Согласно традиционному подходу к изучению свойств решений дифференциальных уравнений, сначала необходимо явно определить полное множество решений и лишь только потом анализировать их свойства. Именно так поступали Јежандр, Лагер, Бессель, Эрмит, Гегенбауэр, Якоби и Чебышев при изучении дифференциальных уразнений второго порядка. Однако помимо уравнений данного типа возможны нелинейные или линейные дифференциальные уравнения выше второго порядка. Как следует поступать в этом случае и так ли уж необходим и целесообразен полный набор собственных значений функций для качественного описания поведения решений уравнений, моделирующих интересующую нас систему?

Одним из первых, кто осознал ограниченность и неадекватность традиционного подхода, который, кстати, неизбежно должен был привести к «опустошению» источника классических специальных функций математической физики, был американский астроном Г. Хилл. Выдающийся французский ученый А. Пуанкаре убедительно показал, что во многих случаях необходим лишь ограниченный объем информации качественного характера, которая, собственно, и представляет интерес при изучении конкретных систем уравнений. В таких случаях полный набор решений уравнений, полученных в результате кропотливой работы, можнс считать скорее препятствием, чем подспорьем в деле понимания качественных изменений в поведении решений уравнений или систем уравнений.

Основы современного подхода к определению качественных изменений в поведении решений обыкновенных дхфференциальных уравнений были заложены почти сто лет назад Пуанкарє, который впервые ввел такие понятия, как структурная устойчивость, динамическая устойчивость и критические множества. Особенно интересовало Пуанкаре, как качественно меняется поведение системы при изменении описывающих ее параметров. Эта работа Пуанкаре, по всей видимости, значительно опередила свое время. Сам Пуанкаре не смог реализовать намеченную им исследовательскую программу, поскольку был уже тяжело болен, а из его современников только А. Ляпунов следовал этой программе при изучении критических решений уравнений. После Ляпунова работы по теории бифуркаций практически прекратились, хотя независимо от программы Пуанкаре по изучению динамических систем на основе тех же работ зародилась топология, которая не только получила право на самостоятельное существование, но и успешно развивалась. Такая ситуация сохранялась вплоть до 30 -х годов, пока советские математики А. Андронов и Л. Понтрягин, разрабатывая концепции структурной устойчивости, вновь не обратились к идеям Пуанкаре. Особое оживление в этой области наблюдалось в 1950-1966 гг. В 1967 г. дифференциальная топология и качественная динамика были синтезированы Смейлом в топологическую теорию динамических систем, которая по существу представляла собой не что иное, как исследовательскую программу Пуанкаре, сформулированную на современном математическом языке.

Приблизительно в 1930 г. М. Морс исследовал структуру канонических форм функции в окрестности изолированной точки, а Х. Уитни описал канонические формы отображений в особых точках. В 1950 г. Р. Том ввел важное понятие трансверсальности, которое стало основным при описании структурной устойчивости Позднее Том использовал это понятие при описании канонических форм определенных особенностей отображений $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow R^{1}$ (функций), которые он назвал «катастрофами».

Теория катастроф Р. Тома возникла на основе данных исследований, начатых Пуанкаре, и результатов дифференциального исчисления по каноническим формам функций и отображений, включая теорему о неявной функции и работы Морса и Уитни. В частности, элементарную теорию катастроф P. Тома можно рассматривать как реализацию программы А. Пуанкаре применительно к изучению состояний равновесия динамических систем, описываемых потенциальной функцией.

Я вторгся в эту область совершенно случайно. Несколько лет назад я занимался исследованием задачи из области лазерной физики. Мне потребовалось почти три недели, чтобы осознать, что в этой задаче я имею дело с бифуркацией. Будучи по образованџю физиком, я, естественно, \”был знаком с методами решений большого числа линейных задач, но практически ничего не знал о теории и методах решения нелинейных задач. Изучая этот математический аппарат, я встретил нескслько загадочных ссылок на новую область математики, называемую «теорией катастроф». К сожалению, написанное по этому предмету оказалось еще более загадочным, чем сами ссылки. Наконец, не без помощи моих друзей, мне удалось связаться непосредственно с Т. Постоном. Именно он наглядно продемонстрировал мне, что элементарные катастрофы Р. Тома принадлежат к доступной области математики, а не к недоступной области философии.

Книга состоит из четырех частей. В ч. I и IV излагаются математические основы теории катастроф, причем ч. I написана на элементарном уровне и знакомство с ней требует лишь знания дифференциального исчисления. В ч. IV приводятся сведения из области математики, необходимые для того, чтобы можно было по крайней мере сформулировать теорему Тома, доказательство теоремы можно найти в сборнике трудов Зимана. Эта часть книги с избытком удовлетворяет потребности и научного работника, и инженера в необходимой информации. Именно на таком уровне я сам познакомился с теорией катастроф.

Две последние главы ч. I являются своего рода преамбулой к изучению приложений элементарной теории катастроф. В книге рассматриваются особенно характерные приложения теории катастроф в «жестких» науках. Однако они никоим образом не исчерпывают всех возможных приложений этой теории в математике, физике, химии и инженерных дисциплинах.

В ч. III обсуждаются различные пути распространения элементарной тєории катастроф и проводится обсуждение функций катастроф более сложных, чем те, что изучались Р. Томом, и дается качественное описание поведения динамических систем.

Я искренне благодарен всем тем, кто помогал мне в осуществлении моего замысла – написании данной книги. Среди них Т. Постон, который познакомил меня с основами теории катастроф и предоставил возможность ознакомиться с его фундаментальной работой по теории катастроф до ее опубликования. И. Стюард и Н. Базли снабдили меня полезной информацией о теории катастроф и нелинейной математике.

Идея написания настоящей книги принадлежит С. Динзу, который оказался моим соавтором в одном весьиа рискованном предприятии – написании статей по математической физике. Как он, так и Е. Ратинган, П. Драйпер, Н. Поп, Дж. Росс оказали мне неоценимую помощь в проведении некоторых вычислений. Нелегкий труд по подготовке прекрасных рисунков взял на себя Л. Миллер и его отдел. И, наконец, я благодарен моей жене Қларе, которая проявила завидные стойкость и терпеғие в процессе моей работы над книгой.
Арлингтон, Виргиния
Роберт Гилмор
Март 1981