Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Известно, что обобщенная сила, действующая на систему, поведение которой описывается потенциальной функцией, равна антиградиенту этой функции. Поэтому если в рассматриваемой точке пространства состояний градиент потенциальной функции отличен от нуля, то и сила, действующая в точке, также отлична от нуля: $F=-
abla V
eq 0$ (рис. 2.1). В этом случае в некоторой
Рис. 2.1. Преобразование функции $V$ в локально линейную функцию $V \rightarrow a+$ $+\left(y-y_{0}\right) b$ с помощью гладкой замены координат в точке $x_{0}$, в которой градиент $
abla V
eq 0$.
окрестности заданной точки можно выбрать новую систему координат, такую, что сила в этих новых координатах будет иметь единственную отличную от нуля компоненту (без ограничения общности можно считать, что ее первая компонента равна 1). Для того чтобы сделать все эти рассуждения математически строгими, необходимо использовать теорему о неявной функции [1], согласно которой возможна гладкая (т. е. имеющая производные любого порядка) замена координат:
\[
\begin{array}{l}
y_{1}=y_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \\
y_{2}=y_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \text {, } \\
y_{n}=y_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \\
\end{array}
\]
.
.
.
в результате которой в новой системе координат ${ }^{1}$ ) имеем
\[
V \doteq y_{1}(+ \text { Константа })
\]
1) 3 нак $\doteq$ означает «… равно после гладкой замены переменных …»,
При исследовании локальных свойств потенциальной функции постоянную в формуле (2.1) можно не учитывать. (От нее можно также избавиться при помощи соответствующего сдвига начала системы координат.)
