Семейства линейных операторов, зависящие от управляющих параметров, могут содержать отдельные матрицы с вырожденными собственными значениями. Какие же типы вырожденностей могут встречаться в $k$-параметрическом семействе линейных операторов? Ответ на этот вопрос можно получить, используя результаты, изложенные в предыдущих разделах.

Если $k=1$, характеристическое уравнение в общем случае может иметь лишь дважды вырожденный корень. Наиболее вырожденный член 1-параметрического семейства имеет следующую жорданову каноническую форму:
\[
\alpha^{2} \beta \gamma \ldots \text {. }
\]

Если $k=2$, характеристическое уравнение может иметь один трижды вырожденный корень или два дважды вырожденных корня (остальные корни невырожденные) и жордановы канонические формы имеют вид
\[
\alpha^{3} \beta \gamma \ldots \text { и } \alpha^{2} \beta^{2} \gamma \ldots \text {. }
\]

Эти формы соответствуют функциям с одной троекратной вырожденностью сборки или двумя двукратными вырожденностями складки.
Если $k=3$, возможны следующие случаи:
\[
\alpha^{4}, \alpha \alpha, \alpha^{3} \beta^{2}, \alpha^{2} \beta^{2} \gamma^{2} .
\]

Очевидность первого, третьего и четвертого случаев следует из интуитивных соображений лересчета, который, кстати, может быть выполнен достаточно строго. В результате имеем один управляющий параметр для того, чтобы сделать равными два собственных значения, что аналогично ситуации, когда имеется один управляющий параметр для вырождения каждой критической точки или каждого слияния критических значений. Матрица имеет вид
\[
\alpha \alpha=\left[\begin{array}{ll}
\alpha & 0 \\
0 & \alpha
\end{array}\right] .
\]

Покажем, что такие матрицы встречаются при рассмотрении случая трех управляющих параметров.

Диагональная $n \times n$-матрица $\lambda I_{n}$ обладает $n$-мерным универсальным возмущением. Размерность возмущения может быть понижена на единицу, если взять возмущенную матрицу, имеющую тот же след, что по существу соответствует переносу центра тяжести мультиплета в нуль (или переносу начала координат), в результате которого из потенциальной функции, описывающей катастрофы $A_{k}$ ( $x_{i}$-корни), исключается член $\left(x_{1}+\ldots\right.$ … $\left.+x_{k}\right) x^{k}$.

Более общо, $\alpha^{p} \alpha^{q}$ представляет жорданову $(p+q) \times(p+q)$ матрицу. Верхний жорданов $p \times p$-блок имеет +1 на диагонали, расположенной выше главной диагонали. Таков же и нижний жорданов блок. Внедиагональные блоки нулевые. Жорданова матрица $\alpha^{3} \alpha^{2}$ имеет структуру типа (14.3). Матрица $\alpha^{2} \alpha$ впервые устойчиво встречается в 4 -параметрическом семействе, так как $2+3 \times 1-1=4$ [ср. с (14.37)]. Значения $k$, при которых может впервые устойчиво встречаться жорданова матрица вида $\alpha^{p} \alpha^{q} \alpha^{r} \ldots$, приведены в табл. 14.1. Используя эту таблицу, можно составить перечень наихудших возможных вырождений, которые могут типично встречаться в $k$-параметрическом семействе линейных операторов. Этот перечень зависит от $k$ и не зависит от $n$ размерности пространства состояний, в котором действуют линейные операторы при условии, что сумма вырожденностей не превышает $n$. Перечень вырожденных жордановых форм приведен в табл. 14.2. Канонические формы Жордана – Арнольда (универсальные возмущения), соответствующие каждой вырожденной матрице (ростку), могут быть легко построены, если следовать фориулам (14.34) и (14.36).
Таблица 14.1. Жордановы блоки вида $\alpha^{n_{1}} \alpha^{n_{2}} \alpha^{n_{3}}=\ldots=\left\{n_{i}\right\}$, которые могут впервые встречаться в $k$-параметрических семействах матриц [1]

Таблица 14.2. Наиболее вырожденные матрицы, которые, как правило, могут встречаться в $k$-параметрических семействах матриц [1]