Если рассматриваемая физнческая система находится в состоянии равновесия (устойчивого или неустойчивого), то $
abla V=$ $=0$. При этом тип равновесия определяется собственными зна-

Рис. 2.2. Морсовское седло в пространстве $\mathbf{R}^{2}$, имеющее локальный минимум и локальный максимум.

чениями матрицы устойчивости, или гессиана, $V_{i j}=\partial^{2} V / \partial x_{i} \partial x_{i}$. Поскольку $
abla V=0$ – условие, необходимое для применимости теоремы о неявной функции ( $
abla V
eq 0$ ), не выполняется, потенциальная функция не может быть представлена в канонической форме (2.1). Однако, если det $V_{i j}
eq 0$, теорема Морса [2] гарантирует существование гладкой замены переменных, такой, что потенциальная функция локально может быть представлена квадратичной формой
\[
V \doteq \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i}^{2}
\]

Здесь $\lambda_{i}$ – собственные значения матрицы устойчивости $V_{i j}$, вычисленные для состояния равновесия. С учетом новой замены координат в соответствии с $\bar{y}_{i}=\left|\lambda_{i}\right|^{1 / 2} y_{i}$ квадратичная форма (2.2a) может быть приведена к морсовской канонической форме
\[
V \doteq-\tilde{y}_{1}^{2}-\ldots-\tilde{y}_{i}^{2}+\tilde{y}_{i+1}^{2}+\ldots+\tilde{y}_{n}^{2}=M_{i}^{n}(\tilde{y}) .
\]

Функцию $M_{i}^{n}(\tilde{y})$ называют морсовским $i$-седлом. Исключительно морсовские 0 -седла имеют локальный минимум в точке равновесия, так что только такие седла локально устойчивы. На рис. 2.2 изображены три морсовские функции, заданные в пространстве $\mathbb{R}^{2}$.

Определение. Точки, в которых $
abla V=0$, являются точками равновесия, или критическими точками, гладкой функции $V\left(x_{1}\right.$, $\left.x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$. Критические точки, в которых $\operatorname{det} V_{i j}
eq 0$, называют. изолированными, невырожденными или морсовскими критическими точками.