической точке вдоль кривой равновесия.

Из линейности связи (10.26) и из соотношения $x={\rho }_r-1$ вытекает следующее уравнение сборки в окрестности критической точки:
$$\begin{array}{c}{({\rho }_r-1)}^3+(Ap+Bt-A-B)({\rho }_r-1)+\\ +(Cp+Dt-C-D)=0.\end{array}$$

Группируя подобные члены, получаем
$$\begin{array}{c}{({\rho }_r-1)}^3+p(A{\rho }_r+C-A)-[{\rho }_r(A+B)+\\ +(D+C-B-A)]=-t[B{\rho }_r+D-B]\end{array}$$

и, учитывая (10.25), окончательно имеем
$$\begin{array}{l}(A-C)P_r{V}_r-A{P}_r+(D+C-B-A+1)V_r+\\ +(B+A-3)-\frac{1}{V_r^2}+\frac{3}{V_r}=B{T}_r+(D-B)V_r{T}_r.\end{array}$$

Для анализа этого запутанного уравнения сделаем ряд упрощающих, хотя и необоснованных предположений.
1. Коэффициент при $V_r{T}_r$ равен нулю. Это предположение диктуется известным законом состояния идеального газа $PV=$ $=nRT$. (Поскольку идентификация с канонической катастрофой — это лишь локальное свойство, а сведение к идеальному газу (при $T\to \mathrm{\infty }$ ) уже таковым не является, то, вообще говоря, трудно как-то обосновать принятое предположение.)
2. Коэффициент при $V_r$ равен нулю.
3. Свободный член равен нулю.

Предположения 2 и 3 можно оправдать лишь тем, что при этом существенно упрощается (10.31) [см. (10.34)].

Эти предположения приводят к следующим ограничениям на коэффициенты линейного преобразования (10.26):
$$\begin{array}{rlrl}1.& \Rightarrow & D-B& =0,\\ 2.\Rightarrow D+C-B-A+1& =0,\\ 3.& A& A+B-3& =0,\\ 1.+2.& C-A+1& =0.\end{array}$$

В результате линейное преобразование (10.26) и уравнение состояния (10.31) принимают вид
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3-D& D\\ 2-D& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}p-1\\ t-1\end{array}\right],\\ P_r{V}_r-(3-D)P_r+\frac{3}{V_r}-\frac{1}{V_r^2}=D{T}_r.\end{array}$$

Сделаем еще два упрощающих предположения.
4а. Левая часть выражения (10.34) может быть представлена в виде произведения, т. е.
$$(P_r+\frac{{\alpha }_r}{V_r^2})(V_r-{\beta }_r)=D{T}_r,$$

если $D=8/3,{\alpha }_r=3,{\beta }_r=+1/3$. Уравнение (10.35) (после подстановки $P_r=P/P_c$ и т. д.) немедленно приводит к уравнению Ван-дер-Ваальса:
$$(P+\frac{\alpha }{V^2})(V-\beta )=nRT$$

где
$$\alpha =3P_c{V}_c^2,\beta =1/3V_c,nR=\frac{8}{3}\frac{P_c{V}_c}{T_c}.$$

Здесь $n$-число молей, $R$ — универсальная газовая постоянная, $\alpha ,\beta$ и $R$ имеют размерности $\left[n^2\right],\left[n^1\right]$ и $\left[n^0\right]$ соответственно.
4б. Коэффициенты в (10.34) описывают приведенный коэффициент наклона $m$ кривой равновесия фаз в критической точке [см. (10.28)], тогда $D=2m/(m-1)$ и (10.34) уже не может быть представлено в мультипликативной форме Ван-дер-Ваальса.

Оба предположения 4 а и $4б$ эквивалентны, если приведенный коэффициент наклона $m$ равен 4 . В этом случае возникает вопрос:

Что представляет собой приведенный коэффициент наклона $m=\left(T_c/P_c\right)lim(dP/dT)$ простой жидкости в окрестности ее критической точки?