На первый взгляд канонические формы (2.3а) и (2.3б) могут показаться аналогичными, однако в действительности это не так. При выводе канонической формы (2.3a) используется лемма расщепления Тома, в основе которой лежат положения, ничуть не более сложные, чем теоремы курса математического анализа повышенной трудности, в частности теорема о неявной функции. Разложение (2.3a) имеет место в некоторой открытой окрестности точки ( $x^{0} ; c^{0}$ ) пространства $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k}$; здесь $x^{0}$ — неморсовская критическая точка, соответствующая $c=c^{0}$ при заданном значении управляющих параметров. Однако лемма расщепления ничего не говорит нам о виде функции $f_{N M}\left(y_{1}, \ldots, y_{l}\right)$, за исключением того, что ее разложение в ряд Тейлора в вырожденной критической точке при заданном $c=c^{0}$ не содержит членов, в которые входят первая и вторая степени разностей $\left(y_{i}-y_{i}^{0}\right)$.

При выводе же канонической формы (2.3б) существенно используется теорема Тома ${ }^{1}$ ). Разложение (2.3б) потенциальной функции $V$ имеет место в открытой окрестности точки $x^{0}$ пространства $\mathbb{R}^{n}$ при фиксированном значении $c=c^{0}$. В этом случае можно перечислить ряд определенных канонических форм (получаемых после подходящей замены координат), с помощью которых можно получить все способы появления «плохих» неморсовских переменных в рассматриваемой вырожденной критической точке.

Таким образом, первое разложение (2.3a) справедливо в окрестности точки $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$ пространства $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k}$, но в нем $f_{N M}$ не имеет какого-нибудь определенного вида; второе разложение (2.3б) имеет место в окрестности точки $x^{0}$ пространства $\mathbb{R}^{n}$, и в нем функция $f_{N M}$ имеет вполне определенный вид, называемый ростком катастрофы этой функции.

Каноническое разложение потенциальной функции, сочетающее сильные стороны обоих разложений (2.3a) и (2.3б) и не имеющее их слабых сторон, также было получено Р. Томом. Так, если $x^{0}$ — неморсовская критическая точка потенциальной функции семейства $V(x ; c)$ при $c=c^{0}$, то в открытой окрестности точки $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$ пространства $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k}$
\[
V \doteq \operatorname{Cat}(l, k)+\sum_{j=a l+1}^{n} \lambda_{j}(c) y_{j}^{2} .
\]

Функцию $\operatorname{Cat}(l, k)$ называют функцией катастрофы или просто катастрофой. Здесь $l$ — размерность нулевого пространства $-V_{i j}$ в неморсовской критической точке, а $k$ — число управляющих параметров.