Критическое многообразие $
abla V=0$ может содержать несколько критических точек $x^{(p)}, p=1,2, \ldots$ над фиксированной точкой $c^{0}$ в пространстве управляющих параметров (рис. 10.4). Поскольку критическое многообразие $k$-мерно, удобно, но совсем не обязательно использовать $k$ управляющих параметров для параметризации $k$-мерной окрестности каждой критической точки. Такая параметризация становится несостоятельной, когда критическая точка подходит к бифуркационному множеству.

Возможны иные способы параметризации, предусматривающие использование одной или нескольких переменных состояния. Эта идея иллюстрируется на рис. 10.4. Здесь имеются три различные критические точки над точкой $\left(a^{0}, b^{0}\right)$, лежащей в плоскости управляющих параметров. Для точек, лежащих в окрестностях этих трех изолированных критических точек, можно использовать координаты соответствующих точек, лежащих в окрестности точки $\left(a^{0}, b^{0}\right)$ в плоскости управляющих параметров. В некоторых случаях болеє удобной является параметризация через переменную состояния $x$ и один (или два) управляющий параметр (управляющих параметров). Параметризация через пару $(x ; a)$ показана на рис. 10.4. Такая параметризация удобна, поскольку имеется глобальное однозначное соответствие между точками на критическом многообразии и точками плоскости $(x, y)$.

В тех случаях, когда состояние системы определяется минимальным значением потенциала, вид устойчивого критического многообразия зависит от того, какого принципа мы придерживаемся. На рис. $10.5, a$ показано многообразие устойчивых и метастабильных минимумов в случае реализации принципа максимального промедления. Это «урезанное многообразие», поскольку часть критического многообразия, описывающая критические точки, не являющиеся локальными минимумами, была удалена. Границей этого многообразия является кривая $(x ; a, b)=$ $=\left(\lambda ;-3 \lambda^{2}, 2 \lambda^{3}\right)$, которая проектируется на линии складок в плоскости управляющих параметров и на параболу $(x ; a)=$ $=\left(\lambda ;-3 \lambda^{2}\right)$ в плоскости $(x, y)$.

Если принят принцип Максвелла, критическое многообразие является «спаянным многообразием», поскольку его часть $
abla V=0$, описывающая неустойчивые критические точки и метастабильные минимумы, удалена и заменена плоским участком, интерполирующим это многообразие в промежутке между двумя минимумами. Можно дать следующую физическую интерпретацию точки, лежащей на плоском участке. Если $x^{(l)}$ и $x^{(r)}$-положения двух равновеликих минимумов при $a<0, b=0$, то $x$ $\left(x^{(l)} \leqslant x \leqslant x^{(r)}\right)$ определяет, какая часть системы пребывает в состоянии, соответствующем минимуму в $x^{(l)}$ (скажем, в жидкой фазе), и какая часть может быть отнесена к минимуму в $x^{(r)}$, а

Рис. 10.5. Подмножество критического многообразия, отвечающее устойччивым состояниям, не является многообразием в обычном смысле ни в условиях принципа максимального промедления, ни в условиях принципа Максвелла.
$a$-при соблюдении принципа максимального промедлення неустойчивая поверхность многооразия катастрофы сборки исчезает. Граница проецируется на крнвую складок в. плоскости $(a, b)$ и на параболу $a=-3 x^{2}$ в плоскости ( $\left.x ; a\right) ; 6-$ форма поверхности уравнения состояния при соблюдении привциа Максвелла. Плоский участок этой попараметров $(a, b)$, а его граница – на параєолу $a=-x^{2}$ в плоскости $(x ; a)$.

именно:
$\frac{x-x^{(l)}}{x^{(r)}-x^{(l)}}$ – часть системы, находящаяся в состоянии, отвечающем минимуму в $x^{(r)}$;
$\frac{x^{(r)}-x}{x^{(r)}-x^{(l)}}$ – часть системы, находящаяся в состоянии, отвечающем минимуму в $x^{(l)}$.
Таким образом, значение переменной $x$ описывает смесь двух чистых состояний $x^{(l)}$ и $x^{(r)}$, которые могут существовать при $a<0, b=0$; при $x^{(l)}<x<x^{(r)}$ оба этих состояния могут сосуществовать. Очевидно, что одних управляющих параметров $a, b$ недостаточно для построения системы координат в окрестности точки, лежащей на плоском участке критического многообразия. В этом случае для однозначной параметризации критического многообразия необходимо использовать комбинацию координат и управляющих параметров (рис. 10.5,б).

Максвелловское множество в плоскости управляющих параметров представляет собой полупрямую ( $a<0, b=0$ ). Вообще говоря, максвелловское множество $\mathscr{P}_{M}$ определяется уравнением Клаузиуса – Клапейрона (5.68) и представляет собой многообразие пространств управляющих параметров различной размерности из $\mathbb{R}^{k}$. В том случае, когда критическое многообразие единственным образом параметризовано через комбинацию переменных состояния и управляющих параметров (рис. 10.5, б), максвелловское множество в этом пространстве пусто. В подобной ситуации границами областей в параметризующем пространстве, в которых одновременно могут существовать различные фазы, являются подмногообразия, такие, как парабола, изображенная на рис. $10.5,6$.

Линейный отклик системы на изменения значений управляющих параметров описывается уравнением (5.2). Инфинитезимальной теории линейного отклика (5.2) может быть дано топологическое толкование, если ввести понятие касательного пространства к $k$-мерному критическому многообразию в точке $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$ из $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k}$. Это касательное пространство является $k$-мерным линейным векторным пространством. Пусть $\mathbf{e}_{1}, \ldots$ $\ldots, \mathbf{e}_{n}$ – базисные векторы в $\mathbb{R}^{n}$ с центром в начале координат и $\mathbf{f}_{1}, \ldots, \mathbf{f}_{k}$ – базисные векторы в $\mathbb{R}^{k}$ также с центром в начале координат. Тогда базисные векторы в касательном пространстве можно определить из функции линейного отклика (5.2). Функция линейного отклика представляет собой тензор восприимчивости, поэтому (5.2) можно переписать в виде
\[
\delta x^{i}=\chi_{a}^{i} \delta c^{a}, \quad \chi_{a}^{i}=-\left(V^{-1}\right)^{i j} V_{j a} .
\]

Тензор восприимчивости $\chi_{\alpha}^{i}$ определен на критическом многообразии.

Для определения набора $k$ базисных векторов для касательного пространства перенесем базисные векторы ( $\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}$ ) и $\left(\mathrm{f}_{1}, \ldots, \mathrm{f}_{k}\right)$ из начала координат в $\left(x^{0} ; c^{0}\right) \in \mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k}$ и образуем линейную комбинацию этих базисных векторов, лежащую в касательном пространстве. Поскольку бесконечно малый вектор $\delta v$, определяемый как
\[
\delta v=\delta x^{i} \mathbf{e}_{i}+\delta c^{a} \mathbf{f}_{\alpha},
\]

лежит в этом пространстве, если $\delta x^{i}$ и $\delta c^{a}$ связаны соотношением (10.14), в качестве $k$ линейно независимых базисных векторов можно выбрать векторы
\[
\left|f_{\alpha}\right\rangle=\mathbf{e}_{i} \chi_{\alpha}^{i}+\mathbf{f}_{\alpha}, \quad \alpha=1,2, \ldots, k .
\]

Такой выбор особенно удобен, если для параметризации точек, лежащих в окрестности критического многообразия, используются управляющие параметры $c \in \mathbb{R}^{k}$. Если же в этом участвуют и координаты (переменные состояния), то какой-либо иной выбор системы базовых векторов может оказаться более целесообразным.

Для определения полного набора базисных векторов пространства $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k}$ в точке $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$ необходимо найти $n$ дополнительных векторов, линейно независимых по отношению к векторам $\left|f_{\alpha}\right\rangle$, определенным в (10.16). Это довольно просто сделать, если ввести какую-то меру ортогональности, например скалярное произведение. Единственным действительным симметричным тензором второго рода является матрица вторых смешанных частных производных от $V$. Если определить скалярное произведение в точке $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$ как
\[
\left(\mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}\right)=V_{i j}, \quad\left(\mathbf{e}_{i}, \mathbf{f}_{\beta}\right)=V_{i \beta}, \quad\left(\mathbf{f}_{\alpha}, \mathbf{f}_{\beta}\right)=V_{\alpha \beta},
\]

то $n$ векторов $\left|e_{i}\right\rangle=\mathrm{e}_{i}, i=1,2, \ldots, n$, будут ортогональны $k$ векторам $\left|f_{\alpha}\right\rangle$, поскольку
\[
\begin{aligned}
\left\langle e_{i} \mid f_{\alpha}\right\rangle & =\left(\mathbf{e}_{i}, \mathbf{f}_{\alpha}+\mathbf{e}_{j}\left(-V^{-1}\right)^{j m} V_{m \alpha}\right)= \\
& =V_{i \alpha}-V_{i j}\left(V^{-1}\right)^{i m} V_{m \alpha}=0 .
\end{aligned}
\]

Короче, $k$ векторов $\left|f_{\alpha}\right\rangle$ формируют систему «естественных» базисных векторов в касательном пространстве, а $n$ векторов $\left|e_{i}\right\rangle$ образуют базис в его ортогональном дополнении в точке $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$. При таком выборе базисных векторов матрица метрики в $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$ принимает блочно-диагональный вид
\[
G=\left[\begin{array}{l|l}
V_{i j} \mid & \bigcirc \\
\hline \bigcirc \mid V_{\alpha \beta}-V_{\alpha r}\left(V^{-1}\right)^{r s} V_{s \beta}
\end{array}\right] .
\]

Рис. 10.6. Плоскость, касательная к многообразию катастрофы сборки, порождается базисными векторами $\left|f_{1}\right\rangle$ и $\left|f_{2}\right\rangle$, построенными из базисных векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{f}_{1}, \mathbf{f}_{2}$ прямого произведения $R \otimes R^{2}$ пространств переменных состояния и управляющих параметров [см, (10.22)].

Однако $n+k$ векторов $\left|e_{t}\right\rangle,\left|f_{x}\right\rangle$ не образуют полного базиса

Пример. Для катастрофы сборки
\[
\begin{array}{l}
V(x ; a, b)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x, \\
V_{x x}=3 x^{2}+a, \quad V_{x a}=x, \quad V_{x b}=1 .
\end{array}
\]

Тензор восприимчивости в точке ( $x ; a, b$ ), лежащей на критическом многообразии, определяется из соотношений
\[
\begin{array}{c}
\delta x=-\frac{1}{3 x^{2}+a}(x, 1)\left(\begin{array}{l}
\delta a \\
\delta b
\end{array}\right), \\
\chi_{1 \alpha}=-\frac{1}{3 x^{2}+a}(x, 1), \quad \alpha=1,2 .
\end{array}
\]

Если $f_{1}, f_{2}$ и $e_{1}$ – базисные векторы в пространстве управляющих параметров и переменных состояния соответственно, то
\[
\begin{array}{l}
\left|f_{1}\right\rangle=f_{1}-\frac{x}{3 x^{2}+a} e_{1}, \\
\left|f_{2}\right\rangle=f_{2}-\frac{1}{3 x^{2}+a} e_{1}
\end{array}
\]

образуют базис в касательной плоскости с центром в $(x ; a, b$ ) (рис. 10.6). В терминах смещений $\delta a, \delta b$ метрический тензор в касательной плоскости есть
\[
g_{\alpha \beta}=-\left(\begin{array}{l}
x \\
1
\end{array}\right) \frac{1}{3 x^{2}+a}(x, 1) .
\]

Если для параметризации критического многообразия вместо управляющих параметров $(a, b)$ используется смешанная система $(x ; a)$, то и в этом случае тєнзор восприимчивости определяется из преобразованного соотношения (5.2) $\left(V_{i j} \delta x^{j}+V_{i \alpha} \delta c^{\alpha}=0\right)$ :
\[
\begin{array}{c}
\left(3 x^{2}+a\right) \delta x+x \delta a+\delta b=0, \\
\delta b=-\left(x, 3 x^{2}+a\right)\left(\begin{array}{c}
\delta a \\
\delta x
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

С помощью этого тензора восприимчивости можно определить базисные векторы в касательной плоскости и метрический тензор в новой системе координат.