В качестве конкретного примера, иллюстрирующего использование описанных выше методов, рассмотрим выпучивание эйлерова стержня под действием сжимающей нагрузки. Пред-

Рис. 11.2. При малых нагрузках стержень остается прямым. При больших нагрузках стержень изгибается [2].

положим, что к одному концу идеального несжимаемого стержня приложена сила $F$ (рис. 11.2): если нагрузка (сила $F$ ), действующая на стержень, невелика, стержень остается прямым; при очень большой нагрузке $F$ стержень сильно изгибается. Изучим подробнее процесс изгиба стержня при промежуточных значениях $F$.

Удобно представить функцию, описывающую поведение (форму) стержня, в виде разложения в ряд Фурье
\[
y(x)=\sum_{j=1}^{\infty} a_{j} \sin \frac{j \pi x}{l} .
\]

Здесь $y(x)$ – горизонтальное отклонение стержня, рассматриваемое как функция расстояния $x$ от одного из концов; $l$ – координата другого конца стержня. Поскольку коэффициенты Фурье $a_{i}$ определяют форму стержня, они играют роль переменных состояния системы; прилагаемая сила $F$ играет роль управляющего параметра.

Фиксированная длина $L$ несжимаемого стержня выражается через параметр $l$ и отклонение $y(x)$ следующим образом:
\[
L=\int_{0}^{l} \sqrt{1+(d y / d x)^{2}} d x .
\]

Уравнение (11.9) задает ограничение на параметр $l$ и переменные состояния $a_{1}, a_{2}, \ldots$, которое может быть представлено также в виде
\[
\begin{aligned}
L & =\int_{0}^{l}\left\{1+\frac{1}{2}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-\frac{1}{8}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}+\ldots\right\} d x= \\
& =l+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{\infty} a_{i}^{2}\left(\frac{j \pi}{l}\right)^{2} \frac{l}{2}+\text { Члены более высокой степени. }
\end{aligned}
\]

Из членов высшего порядка для дальнейшего рассмотрения важен лишь член четвертой степени по $a_{1}:-l\left(3 / 2^{+6}\right)(\pi / l)^{4} a_{1}^{4}$.

Потенциальная энергия, накопленная в изогнутом стержне, пропорциональна
\[
\frac{B}{2} \int_{0}^{l}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2} d x=\frac{B}{2} \frac{l}{2} \sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{j \pi}{l}\right)^{4} a_{i}^{2}
\]
(константа $B$ называется изгибной жесткостью). Выполненная внешней силой работа равна
\[
W=\int_{L}^{l} F \cdot d x=-F(L-l) .
\]

Потенциальная функция, описывающая состояние (форму) совершенного статического стержня, является суммой (11.11) и (11.12), т. e.
\[
V_{p}\left(a_{i} ; F\right)=\frac{B l}{4} \sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{j \pi}{l}\right)^{4} a_{i}^{2}-\frac{F l}{4} \sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{j \pi}{l}\right)^{2} a_{i}^{2}+
\]

+ Члены более высокой степени $=\frac{l}{4} \sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{j \pi}{l}\right)^{2}\left[B\left(\frac{j \pi}{l}\right)^{2}-F\right] a_{j}^{2}+$
+ Члены более высокой степени.
(Заметим, что при выводе формулы (11.13) вес стержня не учитывался.)

Состояние стержня определяется минимумом потенциальной функции $V_{p}\left(a_{j} ; F\right)$, которая положительно определена при $F<$ $<F_{1}=B(\pi / l)^{2}$. Как у функции возрастающей нагрузки $F$, первая неморсовская критическая точка потенциальной функции имеет место при $F=F_{1}$. В пределах неустойчивой ветви, отвечающей недеформированному стержню, дополнительные неморсовские точки существуют при $F_{2}, F_{3}, \ldots$, где $F_{j}=B(j \pi / l)^{2}$. Функция $V_{p}\left(a_{j} ; F\right)$ будет морсовской для всех значений $F$, за исключением $F=F_{j}(j=1,2, \ldots)$. При этих же значениях $V_{p}\left(a_{j} ; F\right)$ является неморсовской функцией переменной состояния $a_{j}$ и морсовской функцией всех остальных переменных состояния.

Для того чтобы описать состояние стержня при $F>F_{1}$, т. е. после выпучивания, необходимо рассмотреть члены выше второй степени по переменной состояния $a_{1}$. (Всеми остальными переменными состояния можно пренебречь.) Потенциальная функция, описывающая состояние стержня, будет иметь вид
\[
\begin{aligned}
V_{p}\left(a_{j} ; F\right) \rightarrow & V\left(a_{1} ; F\right)=\frac{l}{4}\left(\frac{\pi}{l}\right)^{2}\left(F_{1}-F\right) a_{1}^{2}+ \\
& +\frac{3 F l}{2^{6}}\left(\frac{\pi}{l}\right)^{4} a_{1}^{4}+\ldots .
\end{aligned}
\]

При $F>F_{1}$ величина первого коэффициента Фурье определяется формулой
\[
a_{1}^{2}=\frac{8}{3 F} \frac{F-F_{1}}{(\pi / !)^{2}}, \quad F \geqslant F_{1} .
\]

Если стержень зафиксирован (ограничен) так, что он не может перейти в конфигурацию с меньшей энергией ( $j=1$ ), при большем значении $F\left(=F_{2}\right)$ он перейдет в следующую высшую $(j=2)$ конфигурацию, т. е. произойдет выпучивание. Вообще говоря, если первые $j-1$ мод выпучивания запрещены ограничениями, то выпучивание будет иметь место при $j$-й моде, форма которой определяется членом $\sin j \pi x / l$ при $F_{j}=B(j \pi / l)$. Значения $a_{j}$ при $F>F_{j}$ приведены на рис. 11.3.

До сих пор мы исследовали статические свойства идеального стержня. Теперь рассмотрим влияние дефектов формы стержня на его состояние. Наиболее общий вид возмущения потенциальной функции (11.13) включает также линейный член, поэтому
\[
V_{i}\left(a_{i} ; F, \varepsilon\right)=\varepsilon a_{1}+\frac{l}{4}\left(\frac{\pi}{l}\right)^{2}\left(F_{1}-F\right) a_{1}^{2}+\frac{3 F l}{2^{6}}\left(\frac{\pi}{l}\right)^{4} a_{1}^{4},
\]
т. е. наиболее общий вид начального дефекта стержня может быть смоделирован отличным от нуля изгибом (искривлением). Значения $a_{1}$ в состоянии равновесия определяются из условия равенства нулю градиента ( $
abla_{1} V_{i}\left(a_{1} ; F, \varepsilon\right)=0$ ) (рис. 11.4). Как следует из рис. 11.4, приведенные кривые являются результатом

Рис. 11.3. При значительной нагрузке один из первых коэффициентов Фурье $a_{i}$ может быть отличен от нуля.

сечения многообразия катастрофы сборки $x^{3}+a x+b=0$ плоскостями $b=$ const. Устойчивость стержня вдоль кривых равновесия определяется свойствами устойчивости катастрофы сборки.

Если стержень находится не в статическом состоянии и его кинетическая энергия $\Delta E$ полностью определяется нижней модой, то величина параметра $a_{1}$ будет колебаться около соответствующего статическому состоянию стержня значения $a_{1}(F)$ (рис. 11.5).

Выпучивание нагруженного эйлерова стержня по существу представляет собой фазовый переход второго рода. Переход к выпученному состоянию является «мягким», так как состояния системы до и после выпучивания связаны непрерывным образом. Конструкции, демонстрирующие «мягкий» переход в выпученное состояние, не разрушаются при превышении предельной нагрузки – они лишь умеренно изгибаются. Поэтому можно сформулировать некоторый вид критериев безопасности для

Рис. 11.5. Диапазон изменения параметров порядка (заштрихованные области) при колебаниях стержня около его равновесной конфигурации для различных значений параметра несовершенства $\varepsilon$.

определения пределов безопасыых нагрузок. Так, для многих практических целей состояние стержня является опасным, если амплитуда начального изгиба стержня превышает предписанное безопасное значение $s:\left|a_{1}\right|>s>0$. Так как амплитуда изгиба определяется из условия равенства нулю градиента, то максимальная безопасная нагрузка $F_{s}$ будет определяться максимальным безопасным изгибом, т. е.
\[
\begin{array}{c}

abla_{1} V\left(a_{1}=s ; F_{s}, \varepsilon\right)=0=\varepsilon+\frac{l}{2}\left(\frac{\pi}{l}\right)^{2}\left(F_{1}-F_{s}\right) s+ \\
+\frac{3 F_{s} l}{2^{4}}\left(\frac{\pi}{l}\right)^{4} s^{3}, \\
F_{s}=F_{c}(s)-k(s) \varepsilon, \\
F_{c}(s)=\frac{F_{1}}{1-\frac{3}{8}(\pi s / l)^{2}}, \\
k(s)=\frac{(2 !|s| l)(l / \pi)^{2}}{1-\frac{3}{8}(\pi s / l)^{2}} .
\end{array}
\]

где
\[
\begin{aligned}
F_{c}(s) & =\frac{F_{1}}{1-\frac{3}{8}(\pi s / l)^{2}} \\
k(s) & =\frac{(2 !|s| l)(l / \pi)^{2}}{1-\frac{3}{8}(\pi s / l)^{2}} .
\end{aligned}
\]

Чувствительность безопасной нагрузки к несовершенству достаточно мягкая и зависит от параметра несовершенства в первой степени. Здесь $F_{c}(s)$ является безопасной нагрузкой в отсутствие дефектов. Для достаточно больших дефектов безопасных нагрузок не существует.

Аналогично может быть определена максимальная несущая способность колеблющегося стержня. Колебания имеют место вблизи состояний статического равновесия (см. рис. 11.5). Максимальная несущая способность может быть определена как значение $F$, при котором амплитуда изгиба достигает $s$. Для совершенной системы эта нагрузка находится из выражения
\[
\Delta E=\frac{l}{4}\left(\frac{\pi}{l}\right)^{2}\left(F_{1}-F_{s}\right) s^{2}+\frac{3 F_{s} l}{2^{6}}\left(\frac{\pi}{l}\right)^{4} s^{4},
\]

что в свою очередь приводит к следующему линейному соотношению между кинетической энергией $\Delta E$ и максимальной безопасной нагрузкой:
\[
F_{s}=\frac{F_{1}-(\Delta E / l)(2 l / \pi s)^{2}}{1-3(\pi s / 4 l)^{2}} .
\]

Для выпучивающихся стержней и других систем, разрушенне которых происходит по схеме катастроф типа $A_{+3}$, чувствительность безопасной нагрузки как к несовершенству, так и к динамическим воздействиям будет весьма умеренной.