В двух предыдущих примерах потенциальная функция, описывающая совершенную систему, была инвариантна относительно преобразования симметрии , где -параметр порядка системы (т. е. первый или второй коэффициент Фурье). Это, строго говоря, верно только тогда, когда мы не ограничиваемся разложениями (11.10), содержащими лишь первые два коэффициента Фурье. В данном случае мы можем сделать такое предположение, основываясь на том, что энергия прогиба быстро возрастает при переходе к последовательно более высоким модам прогиба.
Так как совершенная система была описана при помощи четной потенциальной функции , зависящей от единственного управляющего параметра , то можно было бы потребовать обращения в нуль всего лишь одного коэффициента ряда Тейлора , что неминуемо приводило бы к рассмотрению катастрофы сборки ( ) либо двойной сборки .
При отсутствии симметрии разложение в ряд Тейлора потенциальной функции , описывающей некоторую совершенную систему, будет иметь вид
В общем случае выберем параметр порядка так, чтобы совершенная система имела состояние равновесия в . Тогда . (Постоянный член не имеет существенного значения и может быть исключен путем переноса начала координат.) Квадратичные, кубические и члены более высокой степени в общем случае отличны от нуля. Если рассматривать изменение системы в зависимости от возрастающей прилагаемой силы в точке , то потенциальная функция может быть записана в виде
Рис. 11.10 .
— поддерживающий кронштейн и жестко сочлененная рама — две совершенные системы, в которых наблюдается смена типа устойчивости. Несовершенство моделируется с помощью смещения пагрузки; б-экспериментально определенные устойчивые и неустойчивые состояния равновесия совершенной жестко сочлененной рамы [3]; в — экспериментально найденная чувствительность к несовершенству подчиняется степенной (с показателем степени ) зависимости [7|. Заметим, что при значенни парам етра несовершенства величина разрушающей нагрузки снижается на . Отметим также, что точка (место) разрушения не находнтси на касательной к оси , так как несовершенство внутренне присуще модели.
посредством замены масштабов по осям и . Членами четвертой и более высокой степени можно пренебречь. Две совершенные системы, описываемые потенциальной функцией, эквивалентной (11.33), изображены на рис. 11.10.
Критические точки, соответствующие , определяются, как обычно, из соотношения
Положение критических точек и тип их устойчивоети показаны на рис. 11.11: смена типа устойчивости происходит в момент, когда две критические точки проходят одна через другую.
Рис. 11.11. Положения критических точек в зависимости от прилагаемой нагрузки Зависимость для устойчивой критической точки изображена жирной линией. Наблюдается смена типа устойчивости.
Потенциальная функция, описывающая соответствующую несовершенную систему, имеет вид
Результаты, представленные в гл. 4, дают нам все сведения о наиболее общей деформации ростка : это будет линейный член. Короче говоря, формула (11.35) может быть преобразована в каноническую форму посредством соответствующей нелинейной замены. Это полностью справедливо с математической точки зрения, но совершенно не удовлетворительно с точки зрения физики явления; такое нелинейное преобразование может привести к возникновению сложной нелинейной связи между физическим параметром (нагрузкой) и параметрами несовершенства . Поэтому, вместо того чтобы проводить нелинейное преобразование, которое приводит (11.35) к канонической форме, поступим следующим образом. Отбросим в деформационном разложении члены выше второй степени. (Қвадратичные члены оставим только для того, чтобы показать, что они играют менее важную роль, чем линейные. В конечном счете их также отбросим.) Тогда потенциальная функция, описывающая несовершенную систему, примет вид
где . Критические точки определяютея соотношением
Уравнение (11.37) представляет двумерное многообразие, вложенное в пространство с координатйыми оеями в (рис. 11.12,a).
В этом случае состояниями равновесия несовершенной системы являются сечения этого иногообразия плоскостями
Рис. 11.12 .
a- форма многообразия состояний равновесия в пространстве переменных состояння и управляющих параметров дяя несовершенного поддерживающего кронштейна. Все точки на верхней части этой поверхности представляют локально устойчивые состояния, а точки на нижнем листе — локально неустойчивые состояния. Верхняя и нижняя ветви имеют сепаратрису. которая проектируется на параболу . лежащую в пространстве управляющих параметров. 1 -устойчивые точки, 2 — неустой чивые точки; — траектории до и после выпучивания как сечения многообразия состояний равновесия плоскостью const. Свойства устойчивости вдоль этих траекторий определяются непосредственно из рассмотрения многообразия состояний равновесия.
const (рис. 11.12,б). Свойства устойчивости критических точек легко определяются: все точки на верхнем листе критического многообразия представляют собой локально устойчивые критические точки , все точки на нижнем листе — неустойчивые критические точки.
Поведение несовершенной системы в зависимости от нагрузки критически зависит от знака параметра несовершенства : при для каждого значения существуют две критические точки; при имеется область, в которой вообще не имеет критических точек. Последняя существует при
Чувствительность системы к несовершенству выражается формулой
При локально устойчивое состояние равновесия существует при всех значениях внешней силы (ситуация, аналогичная выпучиванию эйлерсва стержня) и можно ввести субъективный критерий безопасности: система безопасна, если силы критической нагрузки при значении переменной состояния превышают некоторое предписанное безопасное значение .
При необходимость в субъективном критерии отпадает. Локально устойчивое состояние равновесия перестает существовать при критической нагрузке , определяемой формулой (11.39a). Очевидно, что чувствительность к несовершенству очень слабо зависит от , но сильно зависит от . Следовательно, параметр более важен, чем , а более важен, чем , и т. д. Именно это обстоятельство и позволяет исключить все возмущения, кроме линейного.
Степенная зависимость разрушающей нагрузки (с показателем степени ) от параметра несовершенства была обоснована Рурдой для систем, которые претерпевают смену типа устойчивости в отсутствие несовершенства. Устойчивые и неустойчивые критические точки для системы, изображенной на рис. , показаны на рис. , а чувствительность к несовершенству — на рис. .
Когда потенциал (11.36) имеет две точки равновесия, неустойчивое равновесие действует как сепаратриса между областью притяжения локально устойчивого состояния и первичным хаосом. Разность энергий в локальном максимуме и локальном минимуме равна
Если система подвергается динамическому нагружению , которое можно трактовать как динамическое несовершенство, то соотношение между разрушающей нагрузкой , параметром несовершенства и фактором динамического нагружения выражается формулой
При отсутствии динамического нагружения чувствительность к разрушающей нагрузке сводится к зависимости по степенному закону с показателем степени (11.39a). Однако при отсутствии несовершенств чувствительность к динамическому нагружению оказывается более жесткой (рис. 11.13).
Для несовершенных систем с конечной критической нагрузкой, даваемой формулой (11.39a), естественно ожидать динамическйе флуктуации, снижающие несущую способность. Кроме того, возможна очень жесткая чувствительность совершенной системы к динамическим факторам. Потенциальная функция, описывающая совершенную систему, является чрезвычайно плоской и глобально неустойчивой вблизи , так что даже очень слабые флуктуации могут вызвать переход системы через потенциальный барьер. Может показаться неожиданным, что динамические колебания могут перевести «устойчивый» случай в неустойчивый. Флуктуации, превышающие разность критических значений, способны вытолкнуть систему из ее очень устойчивого состояния через потенциальный барьер в бездонные потенциальные ямы. Эти переходы из устойчивого состояния в неустойчивое в результате динамических процессов вызывают обычно беспокойство и служат источником дальнейших размышлений.