Предположим, что мы случайно выбираем функции $n$ переменных (состояния) или более частные потенциальные функции $V(x_1:x_2,\dots ,x_n)$ из всего множества таких функций. Тогда большинство функций, которые мы встретим, вообще не имеют критических точек или имеют изолированные (невырожденные) критические точки. Функции, имеющие только изолированные критические точки, назовем морсовскими. В действительности почти все ${}^1$ ) функции, которые мы при этом встретим, будут морсовскими функциями, и поэтому при рассмотрении типичных потенциальных функций нет необходимости в использовании теоремы Тома.
${}^1)$ Понятие «почти все» будет строго обосновано в гл. 21.

Рассмотрим типичную потенциальную функцию $V(x_1,\dots ,x_n)$. Если точка $x^0$ выбрана случайно или является типичной точкой в ${\mathbb{R}}^n$, то $ablaVeq0$ в $x^0$, так как типичная потенциальная функция имеет лишь изолированные критические точки. Поскольку $ablaVeq$ $eq0$ и почти везде в ${\mathbb{R}}^n$ справедлива теорема о неявной функции, то практически снимается вопрос о применимости леммы Морса, так как точки, в которых $ablaV=0$, встречаются редко. Однако критические точки имеют большую ценность, чем некритические точки, и именно они в основном характеризуют глобальные качественные изменения в поведении потеншиальной

Рис. 5.1. Положение изолированных критических точек на прямой и их типы полностью определяют качественную природу потенциальной функции.
Единственное не 0 -седло в точке $x_2$ делит ${\mathrm{K}}^{2}1$ на левосторонний и правосторонний бассейны с аттракторами $x_1$ и $x_2$ соответственно.

функции $V(x)$. Это легко показать для одномерного пространства (рис. 5.1). Если $V(x)$ имеет критические точки $x_1,x_2,x_3$ (как показано на этом рисунке), то в любой точке слева от $x_1$ сила ( $F=-dV/dx$ ) направлена вправо, а в любой точке между $x_1,x_2$ — влево. Направление силы $F$ меняется при переходе через невырожденную критическую точку. Следовательно, если $V(x)$ имеет лишь изолированные критические точки и координаты всех этих точек известны, то можно определить все качественные изменения в поведении функции $V(x)$ при условии, что известны направление $F$ в любой промежуточной открытой области между критическими точками или морсовский тип каждой критической точки.

Аналогичные рассуждения ммеют место и для пространств размерности два и более. Например, если $V(x_1,x_2)$ имеет два изолированных минимума ( 0 -седла), то должен быть отрезок прямой (или некоторый путь), соединяющий эти два 0 -седла и проходящий через 1-седло. Определяя координаты и тип седла каждой изолированной точки в ${\mathbb{P}}^2$, можно сделать выводы о качественном изменении в поведении $V(x_1,x_2)$.

Рис. 5.2.
а-представление потенциальной функции двух переменных посредством линий уровня.
6 — представленне той же функции в теории дннамических систем; $\times$ вершина горы;
п перевал; $O$ дно озера; 2 селаратриса; — — ребро, бассейн притяжения; $\mathit{\theta }-$ представлениями (a) и (в).

Геометрически качественная природа функции $V(x_1,x_2)$ может быть представлена двояко (рис. 5.2): в случае рис. 5.2, $a$ для представления используются контуры или линии уровня $V(x_1,x_2)=$ const вместе с соответствующими значениями констант на них. В окрестности локального максимума или минимума линии уровня имеют эллиптическую форму, а в окрестности седла — гиперболическую. Вершины гор и седла связаны посредством хребтов, озерных впадин, седлообразных долин. Подобное топографическое представление чрезвычайно удобно для путешественников и альпинистов, так как оно содержит информацию не только о местонахождении горных вершин, озер и перевалов.

В случае рис. 5.2,б для представления, которое оказывается очень удобным для наших целей, для обозначения каждой критической точки и ее типа используются соответственно кружки или стрелки. Направления стрелок определяются матрицей устойчивости $V_{ij}$ в рассматриваемой точке. Диагонализация $V_{ij}$ в рассматриваемой критической точке позволяет найти направления главных осей [направления максимума/минимума, градиента/антиградиента]. Собственные значения, связанные с главными осями, указывают на величину и направления сил вдоль главных осей. Согласно стандартному соглашению, стрелка, направленная к критической точке, указывает силу в данном направлении, и чем длиннее стрелка, тем больше сила. Очевидно, что главные оси (рис. 5.2,в) могут быть связаны таким образом, чтобы получились долины и хребты, о наличии которых свидетельствует контурная карта, представленная на рис. $5.2,a$.

Если для представления функции $V(x_1,x_2)$ используются координаты главных осей и собственные значения критических точек (как это сделано на рис. 5.2, , ), то соответствующее контурное представление можно считать беглым наброском, по крайней мере в окрестности любой критической точки.

Если контурную карту (рис. 5.2,a) наполнить водой, то последняя соберется в озера, расположенные на дне долин. Минимум, который притягивает воду, называют аттрактором. Қаждый аттрактор лежит во впадине водораздела, или бассейна, называемого бассейном притяжения (аттракции). Внутри каждого бассейна притяжения существует один аттрактор (локальный минимум). Аттракторы разделяются седлами, хребтами и максимумами, которые образуют границу между различными бассейнами притяжения.

Представление $V(x)$, приведенное на рис. $5.2,6$, более просто обобщить на случай $n$ ( $>2$ ) переменных состояния, чем контурное представление (рис. 5.2,a), так как для каждого морсовского 0 -седла имеется всего лишь один бассейн притяжения. Очертание бассейна притяжения может быть определено при помощи связывания $i$-седла со смежными $(i+1)$-седлами $(i>0)$. Этот процесс для случая ${\mathbb{R}}^2$ проиллюстрирован на рис. 5.2,б.