Главная > ПРИКЛАДНАЯ TEOPИЯ КАТАСТРОФ. ТОМ-1 (Р.ГИЛМОР)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В двух предыдущих примерах потенциальная функция, описывающая совершенную систему, была инвариантна относительно преобразования симметрии xx, где x-параметр порядка системы (т. е. первый или второй коэффициент Фурье). Это, строго говоря, верно только тогда, когда мы не ограничиваемся разложениями (11.10), содержащими лишь первые два коэффициента Фурье. В данном случае мы можем сделать такое предположение, основываясь на том, что энергия прогиба быстро возрастает при переходе к последовательно более высоким модам прогиба.

Так как совершенная система была описана при помощи четной потенциальной функции Vp(x;F), зависящей от единственного управляющего параметра F, то можно было бы потребовать обращения в нуль всего лишь одного коэффициента ряда Тейлора [(FpF)x2], что неминуемо приводило бы к рассмотрению катастрофы сборки ( x4 ) либо двойной сборки (x4).

При отсутствии симметрии разложение в ряд Тейлора потенциальной функции Vp(x;F), описывающей некоторую совершенную систему, будет иметь вид
Vp(x;F)=V0+V1x+12V2x2+13!V3x3+.

В общем случае выберем параметр порядка x так, чтобы совершенная система имела состояние равновесия в x=0. Тогда V1=0. (Постоянный член не имеет существенного значения и может быть исключен путем переноса начала координат.) Квадратичные, кубические и члены более высокой степени в общем случае отличны от нуля. Если рассматривать изменение системы в зависимости от возрастающей прилагаемой силы F в точке F=Fp, то потенциальная функция может быть записана в виде
Vp(x;F)=12(FpF)x2+13x3+

Рис. 11.10 .
a — поддерживающий кронштейн и жестко сочлененная рама — две совершенные системы, в которых наблюдается смена типа устойчивости. Несовершенство моделируется с помощью смещения пагрузки; б-экспериментально определенные устойчивые и неустойчивые состояния равновесия совершенной жестко сочлененной рамы [3]; в — экспериментально найденная чувствительность к несовершенству подчиняется степенной (с показателем степени 1/2 ) зависимости [7|. Заметим, что при значенни парам етра несовершенства 1/4% величина разрушающей нагрузки снижается на 5%. Отметим также, что точка (место) разрушения не находнтси на касательной к оси f/L=0, так как несовершенство внутренне присуще модели.

посредством замены масштабов по осям x и F. Членами четвертой и более высокой степени можно пренебречь. Две совершенные системы, описываемые потенциальной функцией, эквивалентной (11.33), изображены на рис. 11.10.

Критические точки, соответствующие Vp, определяются, как обычно, из соотношения
ddxVp=0=x{(FpF)+x}.

Положение критических точек и тип их устойчивоети показаны на рис. 11.11: смена типа устойчивости происходит в момент, когда две критические точки x1(F)=0,x2(F)=FFp проходят одна через другую.

Рис. 11.11. Положения критических точек в зависимости от прилагаемой нагрузки Зависимость для устойчивой критической точки изображена жирной линией. Наблюдается смена типа устойчивости.

Потенциальная функция, описывающая соответствующую несовершенную систему, имеет вид
Vi(x;F,ε1,ε2,)=Vp(x;F)+p(x),p(x)=ε1x+12ε2x2+13ε3x3+.

Результаты, представленные в гл. 4, дают нам все сведения о наиболее общей деформации ростка x3 : это будет линейный член. Короче говоря, формула (11.35) может быть преобразована в каноническую форму посредством соответствующей нелинейной замены. Это полностью справедливо с математической точки зрения, но совершенно не удовлетворительно с точки зрения физики явления; такое нелинейное преобразование может привести к возникновению сложной нелинейной связи между физическим параметром (нагрузкой) F и параметрами несовершенства ε1,ε2,. Поэтому, вместо того чтобы проводить нелинейное преобразование, которое приводит (11.35) к канонической форме, поступим следующим образом. Отбросим в деформационном разложении члены выше второй степени. (Қвадратичные члены оставим только для того, чтобы показать, что они играют менее важную роль, чем линейные. В конечном счете их также отбросим.) Тогда потенциальная функция, описывающая несовершенную систему, примет вид
Vi(x;F,ε1)=ε1x+12(FpF)x2+13x3,

где Fp=Fp+ε2. Критические точки определяютея соотношением
dVidx=ε1+(FpF)x+x2=0.

Уравнение (11.37) представляет двумерное многообразие, вложенное в пространство k3 с координатйыми оеями xF в 1 (рис. 11.12,a).

В этом случае состояниями равновесия несовершенной системы являются сечения этого иногообразия плоскостями ε1=

Рис. 11.12 .
a- форма многообразия состояний равновесия в пространстве переменных состояння и управляющих параметров xFε1 дяя несовершенного поддерживающего кронштейна. Все точки на верхней части этой поверхности представляют локально устойчивые состояния, а точки на нижнем листе — локально неустойчивые состояния. Верхняя и нижняя ветви имеют сепаратрису. которая проектируется на параболу ε1=(FFp/2)2. лежащую в пространстве управляющих параметров. 1 -устойчивые точки, 2 — неустой чивые точки; σ — траектории до и после выпучивания как сечения многообразия состояний равновесия плоскостью ε1= const. Свойства устойчивости вдоль этих траекторий определяются непосредственно из рассмотрения многообразия состояний равновесия.
= const (рис. 11.12,б). Свойства устойчивости критических точек легко определяются: все точки на верхнем листе критического многообразия представляют собой локально устойчивые критические точки Vi, все точки на нижнем листе — неустойчивые критические точки.

Поведение несовершенной системы в зависимости от нагрузки F критически зависит от знака параметра несовершенства ε1 : при ε1<0 для каждого значения F существуют две критические точки; при ε1>0 имеется область, в которой Vi вообще не имеет критических точек. Последняя существует при
ε1+(FpF2)2<0.

Чувствительность системы к несовершенству выражается формулой
Fc=Fp+ε22(ε1)1/2,ε1>0,Fc=,ε1<0.

При ε10 локально устойчивое состояние равновесия существует при всех значениях внешней силы F (ситуация, аналогичная выпучиванию эйлерсва стержня) и можно ввести субъективный критерий безопасности: система безопасна, если силы критической нагрузки при значении переменной состояния x превышают некоторое предписанное безопасное значение s:|x|>s.

При ε1>0 необходимость в субъективном критерии отпадает. Локально устойчивое состояние равновесия перестает существовать при критической нагрузке Fc, определяемой формулой (11.39a). Очевидно, что чувствительность к несовершенству очень слабо зависит от ε2, но сильно зависит от ε1. Следовательно, параметр ε1 более важен, чем ε2, а ε2 более важен, чем ε3, и т. д. Именно это обстоятельство и позволяет исключить все возмущения, кроме линейного.

Степенная зависимость разрушающей нагрузки (с показателем степени 1/2 ) от параметра несовершенства была обоснована Рурдой для систем, которые претерпевают смену типа устойчивости в отсутствие несовершенства. Устойчивые и неустойчивые критические точки для системы, изображенной на рис. 10.10,a, показаны на рис. 10.10,6, а чувствительность к несовершенству — на рис. 10.10,8.

Когда потенциал (11.36) имеет две точки равновесия, неустойчивое равновесие действует как сепаратриса между областью притяжения локально устойчивого состояния и первичным хаосом. Разность энергий ΔE в локальном максимуме и локальном минимуме равна
ΔE=16[(FFp)24ε1]3/2.

Если система подвергается динамическому нагружению ΔE, которое можно трактовать как динамическое несовершенство, то соотношение между разрушающей нагрузкой Fc, параметром несовершенства ε1 и фактором динамического нагружения ΔE выражается формулой
Fc=Fp[4ε1+(6ΔE)2/3]1/2.

При отсутствии динамического нагружения чувствительность к разрушающей нагрузке сводится к зависимости по степенному закону с показателем степени 1/2 (11.39a). Однако при отсутствии несовершенств чувствительность к динамическому нагружению оказывается более жесткой (рис. 11.13).

Для несовершенных систем с конечной критической нагрузкой, даваемой формулой (11.39a), естественно ожидать динамическйе флуктуации, снижающие несущую способность. Кроме того, возможна очень жесткая чувствительность совершенной системы к динамическим факторам. Потенциальная функция, описывающая совершенную систему, является чрезвычайно плоской и глобально неустойчивой вблизи FFp, так что даже очень слабые флуктуации могут вызвать переход системы через потенциальный барьер. Может показаться неожиданным, что динамические колебания могут перевести «устойчивый» случай ε1<0 в неустойчивый. Флуктуации, превышающие разность критических значений, способны вытолкнуть систему из ее очень устойчивого состояния через потенциальный барьер в бездонные потенциальные ямы. Эти переходы из устойчивого состояния в неустойчивое в результате динамических процессов вызывают обычно беспокойство и служат источником дальнейших размышлений.

1
Оглавление
email@scask.ru