Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Одним из возможных графических представлений возмущаемых ростков катастроф является контурное представление. Для того чтобы получить такое представление, удобно выбрать начало координат и масштаб на прямой $\mathbb{R}^{1}\left(\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{1}\right)$ и управляющие параметры так, что все максимумы имеют критическое значениеl, все седла имеют критическое значение 0 и все минимумы имеют критическое значение -1. Это всегда можно сделать для катастроф, зависящих от одной или двух переменных состояния.
Такой выбор очень удобен, так как пересечение седла $f(x, y)=$ $=x y$ с плоскостью $z=0$ имеет вид $x$. Контур нулевого уровня в этом случае дает удобный остов, вокруг которого могут быть построены остальные контуры. (Мы этого делать не будем.) Контурное представление может быть сконструировано непосредственно на основе диаграммного представления.
Пример 1: $\boldsymbol{A}_{2 k}$. Вначале нарисуем диаграммное представление, которое в пространстве $\mathbb{R}^{2}$ имеет вид
Пересечение функций, представ.пяемых диаграммой (7.32а), с плоскостью $z=0$ имеет следующий вид:
Локальные минимумы обязательно должны быть окружены контурами нулевого уровня, так что контуры могут быть соединены
Наконец, нет больше смысла оставлять как кружочки, представляющие локализацию критических точек, так и потоковые линии, связывающие «смеж. ные» точки. Таким образом, контурное представление катастрофы $A_{2 k}$ упроститея до
Связи седел в этих контурах структурно неустойчивы.
Пример 2: $\boldsymbol{A}_{2 k+1}$. Диаграмма для этой функции катастрофы имеет вид
Следуя шагам $a-d$ вышеизложенного примера, получим следующее контурное представление $A_{2 k+1}$ :
Пример 3. Два открытых множества для катастрофы $D_{2 k}$, описывающие семейство функций с $2 k$ изолированными критическими точками, имеют следующее диаграммное представление:
Соответствующие контурные представления имеют вид
Пример 4. Одним из возможных диаграммных представлений $D_{-2 k}$ и соответствующим ему контурным представлением являются
В табл. 7.1 также приведен контур нулевого уровня, соответствующий каждому типу структурно устойчивого семейства функций для каждой из элементарных катастроф.
