Состояние физической системы, управляемой потенциалом $V(x ; c)$, описывается (по крайней мере частично) такой точкой $x \in \mathbb{R}^{n}$, в которой потенциал достигает минимального значения. Изменения внешних условий приводят к изменениям управляющих параметров, что в свою очередь влияет на вид потенциальной функции $V(x ; c)$; при изменении последней первоначальный глобальный минимум, который определял состояние системы, может стать метастабильным локальным минимумом (так как некоторый удаленный минимум стал иметь меньшее значение) или даже совсем исчезнуть. В этом случае система должна перескочить из одного локального минимума в другой. Момент перехода и минимум, в котором состояние системы будет устойчивым, определяются в соответствии со следующими принципами:

Принцип максимального промедления – состояние системы определяется устойчивым (стабильным) или метастабильным минимумом до тех пор, пока он существует (рис. 8.1). Данный принцип обычно применяется при описании градиентных динамических систем
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=-\frac{\partial}{\partial x_{i}} V(x ; c),
\]

как только $d c_{\alpha} / d t \ll 1$. Это объясняется тем, что потенциальная функция изменяется очень мед.тенно, и мы не располагаем способом, позволяющим определить, когда некоторый отдаленный минимум станет глобально устойчивым. Если существует ло-

Рис. 8.1.
$a$ – принцип максимального промедления; 6 – принцип Максвелла.
кально устойчивый минимум равновесия в точке $\left(x^{0}(c(t)), c(t)\right)$, то $d x^{0} / d t=0$ остается условием равновесия до тех пор, пока потенциальная функция устойчива в точке $x^{0}$. Только тогда система может достигнуть нового локального минимума.

Принцип Максвелла – состояние системы определяется глобальным минимумом потенциальной функции (рис. 8.1).

Если система описывается функцией распределения, то условия, при которых система выходит из одного состояния метастабильного равновесия и начинает двигаться к другому метастабильному равновесию или устойчивому равновесию, зависят от уровня шума в системе (рис. 8.2).

Высота барьера $\Delta E$ может быть определена непосредственно из потенциала $V(x ; c)$, а удовлетворительное описание шума может быть получено на основе уравнений в частных производных. Тогда $\mathscr{P}$ определяется через коэффициенты вторых частных производных соответствующего уравнения. Малый уровень шума вызывает малые флуктуации, которые в свою очередь могут влиять на вид потенциала только локально, так что отдаленные минимумы не обнаруживаются (принцип максимального промедления). Большие же флуктуации могут приводить к отдален-

Рис. 8.2. Отношение уровня шума $\mathscr{P}$ к высоте барьера $\Delta E$ позволяет определять, какой из двух принципов следует принять: $\mathscr{P}_{d} / \Delta E \ll 1$ – принцип максимального промедления или $\mathscr{P}_{M} / \Delta E \simeq 1$ – принцип Максвелла.

Рис. 8.3. Интерпретация соглашений в терминах поверхности критических значений катастрофы.
1 – левостороннее минимальное значение; 2- правостороннее минимальное значение.

ным глубоким минимумам и соответствуют принципу Максвелла.
В случае катастрофы сборки эти два принципа могут быть интерпретированы в терминах поверхности критических значений (рис. 8.3.).

Принцип максимального промедления – состояние системы изменяется вдоль листа на поверхности до тех пор, пока этот лист не исчезнет. В этом случае система переходит из одного состояния в другое, что соответствует переходv на нижерасположенный лист.

Принцип Максвелла – состояние системы непрерывно изменяется вдоль самого нижнего листа поверхности, соответствующего рассматриваемой точке пространства управляющих параметров, перемещение с одного листа на другой происходит всякий раз, как только управляющий параметр пересекает полупрямую $a<0, b=0$.

Определение. Бифуркационным множеством называется множество точек в пространстве управляющих параметров, в которых происходит переход из одного локального минимума в другой.
$\diamond \diamond \diamond$ Бифуркационное множество существенно зависит от используемого соглашения (принципа). Для катастрофы сборки $A_{3}$ при использовании принципа максимального промедления бифуркационное множество состоит из двух линий складки, а при использовании принципа Максвелла из полупрямой $a<0$, $b=0$. Бифуркационное множество при использовании принципа максимального промедления в общем случае может быть определено из условия $\operatorname{det}\left|\partial^{2} V / \partial x_{i} \partial x_{j}\right|=0$. Так как это условие зависит от производных, то оно является локальным условием, и соответствующее бифуркационное множество называют локальным бифуркационным множеством. При использовании принципа Максвелла бифуркационное множество может быть определено посредством уравнений Қлаузиуса – Қлапейрона, такое множество называют нелокальным бифуркационным множеством.
$\diamond \diamond \diamond$ Переход из одного локального минимума в другой называют фазовым переходом. Фазовые переходы соответствуют качественным изменениям свойств системы.