Қак было показано (гл. 1), описание качественных изменений в поведении системы в зависимости от управляющих параметров не может быть получено в общем виде. Подобная задача может быть полностью решена лишь в простейшем случае, а именно при описании состояний равновесия градиентных систем. В физике довольно часто приходится иметь дело с такими системами (т. е. с системами, состояние которых может быть описано потенциальными функциями, зависящими от управляющих параметров), и только в случае таких систем результаты элементарной теории катастроф могут быть использованы непосредственно. Поскольку, однако, мы исключили все изменения состояния системы динамического характера (т. е. все производные по времени, гл. 1), то указанные системы обязательно должны быть статическими, и, следовательно, анализ эволюции состояния равновесия градиентных систем выходит за пределы возможностей теории катастроф. Поэтому в случае изучения динамики системы необходимо сделать о ней некоторые предположения физической или интуитивной природы (например, эволюция носит квазистатический или адиабатический характер, т. е. все производные по времени очень малы). Даже если состояние системы может быть описано потенциальной функцией, совсем не обязательно, чтобы оно полностью характеризовалось точкой, в которой функция минимальна. Типичным примером этого является одномерный гармонический осциллятор, поведение которого описывается потенциальной функцией $V(x)=\frac{1}{2} k(x-a)^{2}$. Точка $x=c$ минимизирует потенциал и полностью описывает классический (статический) гармонический осциллятор. Однако квантовомеханический гармонический осциллятор описывается посредством вероятностного распределения, которое концентрируется в точке $a$ основного состояния, а его ширина определяется коэффициентом члена диффузии $\left(-\hbar^{2} / 2 m\right)\left(\partial^{2} / \partial x^{2}\right)$ в уравнении Шредингера. Многие представляющие интерес физические системы также могут быть описаны функциями распределения $P(x)$, которые, как правило, довольно просто связаны с пстенциальными функциями $V(x)$ (например, $P(x) \simeq e^{-V(x) / D}$ ). По существу если дифференциальное уравнение, описывающее систему, содержит вторые производные, функции распределения будут присутствовать в общем случае. Поскольку, однако, мы уже достигли шага 2 (гл. 1) и тем самым исключили пространственные производные любого порядка, для изучения систем, описываемых функциями распределения, необходимо наложить на изучаемую систему некоторые внешние ограничения физической или интуитивной природы. Например, можно предположить, что по сравнению с высотой внутреннего барьера уровень шума в системе либо очень мал, либо слишком велик.

Қороче говоря, математические методы элементарной теории катастроф, описанные в гл. 2-7, формально применимы лишь на уровне шага 7 (табл. 1.1). Для того чтобы иметь возможность применять их на более раннем уровне (табл. 1.1), необходимы какие-то внешние (неприсущие самой теории катастроф) соглашения (принципы) более высоко структурированной природы.