Как было показано, уже простое сравнение фазовой диаграммы в окрестности критической точки с максвелловским множеством катастрофы сборки и последующий анализ типичных признаков катастрофы позволяют выявить существование многих физических процессов в реальных системах. И все-таки мы не можем довольствоваться только лишь качественным описанием систем. Поэтому попытаемся от качественного описания перейти к количественному описанию (уравнение состояния) системы (в частности, жидкости) в окрестности ее критической точки. Для этого необходимо прежде всего установить соответствие между математической переменной состояния $x$ и соответствующим физическим параметром. Наиболее естественно на первый взгляд было бы идентифицировать $x$ с объемом $V$. Однако это только на первый взгляд, поскольку при пересечении кривой равновесия жидкой и газообразной фаз величина $V$ возрастает, а при пересечении в том же направлении максвелчение, доставляющее глобальный минимум, уменьшается, перескакивая с положительного значения ( $b<0$ ) на отрицательное $(b>0)$. Поэтому используем другую очевидную возможность и будем идентифицировать $x$ с $V^{-1}$, т. е. с величнной, пропорциональной плотности $\rho$ вещества.

Теперь нам предстоит преодолеть две технические трудности. Первая из них состоит в том, что математическая сборка имеет место при $(x ; a, b)=(0 ; 0,0)$, а физическая – при $\left(\rho_{c} ; P_{c}, T_{c}\right)$. Вторая трудность связана с тем, что в отличие от физических $(\rho ; P, T)$ математические $(x ; a, b)$ параметры безразмерны. Обе эти трудности можно преодолеть, введя безразмерные масштабированные физические величины $\left(\rho_{r} ; P_{r}, T_{r}\right.$ ), а именно:
\[
\begin{aligned}
\frac{\rho-\rho_{c}}{\rho_{c}}=\rho_{r}-1, \quad \frac{P-P_{c}}{P_{c}} & =P_{r}-1, \frac{T-T_{c}}{T_{c}} & =T_{r}-1, \\
& =p-1, \quad & =t-1
\end{aligned}
\]
(индекс $r$ показывает, что эти величины являются приведенными к их значениям в критической точке).

Простейшая возможная связь между математическими $(a, b)$ и физическими ( $p-1, t-1$ ) управляющими параметрами есть линейное преобразование вида
\[
\left[\begin{array}{l}
a \\
b
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
p-1 \\
t-1
\end{array}\right] .
\]

При наличии такой связп кривая равновесия фаз должна быть прямой линией (что не так уж далеко от истины в окрестности критической точки), которая описывается уравнением
\[
0=b=C(p-1)+D(t-1) .
\]

Приведенный коэффициент наклона $m$ этой прямой есть
\[
m=\frac{d p}{d t}=\frac{T_{c}}{P_{c}} \lim \frac{d P}{d T}=-\frac{D}{C},
\]

где предел вычисляется при приближении к критической точке вдоль кривой равновесия.

Из линейности связи (10.26) и из соотношения $x=\rho_{r}-1$ вытекает следующее уравнение сборки в окрестности критической точки:
\[
\begin{array}{c}
\left(\rho_{r}-1\right)^{3}+(A p+B t-A-B)\left(\rho_{r}-1\right)+ \\
+(C p+D t-C-D)=0 .
\end{array}
\]

Группируя подобные члены, получаем
\[
\begin{array}{c}
\left(\rho_{r}-1\right)^{3}+p\left(A \rho_{r}+C-A\right)-\left[\rho_{r}(A+B)+\right. \\
+(D+C-B-A)]=-t\left[B \rho_{r}+D-B\right]
\end{array}
\]

и, учитывая (10.25), окончательно имеем
\[
\begin{array}{l}
(A-C) P_{r} V_{r}-A P_{r}+(D+C-B-A+1) V_{r}+ \\
+(B+A-3)-\frac{1}{V_{r}^{2}}+\frac{3}{V_{r}}=B T_{r}+(D-B) V_{r} T_{r} .
\end{array}
\]

Для анализа этого запутанного уравнения сделаем ряд упрощающих, хотя и необоснованных предположений.
1. Коэффициент при $V_{r} T_{r}$ равен нулю. Это предположение диктуется известным законом состояния идеального газа $P V=$ $=n R T$. (Поскольку идентификация с канонической катастрофой – это лишь локальное свойство, а сведение к идеальному газу (при $T \rightarrow \infty$ ) уже таковым не является, то, вообще говоря, трудно как-то обосновать принятое предположение.)
2. Коэффициент при $V_{r}$ равен нулю.
3. Свободный член равен нулю.

Предположения 2 и 3 можно оправдать лишь тем, что при этом существенно упрощается (10.31) [см. (10.34)].

Эти предположения приводят к следующим ограничениям на коэффициенты линейного преобразования (10.26):
\[
\begin{array}{rlrl}
1 . & \Rightarrow & D-B & =0, \\
2 . \Rightarrow D+C-B-A+1 & =0, \\
3 . & A & A+B-3 & =0, \\
1 .+2 . & C-A+1 & =0 .
\end{array}
\]

В результате линейное преобразование (10.26) и уравнение состояния (10.31) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
{\left[\begin{array}{l}
a \\
b
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
3-D & D \\
2-D & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
p-1 \\
t-1
\end{array}\right],} \\
P_{r} V_{r}-(3-D) P_{r}+\frac{3}{V_{r}}-\frac{1}{V_{r}^{2}}=D T_{r} .
\end{array}
\]

Сделаем еще два упрощающих предположения.
4а. Левая часть выражения (10.34) может быть представлена в виде произведения, т. е.
\[
\left(P_{r}+\frac{\alpha_{r}}{V_{r}^{2}}\right)\left(V_{r}-\beta_{r}\right)=D T_{r},
\]

если $D=8 / 3, \alpha_{r}=3, \beta_{r}=+1 / 3$. Уравнение (10.35) (после подстановки $P_{r}=P / P_{c}$ и т. д.) немедленно приводит к уравнению Ван-дер-Ваальса:
\[
\left(P+\frac{\alpha}{V^{2}}\right)(V-\beta)=n R T
\]

где
\[
\alpha=3 P_{c} V_{c}^{2}, \beta=1 / 3 V_{c}, n R=\frac{8}{3} \frac{P_{c} V_{c}}{T_{c}} .
\]

Здесь $n$-число молей, $R$ – универсальная газовая постоянная, $\alpha, \beta$ и $R$ имеют размерности $\left[n^{2}\right],\left[n^{1}\right]$ и $\left[n^{0}\right]$ соответственно.
4б. Коэффициенты в (10.34) описывают приведенный коэффициент наклона $m$ кривой равновесия фаз в критической точке [см. (10.28)], тогда $D=2 m /(m-1)$ и (10.34) уже не может быть представлено в мультипликативной форме Ван-дер-Ваальса.

Оба предположения 4 а и $4 б$ эквивалентны, если приведенный коэффициент наклона $m$ равен 4 . В этом случае возникает вопрос:

Что представляет собой приведенный коэффициент наклона $m=\left(T_{c} / P_{c}\right) \lim (d P / d T)$ простой жидкости в окрестности ее критической точки?