Линейные операторы могут быть представлены посредством матриц, действующих на линейных векторных пространствах соответствующей размерности. Две матрицы подобны, а соответствующие операторы эквивалентны, если их характеристические и минимальные многочлены одинаковы.

Возмущение исходного линейного оператора вызывает возмущение коэффициентов характеристического многочлена. Если

Рис. 14.3. Бифуркационное множество в пространстве управляющих параметров $\mathbb{R}^{3}$ для канонических форм Жордана – Арнольда, зависящих от трех управляющих параметров [1].

исходная матрица имела невырожденные собственные значения, то возмущенная матрица также будет иметь невырожденные собственные значения. Когда имеет место вырожденность собственных значений, характеристический многочлен может быть записан в виде произведения сомножителей $(\lambda-\alpha)^{p} \times$ $X(\lambda-\beta)^{q} \ldots$, среди которых есть вырожденные. Возмущение этих отдельных сомножителей может быть проведено почти тем же путем, что и возмущение вырожденных корней градиента потенциала (т. е. уравнения состояния).

Наиболее общее минимальное возмущение матрицы $M_{0}$ получается после удаления «внутренних возмущений» и сдвига центра тяжести собственных значений. Наиболее общее возмущение матрицы, приведенной к жордановой форме, будет блочно-диагональная матрица (14.33). Возмущение каждого жорданова блока показано в (14.36). Канонической формой Жордана – Арнольда данной жордановой матрицы является семейство матриц минимальной размерности, которое включает все возмущения исходной жордановой матрицы.

Эти канонические формы дают каноническую информацию o произвольных возмущениях данной жордановой матрицы. Действие возмущения на спектр собственных значений канонически определяется при помощи «многообразий» собственных значений (в действительности многообразий с особенностями), полностью аналогичных критическим многообразиям. Вырожденность собственных значений встречается на различных компонентах бифуркационного множества, которое обычно является прямым произведением бифуркационных множеств, связанных с жордановыми матрицами для различных собственных значений. Самая общая сепаратриса, соответствующая отдельному жорданову блоку, представляется алгебраической поверхностью
\[
D=n_{1}+3 n_{2}+5 n_{3}+\ldots-1
\]

в $\mathbb{C}^{D}$ или $\mathbb{R}$. Значение переменной $x$ выбирается так, чтобы не изменять следа матрицы. Каждая компонента бифуркационного множества параметризует матрицы с вырожденными собствєнными значениями. Жордановы формы связаны друг с другом точно так же, как ростки катастроф и каустики.
$\diamond \diamond \diamond$ Эта глава полностью основана на работе В. И. Арнольда [1].

Литература
1. Арнольд В. И. О матрицах, зависящих от параметров. – УМН, 1975, $26: 2$, $101-114$.
2. Hoffman K., Kunze R., Linear Algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N. J.s Prentice-Hall, 1971.