В двух предыдущих примерах потенциальная функция, описывающая совершенную систему, была инвариантна относительно преобразования симметрии $x \rightarrow-x$, где $x$-параметр порядка системы (т. е. первый или второй коэффициент Фурье). Это, строго говоря, верно только тогда, когда мы не ограничиваемся разложениями (11.10), содержащими лишь первые два коэффициента Фурье. В данном случае мы можем сделать такое предположение, основываясь на том, что энергия прогиба быстро возрастает при переходе к последовательно более высоким модам прогиба.

Так как совершенная система была описана при помощи четной потенциальной функции $V_{p}(x ; F)$, зависящей от единственного управляющего параметра $F$, то можно было бы потребовать обращения в нуль всего лишь одного коэффициента ряда Тейлора $\left[\sim\left(F_{p}-F\right) x^{2}\right]$, что неминуемо приводило бы к рассмотрению катастрофы сборки ( $\sim x^{4}$ ) либо двойной сборки $\left(\sim-x^{4}\right)$.

При отсутствии симметрии разложение в ряд Тейлора потенциальной функции $V_{p}(x ; F)$, описывающей некоторую совершенную систему, будет иметь вид
\[
V_{p}(x ; F)=V_{0}+V_{1} x+\frac{1}{2} V_{2} x^{2}+\frac{1}{3 !} V_{3} x^{3}+\ldots .
\]

В общем случае выберем параметр порядка $x$ так, чтобы совершенная система имела состояние равновесия в $x=0$. Тогда $V_{1}=0$. (Постоянный член не имеет существенного значения и может быть исключен путем переноса начала координат.) Квадратичные, кубические и члены более высокой степени в общем случае отличны от нуля. Если рассматривать изменение системы в зависимости от возрастающей прилагаемой силы $F$ в точке $F=F_{p}$, то потенциальная функция может быть записана в виде
\[
V_{p}(x ; F)=\frac{1}{2}\left(F_{p}-F\right) x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}+\ldots
\]

Рис. 11.10 .
$a$ – поддерживающий кронштейн и жестко сочлененная рама – две совершенные системы, в которых наблюдается смена типа устойчивости. Несовершенство моделируется с помощью смещения пагрузки; б-экспериментально определенные устойчивые и неустойчивые состояния равновесия совершенной жестко сочлененной рамы [3]; в – экспериментально найденная чувствительность к несовершенству подчиняется степенной (с показателем степени $1 / 2$ ) зависимости [7|. Заметим, что при значенни парам етра несовершенства $1 / 4 \%$ величина разрушающей нагрузки снижается на $5 \%$. Отметим также, что точка (место) разрушения не находнтси на касательной к оси $f / L=0$, так как несовершенство внутренне присуще модели.

посредством замены масштабов по осям $x$ и $F$. Членами четвертой и более высокой степени можно пренебречь. Две совершенные системы, описываемые потенциальной функцией, эквивалентной (11.33), изображены на рис. 11.10.

Критические точки, соответствующие $V_{p}$, определяются, как обычно, из соотношения
\[
\frac{d}{d x} V_{p}=0=x\left\{\left(F_{p}-F\right)+x\right\} .
\]

Положение критических точек и тип их устойчивоети показаны на рис. 11.11: смена типа устойчивости происходит в момент, когда две критические точки $x_{1}(F)=0, x_{2}(F)=F-F_{p}$ проходят одна через другую.

Рис. 11.11. Положения критических точек в зависимости от прилагаемой нагрузки Зависимость для устойчивой критической точки изображена жирной линией. Наблюдается смена типа устойчивости.

Потенциальная функция, описывающая соответствующую несовершенную систему, имеет вид
\[
\begin{array}{l}
V_{i}\left(x ; F, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots\right)=V_{p}(x ; F)+p(x), \\
p(x)=\varepsilon_{1} x+\frac{1}{2} \varepsilon_{2} x^{2}+\frac{1}{3} \varepsilon_{3} x^{3}+\ldots .
\end{array}
\]

Результаты, представленные в гл. 4, дают нам все сведения о наиболее общей деформации ростка $x^{3}$ : это будет линейный член. Короче говоря, формула (11.35) может быть преобразована в каноническую форму посредством соответствующей нелинейной замены. Это полностью справедливо с математической точки зрения, но совершенно не удовлетворительно с точки зрения физики явления; такое нелинейное преобразование может привести к возникновению сложной нелинейной связи между физическим параметром (нагрузкой) $F$ и параметрами несовершенства $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots$. Поэтому, вместо того чтобы проводить нелинейное преобразование, которое приводит (11.35) к канонической форме, поступим следующим образом. Отбросим в деформационном разложении члены выше второй степени. (Қвадратичные члены оставим только для того, чтобы показать, что они играют менее важную роль, чем линейные. В конечном счете их также отбросим.) Тогда потенциальная функция, описывающая несовершенную систему, примет вид
\[
V_{i}\left(x ; F, \varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1} x+\frac{1}{2}\left(F_{p}^{\prime}-F\right) x^{2}+\frac{1}{3} x^{3},
\]

где $F_{p}^{\prime}=F_{p}+\varepsilon_{2}$. Критические точки определяютея соотношением
\[
\frac{d V_{i}}{d x}=\varepsilon_{1}+\left(F_{p}^{\prime}-F\right) x+x^{2}=0 .
\]

Уравнение (11.37) представляет двумерное многообразие, вложенное в пространство $k^{3}$ с координатйыми оеями $x-F-$ в $_{1}$ (рис. 11.12,a).

В этом случае состояниями равновесия несовершенной системы являются сечения этого иногообразия плоскостями $\varepsilon_{1}=$

Рис. 11.12 .
a- форма многообразия состояний равновесия в пространстве переменных состояння и управляющих параметров $x-F-\varepsilon_{1}$ дяя несовершенного поддерживающего кронштейна. Все точки на верхней части этой поверхности представляют локально устойчивые состояния, а точки на нижнем листе – локально неустойчивые состояния. Верхняя и нижняя ветви имеют сепаратрису. которая проектируется на параболу $\varepsilon_{1}=\left(F-F_{p}^{\prime} / 2\right)^{2}$. лежащую в пространстве управляющих параметров. 1 -устойчивые точки, 2 – неустой чивые точки; $\sigma$ – траектории до и после выпучивания как сечения многообразия состояний равновесия плоскостью $\varepsilon_{1}=$ const. Свойства устойчивости вдоль этих траекторий определяются непосредственно из рассмотрения многообразия состояний равновесия.
$=$ const (рис. 11.12,б). Свойства устойчивости критических точек легко определяются: все точки на верхнем листе критического многообразия представляют собой локально устойчивые критические точки $V_{i}$, все точки на нижнем листе — неустойчивые критические точки.

Поведение несовершенной системы в зависимости от нагрузки $F$ критически зависит от знака параметра несовершенства $\varepsilon_{1}$ : при $\varepsilon_{1}<0$ для каждого значения $F$ существуют две критические точки; при $\varepsilon_{1}>0$ имеется область, в которой $V_{i}$ вообще не имеет критических точек. Последняя существует при
\[
-\varepsilon_{1}+\left(\frac{F_{p}^{\prime}-F}{2}\right)^{2}<0 .
\]

Чувствительность системы к несовершенству выражается формулой
\[
\begin{array}{c}
F_{c}=F_{p}+\varepsilon_{2}-2\left(\varepsilon_{1}\right)^{1 / 2}, \quad \varepsilon_{1}>0, \\
F_{c}={ }^{\infty}{ }^{\circ}, \quad \varepsilon_{1}<0 .
\end{array}
\]

При $\varepsilon_{1} \leqslant 0$ локально устойчивое состояние равновесия существует при всех значениях внешней силы $F$ (ситуация, аналогичная выпучиванию эйлерсва стержня) и можно ввести субъективный критерий безопасности: система безопасна, если силы критической нагрузки при значении переменной состояния $x$ превышают некоторое предписанное безопасное значение $s:|x|>s$.

При $\varepsilon_{1}>0$ необходимость в субъективном критерии отпадает. Локально устойчивое состояние равновесия перестает существовать при критической нагрузке $F_{c}$, определяемой формулой (11.39a). Очевидно, что чувствительность к несовершенству очень слабо зависит от $\varepsilon_{2}$, но сильно зависит от $\varepsilon_{1}$. Следовательно, параметр $\varepsilon_{1}$ более важен, чем $\varepsilon_{2}$, а $\varepsilon_{2}$ более важен, чем $\varepsilon_{3}$, и т. д. Именно это обстоятельство и позволяет исключить все возмущения, кроме линейного.

Степенная зависимость разрушающей нагрузки (с показателем степени $1 / 2$ ) от параметра несовершенства была обоснована Рурдой для систем, которые претерпевают смену типа устойчивости в отсутствие несовершенства. Устойчивые и неустойчивые критические точки для системы, изображенной на рис. $10.10, a$, показаны на рис. $10.10,6$, а чувствительность к несовершенству – на рис. $10.10, \boldsymbol{8}$.

Когда потенциал (11.36) имеет две точки равновесия, неустойчивое равновесие действует как сепаратриса между областью притяжения локально устойчивого состояния и первичным хаосом. Разность энергий $\Delta E$ в локальном максимуме и локальном минимуме равна
\[
\Delta E=\frac{1}{6}\left[\left(F-F_{p}\right)^{2}-4 \varepsilon_{1}\right]^{3 / 2} .
\]

Если система подвергается динамическому нагружению $\Delta E$, которое можно трактовать как динамическое несовершенство, то соотношение между разрушающей нагрузкой $F_{c}$, параметром несовершенства $\varepsilon_{1}$ и фактором динамического нагружения $\Delta E$ выражается формулой
\[
F_{c}=F_{p}-\left[4 \varepsilon_{1}+(6 \Delta E)^{2 / 3}\right]^{1 / 2} .
\]

При отсутствии динамического нагружения чувствительность к разрушающей нагрузке сводится к зависимости по степенному закону с показателем степени $1 / 2$ (11.39a). Однако при отсутствии несовершенств чувствительность к динамическому нагружению оказывается более жесткой (рис. 11.13).

Для несовершенных систем с конечной критической нагрузкой, даваемой формулой (11.39a), естественно ожидать динамическйе флуктуации, снижающие несущую способность. Кроме того, возможна очень жесткая чувствительность совершенной системы к динамическим факторам. Потенциальная функция, описывающая совершенную систему, является чрезвычайно плоской и глобально неустойчивой вблизи $F \simeq F_{p}$, так что даже очень слабые флуктуации могут вызвать переход системы через потенциальный барьер. Может показаться неожиданным, что динамические колебания могут перевести «устойчивый» случай $\varepsilon_{1}<0$ в неустойчивый. Флуктуации, превышающие разность критических значений, способны вытолкнуть систему из ее очень устойчивого состояния через потенциальный барьер в бездонные потенциальные ямы. Эти переходы из устойчивого состояния в неустойчивое в результате динамических процессов вызывают обычно беспокойство и служат источником дальнейших размышлений.