Продемонстрируем на простом примере, почему принцип максимального промедления и принцип Максвелла являются вынужденной мерой, действующей до тех пор, пока не будет достигнут определенный прогресс в реализации исследовательской программы теории катастроф.

Классическая механическая система удовлетворяет следующему уравнению движения
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{F(x)}{m}-\gamma \dot{x},
\]

в котором трение зависит от скорости движения, а сила определяется из соотношения $F=-
abla V$. Потенциал задается формулой
\[
V(x)=\frac{x^{6}}{6}+\frac{a_{1} x^{4}}{4}+\frac{a_{2} x^{3}}{3}+\frac{a_{3} x^{2}}{2}+a_{4} x .
\]

Предположим, что в начале движения система находится в левом минимуме (рис. 8.6) и остается в нем до тех пор, пока управляющие параметры не изменятся настолько, что этот минимум исчезнет. $\mathrm{K}$ какому из минимумов будет двигаться система?

Принцип максимального промедления в этой точке нарушен. Если бы уравнение движения имело вид
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{F(x)}{m}-\gamma \dot{x},
\]

то система должна была бы двигаться к среднему минимуму, так как в нем $F=0$ и, следовательно, $d x / d t=0$. Но уравнение движения (8.33) имеет второй порядок, так что инерция системы протащит ее через эту точку и, вероятно, через локальный максимум, разделяющий средний и правосторонний мини-

Рис. 8.6. Конечное состояние системы (8.33), метастабильный минимум которой исчезает в момент времени $t=0$, может соответствовать как центральному, так и правому минимуму в зависимости ог значения константы демпфрирования.

мумы. В случае же «вязкого предела» $\gamma \rightarrow \infty$ уравнение (8.33) ведет себя, подобно уравнению (8.35), и система втягивается в средний минимум. В случае слегка «демпфированного предела» ( $\gamma$-мало) система может стабилизироваться в любом из этих двух минимумов. В действительности положение минимума, в котором система в конечном счете окажется, зависит от значения демпфирующего параметра $\gamma$ (рис. 8.6).