Результаты, полученные в предыдущем разделе и обобщенные в табл. 13.1, показывают, что амплитуда, связанная с вырожденной критической точкой фазовой функции $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$, pacходится как $(1 / \lambda)^{\sigma}$ при $\lambda \rightarrow 0$. Следовательно, бифуркационное множество $\mathscr{P}_{B}$ функции $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ определяет каустики, связанные с быстро осциллирующим интегралом. Поскольку семейство функций $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ параметризовано с помощью $n$ управляющих параметров $\boldsymbol{\Omega} \in \mathbb{R}^{n}$, наихудшая катастрофа, типичная для данного случая, оказывается $n$-мерғой. Вообще говоря, затруднительно наблюдать одновременно каустики более чем двух измерений, поскольку, как правило, исследуются дифракционные картины, полученные на двумерном экране ( $R^{2}$ ). Следовательно, образцы каустик, с которыми мы обычно сталкиваемся, могут быть получены как сечения $\mathbb{R}^{2} \cap \mathscr{P}_{B}$.
Таблица 13.1. Преобразование френеля факторов элементарных катастроф
\[
k^{l / 2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i k \mathrm{CG}(l)} d^{l} x=k^{\sigma} I[\mathrm{CG}(l)]
\]

Если происходящая в окрестности $\boldsymbol{\Omega}_{0}$ катастрофа наивысшей размерности имеет место в самой $\boldsymbol{\Omega}_{0}$, то каустики, появляющиеся на экране $R^{2}$, примыкающем к $\boldsymbol{\Omega}_{0}$, могут принимать лишь такие канонические формы, которые могут быть получены при рассмотрении двумерных срезов соответствующего бифуркационного множества. Например, если росток катастрофы $A_{4}$ расположен где-то в $\mathbb{R}^{3}$, то каустики, с которыми мы столкнемся, помещая плоский экран вблизи этого ростка в $\mathbb{R}^{3}$, могут принимать формы, изображенные на рис. $13.5, a$. Аналогичное рассмотрение может быть проведено в случае ростков катастроф $D_{+4}$ (рис. $13.5,6$ ) и. $D_{-4}(13.5, \boldsymbol{3})$. Каноническое распределение ростков катастрофы приводит к аналогичным каноническим распределениям каустик трехмерных или большего ( $n>3$ ) числа измерений. Кроме того, известный канонический вид плоских сечений бифуркационных множеств и масштабные соотношения между управляющими параметрами позволяют на основе наблю-

Рис. 13.5. Каустики, связанные с трехмерными катастрофами.
Катастрофы $A_{4}, D_{+4}, D_{-4}$ являются сечениями соответствующего бифуркационного множества $\mathscr{S}_{B}$ плоскостью $\mathrm{R}^{2}$; изображенные на рисунках каустики получены на основании рис. $5.6,5.11$ к 5.17 соответственно.

дений каустик на двух параллельных плоскостях легко обнаружить в случае $n=3$ плоскость, содержащую каустический росток.

Обратим внимание на сходство понятий, используемых в данной главе и в гл. 10. Если фазовую $P-T$-диаграмму можно рассматривать как пересечение $\mathbb{R}^{2} \cap \mathscr{P}_{M}$ физической плоскости $P-T$ с максвелловским множеством термодинамического потенциала $\mathscr{G}\left(E^{\alpha} ; i_{\beta}\right)$, то диаграмму каустики на плоскости экрана можно представить как пересечение $\mathbb{R}^{2} \cap \mathscr{I}_{B}$ плоскости физического экрана с бифуркационным множеством функции оптической длины пути $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$. В обоих случаях, изменяя положение и ориентацию секущей плоскости $\mathbb{R}^{2}$, можно отобразить максвелловское множество и бифуркационное множество в пространство управляющих параметров соответствующей катастрофы. И в том и в другом случае существует дуализм между пространственными переменными и управляющими параметрами.
$\diamond \diamond \diamond$ Параллель между каустиками и термодинамическим равновесием может быть несколько расширена. Существует класс тригонометрических интегралов, зависящих от параметров $\boldsymbol{\Omega}$, которые могут быть представлены в виде
\[
A(\mathbf{\Omega})=\int e^{i[S(x)-(\Omega, x)] / \lambda} d^{n} x .
\]

Здесь $\langle\boldsymbol{\Omega}, x\rangle$ есть скалярное произведение двух $n$-мерных векторов $x, \boldsymbol{\Omega}$. Такие интегралы составляют специальный класс интегралов (13.9) с
\[
\Phi(x ; \mathbf{\Omega})=S(x)-\boldsymbol{\Omega} \cdot x .
\]

Метод стационарной фазы позволяет сразу же указать на подсистему точек $(x ; \boldsymbol{\Omega}) \subset \mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{n}$, которые в коротковолновом пределе дают существенный вклад в интеграл (13.36). Это многообразие определяется соотношением
\[

abla_{x} \Phi(x ; \mathbf{\Omega})=0 \Leftrightarrow \frac{\partial S}{\partial x_{j}}=\mathbf{\Omega}_{j} .
\]

Такое $n$-мерное многообразие в $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{n}$ называют лагранжевым многообразием. Многообразия подобного типа существуют и в термодинамике, поскольку выполняется соотношение
\[

abla_{i} \mathcal{U}\left(i_{\alpha} ; E^{\beta}\right)=0 \Leftrightarrow \frac{\partial G}{\partial i_{\alpha}}=-E^{\alpha} .
\]