Рассмотрим системы, сконструированные из двух компонент. Предположим, что эти две компоненты с параметрами порядка $x$ и $y$ являются совершенными, а также инвариантными относительно замен $x \rightarrow \pm x, y \rightarrow \pm y$. Предположим также, что составная система конструируется совершенно, т. е.
\[
V_{p}(x, y ; F)=V_{p}( \pm x, \pm y ; F) .
\]

В этом случае главные члены разложения в ряд Тейлора потенциальной функции, описывающей такую совершенную систему,

Рис. 11.13.
$a$ – чувствительность к несовершенству систем, проявляющих смену типа устойчивости, крайне жестка, Чисто статические и чисто динамические несовершенства описываются степенными законами с показателями степени $1 / 2$ и $1 / 3$ соответственно; 6 – динамические несовершенства не только могут уменьшать несущую способность несовершенной системы, проявляющей смену типа устойчивости (при скачке $\varepsilon_{1} \geqslant 0$ ), но могут также привести к скачку устойчивой системы через потендиальный барьер в хаос $\left(\varepsilon_{1}<0\right)$. Заштрихованные области указывают пределы колебаний около устойчввого состояния равновесия. Система теряет устоичивость, когда колебания цересекают неустойчивый локальный максимум.

имеют вид
\[
\begin{array}{c}
V_{p}(x, y ; F)=\frac{1}{2}\left(F_{1}-F\right) x^{2}+\frac{1}{2}\left(F_{2}-F\right) y^{2}+ \\
\quad+\frac{1}{4} \sigma_{1} x^{4}+\frac{1}{4} \sigma_{2} y^{4}+\frac{1}{2} c x^{2} y^{2}+ \\
\quad+\text { Члены более высокой степени; }
\end{array}
\]

при этом исключим из рассмотрения члены шестой и более высокой степени. Символы $\sigma_{1}= \pm 1, \sigma_{2}= \pm 1$ введены для учета возможности того, что две индивидуальные компоненты разрушаются в результате катастроф типа $A_{ \pm 3}$.

Прежде чем перейти к детальному анализу критических точек данной потенциальной функции, полезно сначала качественно определить ее свойства глобальной устойчивости. Это может быть сделано путем исключения квадратичных членов как несущественных по сравнению с членами четвертой степени при больших значениях $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ (предполагается, что члены степени выше четвертой равны нулю). Например, если вклад членов четвертой степени в потенциальную функцию $V_{p}$ равен
\[
\begin{array}{c}
V_{p} \xrightarrow{r \text { большое }} \frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{4} y^{4}-\frac{1}{2} \cdot 3 x^{2} y^{2}, \\
=\frac{1}{4}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}-x^{2} y^{2},
\end{array}
\]

то $V_{p}$ устойчива в «направлении» $x^{2}-y^{2}$ и неустойчива в «направлении» $x^{2}=y^{2}$ (т. е. при $x^{2}-y^{2}=0$ ) (табл. 11.1).
Таблица 11.1. Свойства глобальной устойчивости потенциальной функции вида $V(x, y)=\frac{1}{4} \sigma_{1} x^{4}+\frac{1}{4} \sigma_{2} y^{4}+\frac{1}{2} c x^{2} y^{2}$
Теперь свойства локальной устойчивости потенциальной функции (11.43) могут быть определены обычным способом. Условие равенства нулю градиента ведет к паре сцепленных нелинейных уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial V}{\partial x}=x\left\{\left(F_{1}-F\right)+\sigma_{1} x^{2}+c y^{2}\right\}=0, \\
\frac{\partial V}{\partial y}=y\left\{\left(F_{2}-F\right)+\sigma_{2} y^{2}+c x^{2}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Матрица устойчивости имеет вид
\[
V_{i j}=\left[\begin{array}{cc}
F_{1}-F+3 \sigma_{1} x^{2}+c y^{2} & 2 c x y \\
2 c x y & F_{2}-F+3 \sigma_{2} y^{2}+c x^{2}
\end{array}\right] .
\]

Система уравнений (11.45) может иметь до девяти решений, перечисленных ниже:
1.
\[
\begin{array}{l}
x=0, \\
y=0,
\end{array} \quad V_{i j}=\left[\begin{array}{cc}
F_{1}-F & 0 \\
0 & F_{2}-F
\end{array}\right] .
\]
2, 3. $\begin{aligned} F_{1}-F+\sigma_{1} x^{2} & =0, \\ y & =0,\end{aligned} \quad V_{i j}=\left[\begin{array}{cc}-2\left(F_{1}-F\right) & 0 \\ 0 & F_{2}-F+c x^{2}\end{array}\right]$.
4,5 .
\[
\begin{array}{rr}
\text { 4, 5. } & x=0, \quad V_{i j}=\left[\begin{array}{cc}
F_{1}-F+c y^{2} & 0 \\
0 & -2\left(F_{2}-F\right)
\end{array}\right] . \\
\text { 6-9. } & F_{1}-F+\sigma_{2} y^{2}=0, \quad \sigma_{1} x^{2}+c y^{2}=0, \\
& F_{2}-F+\sigma_{2} y^{2}+c x=0, \quad V_{i j}=\left[\begin{array}{cc}
2 \sigma_{1} x^{2} & 2 c x y \\
2 c x y & 2 \sigma_{2} y^{2}
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

Последнее множество решений существует, если квадратные уравнения соответствуют вещественным кривым второго порядка (эллипсам и/или гиперболам) и эти кривые пересекаются.

Множество решений $(x, y)=(0,0)$ будем называть нулевой ветвью, или стволом. Это решение в силу симметрии существует при всех значениях параметра нагрузки. Множества решений, которые находятся в $(x, F)$-плоскости $y=0$ (\#2,3) и в $(y, F)$ плоскости $x=0$ ( $\# 4,5$ ), будем называть (если они существуют) первичными ветвями, а остальные четыре симметрических решения ( $x \rightarrow \pm x, y \rightarrow \pm y$ ) – вторичными ветвями. Первичные ветви ответвляются от нулевой ветви, вторичные – от первичных.

Определим свойства локальной устойчивости потенциальной функции $V_{p}$, выполняя элементарный анализ бифуркации. Предположим, что $F_{2}>F_{1}>0$. При $F=0$ решение $(x, y)=(0,0)$ устойчиво, и оно остается утойчивым до тех пор, пока $F$ не возрастет до $F=F_{1}$. В этой точке первичная ветвь $(x, y)=$ $=\left( \pm \sqrt{\sigma_{1}\left(F-F_{1}\right)}, 0\right)$ ответвляется от нулевой и существует только тогда, когда $F \geqslant F_{1}$ или $F \leqslant F_{1}$ в зависимости от типа катастрофы $A_{ \pm 3}$. Другая первичная ветвь ответвляется от нулевой ветви в точке $F=F_{2}$ и на ней $(x, y)=\left(0, \pm \sqrt{\delta_{2}\left(F-F_{2}\right)}\right)$.

Вдоль нулевой ветви оси $x$ и $y$ являются главными, а одно собственное значение $V_{i j}$ изменяет знак при каждой бифуркации. Вдоль первичных ветвей оси $x$ и $y$ также являются главными. Первая первичная ветвь $(x
eq 0, y=0)$ представляет устойчивые морсовские критические точки $M_{0}^{2}$, если $\sigma_{1}=+1$, или неустойчивые морсовские седла $M_{1}^{2}$, если $\sigma_{1}=-1$. Вторая первичная ветвь $(x=0, y
eq 0)$ представляет неустойчивые морсовские седла $M_{1}^{2}$, если $\sigma_{2}=+1$, или $M_{2}^{2}$, если $\sigma_{2}=-1$.

Если вторичные ветви существуют, то они должны ответвляться от первичных ветвей, это следует из некоторых соображений, связанных с коническими сечениями. Наиболее простой способ нахождения положения этих бифуркаций состоит в изучении возможности обращения в нуль собственных значений

Рис. 11.14. Зависящие от коэффициентов квадратичных членов бифуркационные диаграммы для потенциальной функции вида (11.43).
$a$ – вторичные ветви, «испускаемые» одной из первичных ветвей, «поглощаются» другоћ первичной ветвью; $\sigma$ – вторичные ветви являются морсовскими седлами $M_{1}^{2}$. Эти седла отделяют локально устойчивые состояния равновесия $(x, y)=(0,0)$ от области глобальной неустойчивости, которая существует при большнх $r$.

матрицы устойчивости вдоль первичных ветвей. Бифуркация на первой первичной ветви может произойти в точке
\[
F=\frac{F_{2}-c \sigma_{1} F_{1}}{1-c \sigma_{1}},
\]

если указанное значение $F$ лежит на этой ветви. Аналогично бифуркация на второй первичной ветви может произойти в точке
\[
F=\frac{F_{1}-c \sigma_{2} F_{2}}{1-c \sigma_{2}},
\]

если это значение $F$ лежит на ветви $(x=0, y
eq 0$ ).
Две интересные бифуркационные диаграммы потенциальной функции (11.43) приведены на рис. 11.14. На первой из них вторичная ветвь «испускается» одной из первичных ветвей и «поглощается» другой. На второй диаграмме две первичные ветви обращены вверх, а вторичные ветви обращены вниз и неустойчивы. Нисходящиє неустойчивые $\left(M_{1}^{2}\right)$ вторичные ветвй являются потенциальными барьерами, отделяющими устойчивую $\left(M_{0}^{2}\right)$ критическую точку ( $x=0, y=0$ ) от глобальной неустойчивости $(c<-1)$. При $F_{2} \gg F_{1}$ или $F_{1} \gg F_{2}$ эти седла далеко отстоят от нулевой ветви, и высота потенциального барьера значительна; при $F_{2}-F_{1} \simeq 0$ и малом $F_{1}-F$ это уже не имеет места.

Анализ несовершенства может быть проведен для совершенных систем, описываемых потенциальной функцией (11.43); при $F_{2}-F_{1} \gg 0$ он сводится к анализу катастроф сборки (разд. 2 и 3). Ситуация становится более сложной, когда $F_{2} \simeq F_{1}$. В этом случае, хотя обе бифуркации и являются «мягкими» $\left(A_{+3}\right)$, вторичные ветви обращены вниз при $c<-1$, и, следовательно, может иметь место не только чрезвычайная, но, что хуже, непрогнозируемая чувствительность к несовершенству. Эта неожиданная чувствительность к несовершенству возникает из-за тесной взаимосвязи подобранных нагрузок разрушающих мод обеих компонент подсистемы.
$\diamond \diamond \diamond$ Тот факт, что «опасная» система может получиться в результате объединения двух «безопасных» систем, является поводом для серьезных размышлений.