Возмущения не влияют на качественный характер поведения функции в окрестности некритической или морсовской критической точек. В первом случае незначительно изменяется величина и направление градиента функции; в последнем слегка смещается критическая точка и изменяется критическое значение функции, но тип морсовского седла в этой точке остается без изменения. Именно отсутствие качественных изменений, вносимых возмущениями в окрестностях таких точек, и являетея причиной того, что теорема о неявной функции и лемма Морса не дополняются списком возмущений.

В тех случаях, когда семейство функций содержит члены с неморсовской критической точкой (гл. 3, разд. 4), возможно найти такую координатную систему, которая расщепляет эту функцию на «плохую» неморсовскую и «хорошую» морсовскую части. Этот результат верен и для семейств функций, близких к рассматриваемой неморсовской функции. Другими словами, всегда можно найти некоторую координатную систему, в которой возмущенная функция расщепляется на две части, причем каждая из них может быть изучена отдельно. Возмущенная морсовская функция не имеет качественно новых свойств, в то время как возмущенная неморсовская функция может их иметь.

Изучение возмущенных ростков катастроф проводилось методами, изложенными в гл. 3. Была введена наиболее общая форма возмущения (4.1) и показано, какая часть «хвоста» ряда Тейлора может быть удалена путем гладкой замены переменных. Самые первые члены разложения в ряд Тейлора возмущенной функции не могут быть исключены из-за соображений непрерывности. Для сохранения непрерывности эти члены необходимо рассматривать лишь с конечными коэффициентами. Было установлено, и это вовсе неудивительно, что те члены, которые исключались при нахождении канонического ростка (гл. 3), также могут быть исключены посредством непрерывной замены переменных. Некоторые из первых коэффициентов могут быть исключены при помощи неоднородного преобразования (при изучении семейств функций местонахождение начала координат не является столь важным, поэтому возможно рассмотрение и неоднородных преобразований).

Возмущение функции в неморсовской, критической точке оказывает значительное влияние на свойства функции в окрестности этой точки. В общем случае $k$-кратная вырожденная критическая точка расщепляется самое большее на $k$-изолированных критических точек. К счастью, наиболее общая форма, которую может иметь возмущение, можно свести гладкой заменой переменных к каноническому внду.

Существенное качественное влияние возмущений на ростки катастроф явилось причиной того, что список элементарных катастроф Тома содержит перечень простых ростков катастроф и дополнительный перечень канонических возмущений. Полный список канонических возмущений для всех простых ростков катастроф (3.53) содержится в табл. 4.1.

Методы, изложенные в этой главе, могут быть с успехом использованы и при определении канонических форм непростых ростков, рассмотренных в гл. 3 .

Замена переменных. Возмущения
59
Таблица 4.1. Функции элементарных катастроф (нуль-модальные)
1) Для удобства используем $y_{1}=x, y_{2}=y$.
2) $A_{+k}=A_{-k}$, если $k$ четное.
3) Представление данного возмущення посредством одночленов не единственно.