Между двумя «экстремалями» возможных соглашений теории катастроф-принципом максимального промедления и принципом Максвелла — «лежат» соглашения, которые могут быть описаны некоторым уравнением в частных производных. Последнее может быть решено с учетом изменения управляющих параметров при условии, что ни один из вышеуказанных
принципов не применяется. В этом случае бифуркационное множество представляет собой размытое множество. Более точно, если не используется ни одно из возможных соглашений, то в общем случае невозможно определить бифуркационное множество рассматриваемого физического процесса.

Теперь наполним эти веские замечания реальным содержанием и рассмотрим ситуации, которые весьма часто возникают в физических системах. В таких случаях система обычно описывается вероятностной функцией распределения $P$, которая связана с потенциальной функцией $V$ посредством уравнения Фоккера — Планка [2]:
\[
\frac{\partial}{\partial t} P=
abla \cdot(P
abla V)+
abla^{2}(D P) .
\]

Потенциал $V$ является функцией переменной состояния $x \in \mathbb{R}^{n}$ и $k$ управляющих параметров $c \in \mathbb{R}^{k}$. В то время как управляющие параметры зависят от времени, потенциал $V$ от него не зависит. Функция распределения $P$ зависит как от $x$, так и от $c$ и $t$. Найдем решения уравнения (8.2) в случае $(A)$ асимптотического предела, не зависящего от времени, и (Б) предела, свободного от диффузии.
$A$. Управляющие параметры зафиксированы, и потенциальная функция не зависит от времени. Поэтому можно искать стационарную ( $t \rightarrow \infty$ ) вероятностную функцию распределения, положив $\partial P / \partial t=0$. В результате уравнение (8.2) сводится к
\[
0=
abla \cdot(P
abla V+
abla(D P)),
\]

решением которого является
\[
P(x ; c)=N e^{-V(x ; c) / D},
\]

где $D$ — некоторая константа. Если коэффициент диффузии не постоянен, то решение может быть записано в виде
\[
P(x ; c)=N D^{-1}(x) \exp -\left\{\int^{x} D^{-1}\left(x^{\prime}\right)
abla V\left(x^{\prime} ; c\right) d x^{\prime}\right\} .
\]

Член $N$ в формуле (8.5) представляет собой соответствующую константу нормализации.
Б. Так как коэффициент диффузии $D$ равен нулю и уравнение (8.2) принимает вид
\[
\frac{\partial P}{\partial t}+
abla \cdot j=0, \quad j(x ; t)=-P
abla V .
\]

Теперь легко проверить [3], что решением уравнения (8.6) является
\[
P(x, t)=\delta\left(x—x_{c}(t)\right),
\]

где $x_{c}(t)$ — некоторая критическая точка потенциальной функции $V$ (т. е. $
abla V=0$, если $x=x_{r}$ ).

Вернемся к обсуждению качественных свойств уравнения Фоккера — Планка (8.2). Правая часть этого уравнения состоит из двух членов — «дрейфа»и «диффузии». Грубо говоря, дрейф $
abla(P
abla V)$ заставляет функцию распределения двигаться по направлению к ближайшему локальному минимуму. Роль диффузии $
abla^{2}(D P)$ двояка: она описывает (1) размах функции распределения, которая концентрируется вокруг локального минимума, и (2) вероятность, с ноторой флуктуация может перевести систему из метастабильного минимума в некоторый отдаленный глобальный минимум.

Наличие двух членов в правой части уравнения Фоккера Планка (8.2) свидетельствует о том, что оно является уравнением с двумя временными масштабами. Это значит, что явления, описываемые качественно уравнением (8.2), происходят в двух совершенно различных еременны́х шкалах: быстрой шкале времени $T_{1}$, связанной с обратной релаксацией к локальному минимуму после возмущения, и медленной шкале времени $T_{2}$, связанной с переходом из метастабильного минимума к глобальному минимуму.

Релаксация. Для простоты рассмотрим потенциальную функцию одной переменной $V(x)=\frac{1}{2} k x^{2}$. С этой функцией связана не зависящая от времени функция вероятностного распределения (8.4) $P(x)=N e^{-k x^{2} / 2 D}$. Если подвергнуть эту систему возмущению таким образом, чтобы начальная вероятность сконцентрировалась вокруг точки $x=a(a
eq 0)$, а не вокруг точки $x=0$, так что
\[
P(x, t=0)=N e^{-k(x-a)^{2} / 2 D},
\]

то функция вероятностного распределения будет эволюционировать во времени, подобно функции
\[
P(x, t)=N e^{-k[x-a(t)]^{2} / 2 D},
\]

где
\[
a(t)=a e^{-k t}=a e^{-t / T_{1}} .
\]

Время релаксации $T_{1}=1 / k=\left(d^{2} V / d x^{2}\right)^{-1}$.
В более общем случае, ко:да потенциал $V$ имеет в точке $x=x^{0}$ локальный минимум, а начальное распределение вероятности конщентрируется вокруг точки, расположенной вблизи,
\[
P(x, t=0)=N e^{-V\left(x^{0}+5 x\right) / D},
\]

функция распределения будет релаксировать к не зависящей от времени функции распределения вероятности $P(x ; t \rightarrow \infty)=$

$=N e^{-V\left(x_{n}\right) / D}$, имеющей масштабы времени, соразмерные с обратными величинами собственных значений $\lambda_{i}$ матрицы устойчивости $V_{i j}\left(x^{0}\right)$. Следовательно, масштаб быстрой шкалы времени $T_{1}$, связанный с релаксацией, задается формулой
\[
T_{1}=\operatorname{Max}_{i=!, \ldots} 1 / \lambda_{i}
\]

Время релаксации расходится по мере того, как приближается росток катастрофы (критическое замедление).

Время первого перехода. Уравнения диффузии типа Фоккера — Планка имеют очень глубокую связь с теорией вероятностей [4]. Эта связь подробно рассматривается в теории марковских процессов. Здесь же мы исследуем ее для того, чтобы определить некоторые качественные характеристики уравнения Фоккера — Планка, не решая его.

Рассмотрим случайный путь, описываемый уравнением Фоккера — Планка, которое содержхт потенциальную функцию $V(x)$ и член «хаотичности» $D$. Для конкретности ограничимся одномерным случаем, когда граница состоит из точек $x=a, x=b$, а случайный путь начинается в некоторой внутренней точке $x$ : $a<x<b$. Любой случайный путь, начинающийся в точке $x$, должен закончиться спустя некоторое время $\tau$, которое является случайной переменной. Среднее значение времени до «остановки» $T(x)=\langle\tau\rangle_{\text {ens }}$ случайного пути, начинающегося из $x$, может быть вычислено с помощью методов теории вероятностей. Если случайный путь начинается в точке $x$ с вероятностью $P_{0}(x)$, то среднее время до его «остановки» определяется формулой
\[
T_{f p}=\int_{a}^{b} P_{0}(x) T(x) d x .
\]

Время первого перехода $T_{f p}$ задает масштаб медленной шкалы времени $T_{2}$ уравнения Фоккера — Планка (8.2) для катастрофы сборки.

Хотя функция распределения вероятностей $P(x, t)$ уравнения (8.2) определяется уравнением в частных производных, функция $T(x)$ [функция времени первого перехода для дельтафункции распределения $P_{0}(y)=\delta(y-x)$ ] удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению вида
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial P}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{d V}{d x} P\right)+\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(D P), \\
-1=-\frac{d V}{d x} \frac{d T}{d x}+D \frac{d^{2} T}{d x^{2}} .
\end{array}
\]

Поскольку случайный путь, начинающийся на границе $x=a$ или $x=b$, должен окончиться немедленно, функция времени первого перехода $T(x)$ подчнняется следующим граничным условиям:
\[
T(a)=T(b)=0 .
\]

Эти два граничных условия определяют в дифференциальном уравнении второго порядка (8.13 FPT) две постоянных интегрирования.

Прежде чем решать задачу о времени первого перехода для катастрофы сборки, попытаемся пояснить ее важность на примере двух простых ситуаций
1. $V=0$. В этом случае уравнение для $T(x)$ сводится к уравнению
\[
D \frac{d^{2} T}{d x^{2}}=-1 .
\]

Решением уравнения (8.15), удовлетворяющим граничным условиям $(8.14)$, является
\[
T(x)=\frac{(b-x)(x-a)}{2 D} .
\]

Случайный путь имеет наибольшую длительность до «остановки», когда $x=(a+b) / 2$ («в середине»).
2. $V=\alpha x$. В этом случае уравнение для $T(x)$ на первый взгляд кажется более сложныи, чем оно есть на самом деле. В действительности же оно сводится к двум простым обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка:
\[
\begin{array}{c}
D \frac{d T^{\prime}}{d x}-a T^{\prime}=-1, \\
T^{\prime}=\frac{d T}{d x} .
\end{array}
\]

Уравнение (8.17a) имеет решение
\[
T^{\prime}(x)=C e^{\alpha x / D}+\frac{1}{\alpha} .
\]

Используя граничные условия, можно определить постоянную интегрирования $C$ :
\[
\begin{array}{l}
\int_{a}^{b} \frac{d T}{d x} d x \\
T(b)-T(a)=\int_{a}^{b}\left(C e^{\alpha x^{\prime} / D}+\frac{1}{\alpha}\right) d x^{\prime} \\
0=C \frac{e^{\alpha \dot{\partial} / D}-e^{\alpha a / D}}{\alpha / D}+\frac{b-a}{\alpha} .
\end{array}
\]

Полученное уравнение определяет константу $C$.

Аналогично может быть найдена функция $T(x)$ : заменяя верхний предел $b$ на внутреннюю точку $x$, получим
\[
\begin{array}{c}
T(x)-T(a)=C \frac{e^{\alpha x / D}-e^{\alpha a / D}}{\alpha / D}+\frac{x-a}{\alpha}, \\
T(x)=\frac{1}{a}\left\{(x-a)-(b-a) \frac{e^{\alpha x / D}-e^{\alpha a / D}}{e^{\alpha b / D}-e^{\alpha a / D}}\right\} .
\end{array}
\]

Анализ формулы (8.20) позволяет сделать вывод о существовании конкуренции между дрейфом ( $V^{\prime}=\alpha$ ) и диффузией $(D)$. Для того чтобы пояснить действие этой конкуренции, рассмотрим два частных предела:
1. $\alpha \rightarrow 0, D=$ Константа, $\zeta=\alpha / D \rightarrow 0$. В этом случае член, описывающий дрейф, менее важен, чем член, описывающий диффузию, и
\[
D T(x)=\zeta^{-1}\left\{(x-a)-(b-a) \frac{e^{\xi x}-e^{\zeta a}}{e^{\zeta b}-e^{\zeta a}}\right\} \xrightarrow{\zeta \rightarrow 0} \frac{1}{2}(b-x)(x-a) .
\]
2. $\alpha=$ Константа, $D \rightarrow 0, \zeta=\alpha / D \rightarrow \infty$. В этом случае член, описывающий диффузию, менее важен, чем член, описывающий дрейф, и
\[
\alpha T(x)=\left\{(x-a)-(b-a) \frac{e^{\zeta x}-e^{\zeta a}}{e^{\zeta b}-e^{\zeta a}}\right\} \xrightarrow{\zeta \rightarrow \infty}(x-a)-(b-a) e^{-\zeta(b-x)} .
\]

Вероятность того, что случайный путь кончится в точке $x=b$, весьма мала, если только не $\zeta(b-x) \sim 1$. Случайный путь закончится в точке $x=a$, и время $T(x)$ связано с расстоянием $(x-a)$ соотношением $\alpha T=x-a$. Поэтому резонно интерпретировать $\alpha$ как скорость дрейфа.

Вернемся к задаче решения уравнения (8.13FPT), позволяющего найти время первого перехода $T(x)$ для системы, задаваемой общей потенциальной функцией одной переменной $V(x)$. Для простоты предположим, что коэффициент диффузии $D$ постоянен. Уравнение (8.13 FPT) является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка от функции $T^{\prime}(x)=$ $=d T / d x$. Поэтому оно может быть решено введением интегрирующего множителя $\Lambda(x)$. В результате имеем
\[
\Lambda T^{\prime}(y)=-\int^{y} D^{-1} \Lambda(z) d z+C_{1},
\]

где $\Lambda(z)=e^{-V(z) / D}$. Постоянная $C_{1}$ может быть определена интегрированием подобно тому, как это было сделано в случае

(8.19). При этом получим
\[
\begin{aligned}
0 & =T(b)-T(a)=\int_{a}^{b} T^{\prime}(y) d y= \\
& =C_{1} \int_{a}^{b} \Lambda^{-1}(y) d y-\int_{a}^{b} d y \Lambda^{-1}(y) \int^{y} D^{-1} \Lambda(z) d z .
\end{aligned}
\]

Теперь остается лишь выполнить интегрирование. Для этого предположим, что $V(x)$ является функцией с двумя локальными минимумами (рис. 8.4). Так как нас в основном интересует про-

Рис. 8.4. Интеграл (8.24) может быть оценен разложением области интегрирования, как это показано на рисунке и последующим применением метода Лапласа.

цесс диффузии из метастабильного минимума в устойчивый минимум, то определим границы случайного пути $a, b$ согласно рис. 8.4.

Если $D$ мало, то первый члюн в правой части формулы (8.24) может быть легко оценен:
\[
\begin{aligned}
C_{1} \int_{a}^{b} e^{V(y) / D} d y & =C_{1} \int_{0}^{b-a} e^{\left[V(a)+(y+a) V^{\prime}(a)+\ldots\right] / D} d(y+a) \simeq \\
& \simeq C_{1} e^{V(a) / D} \int_{0}^{b-a} e^{(y+a) V^{\prime}(a) / D} d(y+a) .
\end{aligned}
\]

Верхний же предел может быть распространен до $\infty$ без значительного изменения значения этого интеграла.

Аналогично может быть оценен второй интеграл. Максимальный вклад в интеграл
\[
I=\int_{a}^{b} d y \int^{y} d z D^{-1} e^{V(y)-V(z) / D}
\]

получается при значениях $y, z, y>x$, которые максимизируют $V(y)-V(z)$. Этот максимум достигается при $y=X_{m}, z=x_{m}$. Таким образом, получаем
\[
\begin{aligned}
I= & D^{-1} e^{V\left(X_{M}\right)-V\left(x_{m}\right) / D} \iint e^{(1 / 2)\left(y-X_{M}\right)^{2} V^{\prime \prime}\left(X_{M}\right)-(1 / 2)\left(z-x_{m}\right)^{2} V^{\prime \prime}\left(x_{m}\right) / D} d y d z \times \\
& \times D \rightarrow 0 e^{V\left(X_{M}\right)-V\left(x_{m}\right) / D} \frac{2 \pi}{\left|V^{\prime \prime}\left(X_{M}\right) V^{\prime \prime}\left(x_{m}\right)\right|^{1 / 2}} .
\end{aligned}
\]

Время первого перехода $T(x)$ определяетсяя интегрированием
\[
T(x)-T(a)=\int_{a}^{x} T^{\prime}(y) d y=C_{1} \int_{a}^{x} e^{V(y) / D} d y-\int_{a}^{x} d y \int^{y} d z D^{-1} e^{V(y)-V(z) / D} .
\]

Первый член формулы (8.28) может быть оценен так же, как и в случае формулы (8.25). В действительности результаты совершенно не различаются. Используя элементарную формулу математического анализа $\int_{a}^{x}+\int_{x}^{b}=\int_{a}^{b}$, найдем
\[
T(x)=\int_{x}^{b} d y \int^{y} d z D^{-1} e^{V(y)-V(z) / D} .
\]

Этот интеграл также может быть оценен с помощью методов, использованных при выводе (8.27). В результате нолучаем
\[
\begin{aligned}
T(x) & =\frac{2 \pi}{\left|V^{\prime \prime}\left(X_{M}\right) V^{\prime \prime}\left(x_{m}\right)\right|^{1 / 2}} e^{V\left(X_{M}\right)-V\left(x_{m}\right) / D}, \quad x<x_{m}, \\
& =\frac{(2 \pi D)^{1 / 2}}{V^{\prime}(x)\left|V^{\prime \prime}\left(X_{M}\right)\right|^{1 / 2}} e^{V\left(X_{M}\right)-V(x) / D}, \quad x_{m}<x<X_{M} .
\end{aligned}
\]

Ясно, что эти оценки не имеют места в окрестности ростка катастрофы. Аналогичные результаты могут быть получены и в $n$-мерном случае.

Для сравнения масштаб времени $T_{1}$ (релаксация в локальный минимум) и масштаб времени $T_{2}$ (диффузия из метастабильного минимума в глобальный минимум) даются формулами
\[
T_{1}=1 / \lambda_{1}, \quad T_{2}=\frac{2 \pi}{\left|\lambda_{1} \lambda_{2}\right|^{1 / 2}} e^{\Delta V / D},
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ — кривизна ( $\left.d^{2} V / d x^{2}\right)$ функции в локальном минимуме и локальном максимуме соответственно, а $\Delta V=V\left(X_{M}\right)-V\left(x_{m}\right)$. В общем случае, когда $\Delta V / D \geqslant 1, T_{2} \gg T_{1}$. Эволюция вероятностного распределения, управляемая уравнением Фоккера Планка, схематически изображена на рис. 8.5. Очевидно, что

Рис. 8.5. Вероятностное распределение, концентрирующееся в окрестности одного из локальных минимумов, будет в шкале времени $T_{1}$ «асимптотически» сходиться к распределению Гаусса с соответствующей кривизной, концентрирующемуся в этом локальном минимуме. В шкале времени $T_{2} \gg T_{1}$ вероятностное распределение будет асимптотически сходнться к ее не зависящей от времени форме $P(x) \simeq e^{-V(x) / D}$.

можно отождествить высоту барьера $\Delta V$ с $\Delta E$ (рис. 8.2), а $D$ с $\mathcal{N}$; в этом смысле шум $D$ является обобщенной температурой.

Теперь обсудим условия применимости соглашений для систем, описываемых уравнениями диффузии [5]. Скорость, с которой движутся критические точки $x_{c}(t)$ потенциальной функции $V(x ; c(t))$, сравнима с производной $d c / d t$, поэтому условия применимости соглашения могут быть выражены через производные по времени от управляющих параметров. В результате имеем.
Принцип максимального промедления: $T_{1}^{-1} \gg \frac{d c}{d t} \gg T_{2}^{-1}$.
Принцип Максвелла: $T_{2}^{-1} \gg \frac{d c}{d t}$.

Ни один из принципов не может быть применен, если $d c / d t \gg T_{1}^{-1}$ или если $d c / d t$ сравнимо по величине с $T_{1}^{-1}$ или с $T_{2}^{-1}$.
$\diamond \diamond \diamond$ Если $D \rightarrow 0$, то $T_{2} \rightarrow \infty$ и $T_{2}^{-1} \rightarrow 0$. Если управляющие параметры изменились так, что $d c / d t>T_{2}^{-1}$, то принцип Максвелла совсем неприменим. В случае отсутствия диффузии (нет флуктуаций) может быть применим лишь принцип максимального промедления. Следовательно, выбираемая критическая точка должна быть одной из точек, в которых система может находиться в начальный момент (в момент $t=0$ ). При изменении значений управляющих параметров система будет оставаться в этой точке до тех пор, пока эта критическая точка не исчезнет совсем. Новая критическая точка, в которой система будет эволюционировать, может быть определена из решения уравнения движения, которым в этом случае является (1.6) или (8.1).