Критическое многообразие $ablaV=0$ может содержать несколько критических точек $x^{(p)},p=1,2,\dots$ над фиксированной точкой $c^0$ в пространстве управляющих параметров (рис. 10.4). Поскольку критическое многообразие $k$-мерно, удобно, но совсем не обязательно использовать $k$ управляющих параметров для параметризации $k$-мерной окрестности каждой критической точки. Такая параметризация становится несостоятельной, когда критическая точка подходит к бифуркационному множеству.

Возможны иные способы параметризации, предусматривающие использование одной или нескольких переменных состояния. Эта идея иллюстрируется на рис. 10.4. Здесь имеются три различные критические точки над точкой $(a^0,b^0)$, лежащей в плоскости управляющих параметров. Для точек, лежащих в окрестностях этих трех изолированных критических точек, можно использовать координаты соответствующих точек, лежащих в окрестности точки $(a^0,b^0)$ в плоскости управляющих параметров. В некоторых случаях болеє удобной является параметризация через переменную состояния $x$ и один (или два) управляющий параметр (управляющих параметров). Параметризация через пару $(x;a)$ показана на рис. 10.4. Такая параметризация удобна, поскольку имеется глобальное однозначное соответствие между точками на критическом многообразии и точками плоскости $(x,y)$.

В тех случаях, когда состояние системы определяется минимальным значением потенциала, вид устойчивого критического многообразия зависит от того, какого принципа мы придерживаемся. На рис. $10.5,a$ показано многообразие устойчивых и метастабильных минимумов в случае реализации принципа максимального промедления. Это «урезанное многообразие», поскольку часть критического многообразия, описывающая критические точки, не являющиеся локальными минимумами, была удалена. Границей этого многообразия является кривая $(x;a,b)=$ $=(\lambda ;-3{\lambda }^2,2{\lambda }^3)$, которая проектируется на линии складок в плоскости управляющих параметров и на параболу $(x;a)=$ $=(\lambda ;-3{\lambda }^2)$ в плоскости $(x,y)$.

Если принят принцип Максвелла, критическое многообразие является «спаянным многообразием», поскольку его часть $ablaV=0$, описывающая неустойчивые критические точки и метастабильные минимумы, удалена и заменена плоским участком, интерполирующим это многообразие в промежутке между двумя минимумами. Можно дать следующую физическую интерпретацию точки, лежащей на плоском участке. Если $x^{(l)}$ и $x^{(r)}$-положения двух равновеликих минимумов при $a<0,b=0$, то $x$ $(x^{(l)}⩽x⩽x^{(r)})$ определяет, какая часть системы пребывает в состоянии, соответствующем минимуму в $x^{(l)}$ (скажем, в жидкой фазе), и какая часть может быть отнесена к минимуму в $x^{(r)}$, а

Рис. 10.5. Подмножество критического многообразия, отвечающее устойччивым состояниям, не является многообразием в обычном смысле ни в условиях принципа максимального промедления, ни в условиях принципа Максвелла.
$a$-при соблюдении принципа максимального промедлення неустойчивая поверхность многооразия катастрофы сборки исчезает. Граница проецируется на крнвую складок в. плоскости $(a,b)$ и на параболу $a=-3x^2$ в плоскости ( $x;a);6-$ форма поверхности уравнения состояния при соблюдении привциа Максвелла. Плоский участок этой попараметров $(a,b)$, а его граница — на параєолу $a=-x^2$ в плоскости $(x;a)$.

именно:
$\frac{x-x^{(l)}}{x^{(r)}-x^{(l)}}$ — часть системы, находящаяся в состоянии, отвечающем минимуму в $x^{(r)}$;
$\frac{x^{(r)}-x}{x^{(r)}-x^{(l)}}$ — часть системы, находящаяся в состоянии, отвечающем минимуму в $x^{(l)}$.
Таким образом, значение переменной $x$ описывает смесь двух чистых состояний $x^{(l)}$ и $x^{(r)}$, которые могут существовать при $a<0,b=0$; при $x^{(l)}<x<x^{(r)}$ оба этих состояния могут сосуществовать. Очевидно, что одних управляющих параметров $a,b$ недостаточно для построения системы координат в окрестности точки, лежащей на плоском участке критического многообразия. В этом случае для однозначной параметризации критического многообразия необходимо использовать комбинацию координат и управляющих параметров (рис. 10.5,б).

Максвелловское множество в плоскости управляющих параметров представляет собой полупрямую ( $a<0,b=0$ ). Вообще говоря, максвелловское множество ${\mathcal{P}}_M$ определяется уравнением Клаузиуса — Клапейрона (5.68) и представляет собой многообразие пространств управляющих параметров различной размерности из ${\mathbb{R}}^k$. В том случае, когда критическое многообразие единственным образом параметризовано через комбинацию переменных состояния и управляющих параметров (рис. 10.5, б), максвелловское множество в этом пространстве пусто. В подобной ситуации границами областей в параметризующем пространстве, в которых одновременно могут существовать различные фазы, являются подмногообразия, такие, как парабола, изображенная на рис. $10.5,6$.

Линейный отклик системы на изменения значений управляющих параметров описывается уравнением (5.2). Инфинитезимальной теории линейного отклика (5.2) может быть дано топологическое толкование, если ввести понятие касательного пространства к $k$-мерному критическому многообразию в точке $(x^0;c^0)$ из ${\mathbb{R}}^n\otimes {\mathbb{R}}^k$. Это касательное пространство является $k$-мерным линейным векторным пространством. Пусть ${\mathbf{e}}_1,\dots$ $\dots ,{\mathbf{e}}_n$ — базисные векторы в ${\mathbb{R}}^n$ с центром в начале координат и ${\mathbf{f}}_1,\dots ,{\mathbf{f}}_k$ — базисные векторы в ${\mathbb{R}}^k$ также с центром в начале координат. Тогда базисные векторы в касательном пространстве можно определить из функции линейного отклика (5.2). Функция линейного отклика представляет собой тензор восприимчивости, поэтому (5.2) можно переписать в виде
$$\delta x^i={\chi }_a^i\delta c^a,{\chi }_a^i=-{\left(V^{-1}\right)}^{ij}{V}_{ja}.$$

Тензор восприимчивости ${\chi }_{\alpha }^i$ определен на критическом многообразии.

Для определения набора $k$ базисных векторов для касательного пространства перенесем базисные векторы ( ${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n$ ) и $({\mathrm{f}}_1,\dots ,{\mathrm{f}}_k)$ из начала координат в $(x^0;c^0)\in {\mathbb{R}}^n\otimes {\mathbb{R}}^k$ и образуем линейную комбинацию этих базисных векторов, лежащую в касательном пространстве. Поскольку бесконечно малый вектор $\delta v$, определяемый как
$$\delta v=\delta x^i{\mathbf{e}}_i+\delta c^a{\mathbf{f}}_{\alpha },$$

лежит в этом пространстве, если $\delta x^i$ и $\delta c^a$ связаны соотношением (10.14), в качестве $k$ линейно независимых базисных векторов можно выбрать векторы
$$|f_{\alpha }⟩={\mathbf{e}}_i{\chi }_{\alpha }^i+{\mathbf{f}}_{\alpha },\alpha =1,2,\dots ,k.$$

Такой выбор особенно удобен, если для параметризации точек, лежащих в окрестности критического многообразия, используются управляющие параметры $c\in {\mathbb{R}}^k$. Если же в этом участвуют и координаты (переменные состояния), то какой-либо иной выбор системы базовых векторов может оказаться более целесообразным.

Для определения полного набора базисных векторов пространства ${\mathbb{R}}^n\otimes {\mathbb{R}}^k$ в точке $(x^0;c^0)$ необходимо найти $n$ дополнительных векторов, линейно независимых по отношению к векторам $|f_{\alpha }⟩$, определенным в (10.16). Это довольно просто сделать, если ввести какую-то меру ортогональности, например скалярное произведение. Единственным действительным симметричным тензором второго рода является матрица вторых смешанных частных производных от $V$. Если определить скалярное произведение в точке $(x^0;c^0)$ как
$$({\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_j)=V_{ij},({\mathbf{e}}_i,{\mathbf{f}}_{\beta })=V_{i\beta },({\mathbf{f}}_{\alpha },{\mathbf{f}}_{\beta })=V_{\alpha \beta },$$

то $n$ векторов $|e_i⟩={\mathrm{e}}_i,i=1,2,\dots ,n$, будут ортогональны $k$ векторам $|f_{\alpha }⟩$, поскольку
$$\begin{array}{rl}⟨e_i\mid f_{\alpha }⟩& =({\mathbf{e}}_i,{\mathbf{f}}_{\alpha }+{\mathbf{e}}_j{(-V^{-1})}^{jm}{V}_{m\alpha })=\\ & =V_{i\alpha }-V_{ij}{\left(V^{-1}\right)}^{im}{V}_{m\alpha }=0.\end{array}$$

Короче, $k$ векторов $|f_{\alpha }⟩$ формируют систему «естественных» базисных векторов в касательном пространстве, а $n$ векторов $|e_i⟩$ образуют базис в его ортогональном дополнении в точке $(x^0;c^0)$. При таком выборе базисных векторов матрица метрики в $(x^0;c^0)$ принимает блочно-диагональный вид
$$G=\left[\begin{array}{ll}{V}_{ij}\mid & ◯\\ ◯\mid V_{\alpha \beta }-V_{\alpha r}{\left(V^{-1}\right)}^{rs}{V}_{s\beta }\end{array}\right].$$

Рис. 10.6. Плоскость, касательная к многообразию катастрофы сборки, порождается базисными векторами $|f_1⟩$ и $|f_2⟩$, построенными из базисных векторов ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2$ прямого произведения $R\otimes R^2$ пространств переменных состояния и управляющих параметров [см, (10.22)].

Однако $n+k$ векторов $|e_t⟩,|f_x⟩$ не образуют полного базиса

Пример. Для катастрофы сборки
$$\begin{array}{l}V(x;a,b)=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}a{x}^2+bx,\\ V_{xx}=3x^2+a,V_{xa}=x,V_{xb}=1.\end{array}$$

Тензор восприимчивости в точке ( $x;a,b$ ), лежащей на критическом многообразии, определяется из соотношений
$$\begin{array}{c}\delta x=-\frac{1}{3x^2+a}(x,1)\left(\begin{array}{l}\delta a\\ \delta b\end{array}\right),\\ {\chi }_{1\alpha }=-\frac{1}{3x^2+a}(x,1),\alpha =1,2.\end{array}$$

Если $f_1,f_2$ и $e_1$ — базисные векторы в пространстве управляющих параметров и переменных состояния соответственно, то
$$\begin{array}{l}|f_1⟩=f_1-\frac{x}{3x^2+a}{e}_1,\\ |f_2⟩=f_2-\frac{1}{3x^2+a}{e}_1\end{array}$$

образуют базис в касательной плоскости с центром в $(x;a,b$ ) (рис. 10.6). В терминах смещений $\delta a,\delta b$ метрический тензор в касательной плоскости есть
$$g_{\alpha \beta }=-\left(\begin{array}{l}x\\ 1\end{array}\right)\frac{1}{3x^2+a}(x,1).$$

Если для параметризации критического многообразия вместо управляющих параметров $(a,b)$ используется смешанная система $(x;a)$, то и в этом случае тєнзор восприимчивости определяется из преобразованного соотношения (5.2) $(V_{ij}\delta x^j+V_{i\alpha }\delta c^{\alpha }=0)$ :
$$\begin{array}{c}(3x^2+a)\delta x+x\delta a+\delta b=0,\\ \delta b=-(x,3x^2+a)\left(\begin{array}{c}\delta a\\ \delta x\end{array}\right).\end{array}$$

С помощью этого тензора восприимчивости можно определить базисные векторы в касательной плоскости и метрический тензор в новой системе координат.