Цель настоящей главы состояла в том, чтобы показать, что элементарная теория катастроф может быть использована в качестве фундамента, на котором строится изучение динамических свойств некоторого летательного аппарата. Нам представляется, что именно такой путь позволяет наглядно продемонстрировать возможность использования не только методов, но и результатов элементарной теории катастроф для описания и понимания свойств динамических (не градиентных) систем с соответствующим образом записанными уразнениями движения,

Поскольку наш подход не ограничивался применением теории катастроф лишь только к летательным аппаратам, мы провели общее обсуждение используемых методов и ввели соответствующие систему и подсистему уравнений. Последняя содержит линейные, а также нелинейные члены определенного типа. Для динамических систем, описываемых уравнениями движения такого типа, можно определить обобщенную «потенциальную» функцию. В этом смысле динамические системы начинают походить на градиентные системы. Кроме того, мы предоставили читателям возможность составить представление о процедуре линейного анализа устойчивости.

В рассмотрение были также введены пространства переменных состояния и управляющих параметров, требуемых для описания простой модели летательного аппарата.

Показано, что уравнения движения могут быть существенно упрощены с помощью известных предположений, которые приближенно выполняются для реактивного летательного аппарата с крыльями-стабилизаторами. Эти предположения включают пренебрежение гравитационными членами $(g /|\mathbf{v}| \rightarrow 0)$ и всеми нелинейными членами уравнений движения, за исключением инерционных. При таких предположениях получающиеся уравнения обладают свойствами ранее изученной системы уравнений. Вследствие этого многие свойства таких систем, вообще говоря, известны. В этой связи последовательная редукция произведения пространств переменных состояния управляющих параметров выглядит следующим образом:

Последняя редукция оказывается возможной, поскольку уравнение состояния $\Phi^{\prime}(x, c)=0$ является уравнением пятой степени. Наихудшей катастрофой, соответствующей такому многообразию, является $A_{5}$, которая имеет лишь четыре управляющих параметра.

Полученные результаты были использованы при описании состояния конкретного летательного аппарата. Уравнения состояния (12.30) и (12.31), включающие параметры этого летательного аппарата, позволяют легко определить бифуркацион:

ное множество. Как только последнее становится известным, сразу же можно найти связанную с ним катастрофу.

Прямое интегрирование рассматриваемой системы уравнений было реализовано Мера́, Кесселом и Керроллом [1]. Результаты этого численного интегрирования поддаются простой интерпретации, поскольку были предварительно установлены положение и структура критического многообразия. Более того, интегрирование уравнений движения позволяет обнаружить устойчивые компоненты многообразия уравнения состояния, а также бифуркационное множество (с помощью проектирования). И наоборот, знание многообразия стационарных состояний может быть использовано для получения решений уравнений движения вообще без какого-либо интегрирования.

Были использованы лишь две из четырех степеней свободы по управляющим параметрам, связанных с катастрофой $A_{5}$. Это обусловлено несовершенством модели, а не данного метода. Более реалистичная модель могла бы иметь ненулевые коэффициенты функции линейного отклика на отклонение $\tau$ руля направления, а также на разности отклонений $\delta a$, $\delta е$ элеронов и рулей высоты. Однако эти дополнительные ненулевые коэффициенты внесли бы изменения в наши рассуждения лишь на стадии записи соотношения (12.31) и последующего анализа.

Литература
1. Mehra R. K., Kessel W. C., Carroll J. V., Global Stability and Control Analysis of Aircraft at High Angees of Attack, Cambridge: Scientific Systems, 1977 .
2. Etkin B., Dynamics of Atmospheric Flight, New York: Wiley, 1972.