Различные предположения, приводящие к уравнению состояния (12.29), могут выполняться для летательных аппаратов определенного класса, к которому относятся широко изученные реактивные летательные аппараты с короткими крыльями-стабилизаторами. Для такого летательного аппарата момент инерции $l_{x x}$ относительно оси фюзеляжа много меньше, чем компоненты $I_{y y}, I_{z z}{ }^{1}$ ). Поскольку крылья одновременно служат и стабилизаторами, $I_{y y} \simeq I_{z z}$ и, в частности, $\left|I_{y y}-I_{z z}\right| / I_{x x} \simeq 0$, членом $F_{1}^{23}$ (12.29) можно пренебречь. Вследствие этого уравнение состояния $\Phi^{\prime}(x ; c)=0$ имеет пятый порядок относительно переменной состояния $x$ и линейно относительно всех управляющих параметров. Такая модель не является безупречной, поскольку первоначальные уравнения движения (12.4) зависят лишь от двух управляющих параметров $a, e$ и не зависят от трех остальных $\delta a, \delta e, \tau$. Более совершенная модель должна была бы учитывать эти три дополнительные степени свободы управления.
1) Аэродинамические $F_{i}^{j}$ и управляющие $F_{i}^{\gamma}$ коэффициенты функции линейного отклика, а также компоненты тензора моментов инерции приведены в работе [2].

Для стандартной модели уравнение состояния имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\Phi^{\prime}(x ; c)=\sum_{k=0}^{5} a_{k} x^{k}=0, \\
a_{5}=-21,6, \quad a_{4}=-326,4 a, \quad a_{3}=50,3 e+358,9, \\
a_{2}=5412,6 a, \quad a_{1}=11752,8 e-1525,9, \quad a_{0}=-23015 a .
\end{array}
\]
(Если нет дополнительных указаний, углы $a$, $e$ измеряются в радианах.) Несмотря на указанный недостаток, данная модель позволяет наглядно представить поверхность, задаваемую уравнением состояния $\Phi^{\prime}=0$ в виде двумерного многообразия, погруженного в трехмерное пространство $\mathbb{R}^{3}$ с координатами $(x ; a, c)$.

Рассматриваемое уравнение состояния, имеющее пятый порядок по $x$, может быть приведено к каноническому виду путем переноса начала координат $x=\tilde{x}-a_{4} / 5 a_{5}$. Это преобразование приводит к канонической форме катастрофы $A_{5}$, канонические коэффициенты которой являются нелинейными функциями физических управляющих параметров.
6.1. Бифуркационное множество

Теперь определим бифуркацнонное множество для функции $Ф$, поскольку бифуркационное множество для $A_{5}$ каноническое. Однако такая идентификация является нелинейной и сложной. Более простой путь определения бифуркационного множества заключается в параметрическом представлении.

Допустим, что $\Phi^{\prime}(x ; a, e)=0$ и $\Phi^{\prime \prime}(x ; a, e)=0$ одновременно. Члены этих выражений могут быть нелинейными только относительно переменной состояния $x$. Таким образом, переменная состояния $x$ может быть использована для параметрического представления управляющих параметров $(a(x), e(x))$ на бифуркационном множестве. Это можно сделать явным образом, если переписать $\Phi^{\prime}=0, \Phi^{\prime \prime}=0$ в матричном виде
\[
\begin{array}{l}
{\left[\begin{array}{lccccc}
x^{5} & x^{4} & x^{3} & x^{2} & x & 1 \\
5 x^{4} & 4 x^{3} & 3 x^{2} & 2 x & 1 & 0
\end{array}\right] \times} \\
\times\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -21,6 \\
-326,4 & 0 & 0 \\
0 & 50,3 & 358,9 \\
5412,6 & 0 & 0 \\
0 & 11752,8 & -1525,9 \\
-23015 & 0 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
a \\
e \\
1
\end{array}\right]=0 . \\
\end{array}
\]

Қаждому значению $x$ соответствует пара совместных линейных уравнений для управляющих параметров $(a, e)$. Решение этих уравнений единственно при условии, что определитель системы не равен нулю.

Параметрическое представление кривых складки ( $a(x)$, $e(x)$ ) и изолированных точек возврата показано на рис. 12.3. Рассматриваемое бифуркационное множество состоит из трех

Рис. 12.3. Бифуркационное множество потенциальной функции $\Phi(x ; a, e)$, списывающей состояние реактивного кетательного аппарата с крыльями-стабилизаторами, изображенное на плоскости $R^{2}$ управляющих параметров $(a, e)$. Кривые складки ограничивают области с различным числом состояний равновесия (устойчивого и неустойчивого), указанным в кружках.

несвязных ветвей, поскольку определитель соответствующей матрицы размером $2 \times 2$ (12.32) имеет два трансверсальных нулевых сечения при $x_{c}= \pm 2,88$. Кривые складки, параметризованные значениями $-\left|x_{c}\right|<x<+\left|x_{c}\right|$, имеют по одной угловой точке, в то время как кривая складки, параметризованная значениями из внутреннего сегмента $-\left|x_{c}\right|<x<+\left|x_{c}\right|$, имеет три точки возврата.

Бифуркационное множество делит плоскость $\mathbb{R}^{2}$ управляющих параметров на открытые непересекающиеся области (рис. 12.3), в которых функция Ф имеет различное число (1), (3) или (5) критических точек, а система соответственно различное число (1), (2) или (3)) устойчивых стационарных состояний.

Положение вертикальных касательных $(x ; a(x), e(x))$, их проекций, бифуркационное множество $\mathscr{P}_{B}$ в $\mathbb{R}^{2}$ и информация о числе критических точек являются достаточными сведениями для установления формы уравнения многообразия состояний.
6.2. Катастрофа

Сечения поверхности уравнения состояния $\Phi^{\prime}(x ; a, e)=0$ легко определить в параметрической форме на основании первого из матричных уравнений (12.32). Некоторые из сечений многообразия $\Phi^{\prime}=0$ плоскостями $e=$ const показаны на рис. 12.4 .

Вид этих сечений обычен. Для ряда значений управляющего параметра а возможны три устойчивых стационарных состояния, в то время как для других значений возможное число таких состояний равно двум или одному. Предположим, что начальные значения управляющих параметров определяются парой чисел $(a, e)=\left(0,2^{\circ}\right)$. Если $e$ остается фиксированным, в то время как а медленно возрастает (на временной шкале это соответствует принципу максимального промедления), то вначале система $x$ будет линейно реагировать на изменение $a$. При достижении $a \approx 9^{\circ}$ [1] линейный характер отклика резко нарушается и точка, описывающая состояние, скачком переходит на нижний лист. На этом листе состояние летательного аппарата совершенно не чувствительно к изменению угла отклонения элеронов $(-20<a<+20)$. Это похоже на ситуацию, при которой теряется возможность управления при $a \sim 9^{\circ}$. Другими словами, если пилот попнтается вернуть летательный аппарат в состояние $x=0$, уменьшая $a$ при фиксированном $e$, он потерпит неудачу. Летательный аппарат не будет реагировать на изменение $a$ до тех пор, пока оно не достигнет значения $a \simeq-20^{\circ}$, при котором произойдет скачкообразный переход на верхний лист. Последующее увеличение управляющего параметра $a$ вновь сопровождается отсутствием реакции вплоть до значения $a \simeq+20^{\circ}$, при котором точка, характеризующая состояние системы, опять перескочит на нижний лист. Средний лист остается недостижимым при $e=2^{\circ}$. Заставить систему вернуться на средний лист можно, лишь изменяя оба управляющих параметра – как $a$, так и $e$. Например, если $a$ возвратить к нулю и сделать затем меньше нуля, то система скачкообразно придет к единственному устойчивому состоянию. Последующее возвращение параметра $e$ к нулю вернет систему на центральный лист. Система может также быть возвращена на центральный лист без скачков (каким образом?).

Рис. 12.4.
$a$ – сечения многообразия равновесных состояний $\Phi^{\prime}(x ; a, e)=0$ плоскостями $e=$ const. 6 – при начальном состоянии ( $x ; a, e)=\left\{0 ; 0,2^{\circ}\right.$ вследствие медленного изменения $\boldsymbol{a}\left(0^{\circ} \rightarrow 9^{\circ}\right.$ ) уводит переменную состояния с центрального листа. При последующем уменьшении $a$ переменная $x$ остается на нижнем листе до тех пор, пока при достижении $a \rightarrow-20^{\circ}$ она скачкообразно не перейдет на верхний лист. При дальнейших изменениях $a$ центральный лист остается недостижимым до тех пор, пока параметр $e$ остается фиксированным; – лист устойчивости; -……. лист неустойчивости; — – траектория изменения состояння.

На рис. 12.5 показано сечение многообразия $\Phi^{\prime}$ плоскостью $a=0$. Для $e<0^{\circ}$ существует единственное устойчивое стационарное состояние $x=0$. При значении $e \simeq 9^{\circ}$ ветвь $x=0$ становится неустойчивой и происходит бифуркация $\left(A_{-3}\right.$ ) этой ветви на две симметричные неустойчивые ветви. Последние вращаются вокруг точки $e \simeq 0^{\circ}$, знаменуя поочередный переход от неустойчивости к устойчивости. В диапазоне $e>9^{\circ}$ существуют

Рис. 12.5. Форма сечения многообразия стационарных состояний $\Phi^{\prime}=0$. Свойства устойчивости различных ветвей спределяются с помощью анализа устойчивости произвольной невырожденной точки многообразия стационарных состояний. Максвелловское множество показано пунктирными линиями, а бифуркационное множество штриховыми линиями. Последние являются спинодалями. Здесь $е$ измеряется в градусах и $p=x_{1}=x .1-$ устойчивая вегвь; $; 2$ – неустойчивая ветвь.

два симметричных устойчивых решения, а также одно неустойчивое решение $x=0$. Диапазону $0<e<9^{\circ}$ отвечают три устойчивых и два неустойчивых решения.

Если выполняется принцип максимального промедления, то при возрастании $e$ (при $a=0$ ) и достижении значения $e \simeq 9^{\circ}$ имеет место фазовый переход первого рода. При обратном изменении $e$ фазовый переход первого рода наступает при $e \simeq 0^{\circ}$. Налицо гистерезис. Невозможно предсказать, на какую ветвьверхнюю илі нижнюю – произойдет скачок с ветви $x=0$ при $e \simeq 0^{\circ}$. Это определяется малыми случайными возмущениями.

Если выполняется принцип Максвелла, то значение $e$, при котором происходит переход с ветви $x=0$ на одну из ветвей $x
eq 0$, определяется на основе функции Ляпунова $\Phi(x ; a=0$, $e_{c}$ ). В этом случае гистерезиса не наблюдается, но область фазового перехода первого рода очерчена спинодалями,

Эта однопараметрическая бифуркация неустойчива к возмущениям типа $a
eq 0$. На рис. 12.6 показано сечение многообразия $\Phi^{\prime}=0$ плоскостью $a=$ const, где величина const мала. Недостаточная чувствительность спннодалей летательного аппарата может быть объяснена с помощью методики, описанной в гл. 11.
При фиксированных управляющих параметрах $a$, $e$ перемен-
Pис. 12.6. Структурно неустойчивая бифуркация к изменениям формы
$
eq 0$.

Сплошными линиями показаны сечения многообразия стационарных состояний плоскости $a
eq 0$. 1 – устойчивая ветвь; 2 – неустойчнвая ветвь.

ная состояния $x$ может принимать 1,2 или 3 возможных устойчивых стационарных значения. Қакое из них она примет, реально зависит от предыстории движения летательного аппарата. Для каждой тройки чисел ( $x ; a, e)$, удовлетворяющих $\Phi^{\prime}=0$, существует единственная точка ( $\left.x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \in \mathbb{R}^{5}$ пространства состояний системы (12.23). Значения $x_{2}$, $x_{3}$ однозначно определяются значениями $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ с помощью (12.27); значения $x_{4}, x_{5}$ однозначно определяются значениями $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ посредством линейных уравнений. Следовательно, если уравнение $\Phi^{\prime}=0$ является $t$-значным относительно ( $a, e$ ), то двумерное многообразие $\mathfrak{M}$ в $\mathbb{R}^{5} \otimes \mathbb{R}^{2}$, определяемое уравнениями (12.25), также $t$-значно относительно $(a, e)$. Каждая точка многообразия $\mathscr{M}$ может быть исследована на линейную устойчивость. Линейный анализ устойчивости дает пять собственных значений. Точке $x \in \mathscr{M}$ соответствует динамически устойчивое стационарное состояние системы (12.19), если все пять собственных значений имеют отрицательные действительные части. Потеря динамической устойчивости связана с тем, что действительная часть одного или нескольких собственных значений, возрастая, проходит через нуль. Бифуркационное множество $\mathscr{P}_{B}<\mathbb{R}^{2}$ соответствует тому, что действительное собственное значение, возрастая, проходит через нуль. Наибольшая часть устойчивых листов $\Phi^{\prime}$ соответствует динамически устойчивым листам $\mathscr{M}$. Однако имеется некоторая часть устойчивых листов $\Phi^{\prime}$, соответствующих точкам в $\mathscr{A}$, все действительные собственные числа которых отрицательны, но для которых имеется пара комплексно-сопряженных собственных значений, пересекших мнимую ось и сместившихся в положительную полуплоскость. Соответствующее состояние системы является неустойчивым, но вблизи него расположено устойчивое нестационарное состояние, называемое предельным циклом. Описание этого явления выводит за рамки данной главы.
6.3. Интегрирование уравнений движения

Теперь можно приступить к решению первоначально поставленной задачи – интегрированию уравнений движения. Исходные динамические уравнения движения определены на произведении пространств $\mathbb{R}^{8} \otimes \mathbb{R}^{5}$ (12.19). Однако расцепление системы, достигаемое при высоких скоростях ( $g /|\mathbf{v}| \rightarrow 0)$, позволяет ограничиться рассмотрением усеченной динамической системы (12.23), определенной на $\mathbb{R}^{5} \otimes \mathbb{R}^{5}$, а изучение частной модели – системы, определенной на $\mathbb{R}^{5} \otimes \mathbb{R}^{2}$.

Для нахождения стационарных состояний динамической системы, определенной на $\mathbb{R}^{5} \otimes \mathbb{R}^{2}$, вначале осуществляют преобразование в $\mathbb{R}^{1} \otimes \mathbb{R}^{2}[(12.25)$ – (12.29)], а затем обратное преобразование полученных результатов из $\mathbb{R}^{1} \otimes \mathbb{R}^{2}$ в $\mathbb{R}^{5} \otimes \mathbb{R}^{2}$. Если положение двумерного многообразия стационарных состояний $\mathscr{M}$ в $\mathbb{R}^{5} \otimes \mathbb{R}^{2}$ известно, то возможна разумная интерпрета. ция интегрируемых уравнений движения.

Указанные уравнения были проинтегрированы следующим образом [1]. Предполагалось, что при $t<0$ система находится в устойчивом стационарном состоянии, а при $t=0$ происходит изменение значений управляющего параметра. Тогда система будет совершать асимптотический переход к новому стационарному состоянию, которое будет устойчивым в новом диапазоне значений управляющего параметра. Всегда можно преобразовать многообразие устойчивых стационарных состояний, исходя из некоторого начального стационарного состояния и производя затем последовате.ьные и дискретные изменения управляющих параметров. Подобная процедура дает несколько больший объем информации относительно свойств устойчивости решений, чем теория линейного нестационарного отклика. Бифуркационное множество ясно выявляется как дивергенция тензора чувствительности.

Более интересный и реалистический метод состоит в изучении (глобального) отклика системы на конечнозначное изменение управляющих параметров. Конечное состояние системы зависит от ее начального состояния $x^{0} \in \mathbb{R}^{5}$, а также от конечных значений управляющих параметров.

Численное интегрирование уравнений было выполнено авторами работы [1]. Их результаты нормированы использованием одинаковых начальных условий $(x ; c)=(0 ; 0) \in \mathbb{R}^{8} \otimes \mathbb{R}^{2}$ для всех случаев интегрирования. Таким образом, от одного случая интегрирования к другому изменялись только конечные значения управляющего параметра. Некоторые части поверхности уравнения состояния оказались достижимыми из выбранного начального состояния, в то время как другие части остались в «тени» неустойчивых компонент многообразия уравнения состояния.

Изменение во времени переменных состояния ( $p, q, r, \alpha, \beta$, $\phi, \theta$ ) показано на рис. 12.7. Для указанных значений управляющих параметров существует устойчивое стационарное состояние на верхнем листе с $x \simeq-2$ и устойчивое стационарное состояние на верхнем листе с $x \simeq 1,6$. Устойчивые состояния на верхнем листе скрыты за потенциальным барьером, который представляет собой лист неустойчивости, так что получаемое интегрированием по времени решение должно асимптотически стремиться к устойчивому стационарному состоянию, соответствующему нижнему листу.

Кривые, приведенные на рис. 12.7 , наглядно описывают эволюцию системы к стационарному состоянию. Видно, что вначале движение системы к стационарному состоянию происходит медленно. Это объясняется тем, что после изменения управляющих параметров точка, описывающая состояние, лежит вблизи среднего листа. В результате все силы $F_{l}$ оказываются малыми, а движение – медленным. Не успев подойти к многообразию стационарных состояний, система тут же его покидает и переходит на складку. Пройдя складку, система удаляется от критического многообразия, продолжая движение в направлении нижнего листа. При удалении от критического многообразия скорость движения точки становится выше, вследствие возрастания сил $F_{i}$. С приближением к нижнему листу движение вновь замедляется. В конечном счете, система достигает стационарного состояния с $(x ; a, e) \simeq\left(-2,0 ; 3,8^{\circ}, 2^{\circ}\right)$. Однако если управляющие параметры имели бы значения $(a, e)=\left(3,7^{\circ}, 2^{\circ}\right)$, то конечное состояние системы лежало бы на центральном листе, причем приближение к этому листу было бы медленным.

Рис. 12.7.
$a$ – изменение во времени семи леременньх состояния при достижении управляющим параметром предельных значений, переводящих систему с одной устойчнвой ветви на другую [1]. 6 -критическое замедление, имеющее место при $a \rightarrow 3,75^{\circ}$, вследствие того, что вынуждающая сила $F_{i}(x ; c)$ достигает нуля на складке. Қритическое замедление происходит в завнсимости от того, будет ли стацнонарное состояние системы находиться на среднем или нижнем листе.

Для значений управляющих параметров $e=2^{\circ}, a>3,8^{\circ}$ изменение переменных состояния качественно подобно случаю, представленному на рис. 12.7 , за исключением уменьшения масштаба времени. При $e=2^{\circ}, a<3,7^{\circ}$ конечное состояние си-

Рис. 12.8. Энергия и ее производная по времени как функции времени [1]. $a$ – состолние системы перемещается к краю среднего листа и конечное стационарное состояние находится на среднем листе вблизи границы многообразия; функция Ляпунова $(-E)$ вначале убывает вплоть до момента $t \simeq 3$ с. В этот момент $\dot{E}$ меняет знак и затем асимптотически стремится к нулю, в то время как $-E$ возрастает до значения, соответствующего стационарному состоянию; 6 – система эволюционирует в направлении стационарного состояния, находящегося на нижнем листе. Энергия измеряется в БTE; 1 БTE $=1050$ Дж.

стемы лежало бы на центральном листе, но приближение к этому устойчивому стационарному состоянию происходило бы быстрее. Это уменьшение временного масштаба имеет место вследствие того, что силы $F_{i}$ оказываются бо́льшими при удалении управляющих параметров от бифуркационного множества. Растяжение же временной шкалы при $e=2^{\circ}$, когда $a \rightarrow 3,75^{\circ}$, является примером критического замедления. Оно возникает в зависимости от того, будет ли асимптотически устойчивое состояние лежать на центральном или нижнем листе.

Система из пяти связанных нелинейных уравнений движения первого порядка может быть, вообще говоря, численно проинтегрирована при использовании нормированной комбинации начальных условий $x^{(i)} \in \mathbb{R}^{5}$ и конечных значений управляющих параметров $c^{(f)} \in \mathbb{R}^{2}$. Однако при отсутствии каких-либо сведений о структуре многообразия уравнения состояния интерпретация получаемой при таком интегрировании обширной информации в виде зависящих от времени функций, вызывает существенные затруднения. Вместе с тем, располагая сведениями о такой структуре, мы получаем возможность описывать качественное поведение траекторий $x(t) \in \mathbb{R}^{5}$ при произвольных $\left(x^{(i)}\right.$; $\left.c^{(f)}\right) \in \mathbb{R}^{5} \otimes \mathbb{R}^{2}$, не интегрируя уравнения движения.
6.4. Энергия как функция Ляпунова

Кинетическая энергия летательного аппарата может быть выражена через линейную $\mathbf{v}$ и угловую $\boldsymbol{0}$ скорости, или через переменные состояния ( $p, q, f)(=\boldsymbol{\omega})$ и $(\alpha, \beta)$ («полярные» углы вектора скорости)
\[
\begin{array}{l}
E=\frac{1}{2} M \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}+\frac{1}{2} I_{i j} \omega_{i} \omega_{j}, \\
\dot{E}=M \mathbf{v} \cdot \dot{\mathbf{v}}+I_{x} p \dot{p}+I_{y} q \dot{q}+I_{z} r \dot{r} .
\end{array}
\]

Для рассматриваемой динамической системы энергетическая функция (12.33) есть частный случай общего выражения (12.9) и определена на полном многосбразии уравнения состояния. На этом многообразии $\dot{E}=0$. При приближении к стационарному состоянию $\dot{E}$ стремится асимптотически к нулю. Если $\dot{E}$ проходит через нуль (трансверсально), стационарное состояние не реализуется. Значение $E$ может существенно измениться при скачкообразных переходах системы из одного состояния (с одного листа) в другое (на другой). Эволюция двух функций $E$ и $\dot{E}$ показана (начальное условие $x=0 \in \mathbb{R}^{5}$ ) на рис. 12.8 .