Многие конструкции могут быть описаны с помощью потенциальной функции, зависящей от нагрузки $F$, приложенной к конструкции. Состояние конструкции характеризуется критическими точками потенциальной функции. При этом устойчивость состояния определяется с помощью морсовской характеристики потенциала в критической точке, а критическая нагрузка, которую может выдержать конструкция, – вырождением критических точек. Короче говоря, изучение поведения статических конструкций под нагрузкой и их чувствительности к несовершенству тесно связано с теорией катастроф. Большая часть этой главы является демонстрацией этих наблюдений.

Для того чтобы найти вид потенциальной функции, описывающей идеальную, или совершенную, систему, вводятся подходящие переменные состояния. Тогда критическая нагрузка для совершенной системы определяется путем рассмотрения значений $F$, при которых матрица устойчивости становится сингулярной. Росток потенциала в этой неморсовской критической точке может быть использован для установления вида наиболее общих деформаций потенциальной функции, описывающей идеальную систему. Чтобы наложить суцественные ограничения на вид общих деформаций, при рассмотрении принимались во внимание соображения физического характера. Это в свою очередь позволяло найти универсальную деформацию, которая может быть использована для определения чувствительности критической нагрузки к несовершенствам различных возможных типов.

Описанные методы были обобщены для изучения снижения несущей спосообности к нагрузке, обусловленной колебаниями конструкции. Снижение критической нагрузки определяется приравниванием критического значения разности $\Delta V$ между метастабильным локальным минимумом и нижним смежным морсовским 1-седлом величине $\Delta E$. Установлено, что чувствительность критичсской нагрузки к несовершенству и колебаниям описывается степенной зависимостью $F_{c}=F_{p}-k|\varepsilon|^{p}$ или $F_{c}=$ $=F_{p}-k(\Delta E)^{p}$, где $p$ принимает следующие значения;

Для изученных систем жесткая чувствительность к несовершенству наблюдается наряду с даже более жесткой динамической чувствительностью.

Показано, что инженерная оптимизация может привести в предположении сильного сцепления элементов конструкции к неожиданным разрушающим модам с жесткими чувствительностью к несовершенству и динамической чувствительностью. Методы теории групп могут быть использованы для привлечения теории катастроф к анализу составной системы, обладающей симметрией некоторого типа, а смягчение моды – для определения положения критической нагрузки, перед тем как произойдет разрушение.
$\diamond \diamond \diamond$ По причинам, связанным с соображениями физического характера, замены переменных, приводящие к смешиванию переменных состояния и управляющих параметров, могут оказаться нежелательными. Если же такие замены допустимы, то чувствителыость к несовершенству системы, находящейся в неморсовской критической точке, может быть определена детальным анализом с использованием методов, изложенных в гл. 3-5. Подобный анализ был проведен Голубицким и Шеффером [6].

Литература
1. Thompson J. M. T., Hunt G. W., A General Theory of Elastic Stability, New York: Wiley, 1973.
2. Euler L., Methodes Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes (Appendix, De Curvis Elasticis), Lausanne and Geneva: Marcum Michaelum Bousquet, 1744 .
3. Roorda J., Stability of Structures with Small Imperfections, J. Eng. Mech. Div. Am. Soc. Civil Eng., 91, 87 (1965).
4. Thompson J. M. T., Hunt G. W., Dangers of Structural Optimization, Eng. Optimization, 1, 99-110 (1974).
5. Thompson J. M. T., Hunt G. W., Towards a Unified Bifurcation Theory, $J$. Appl Math. Phys., 26, 581-603 (1975).
6. Golubitsky M., Schaeffer D., A Theory for Imperfect Bifurcation via Singularity Theory, Commun. Pure Appl. Math., 32, $21-98$ (1979).