Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Локально поведение потенциальной функции описывается рядом теорем функционального анализа:
– если $
abla V
eq 0$, то для приведения потенциальной функции к канонической форме (2.1) может быть использована теорема о неявной функции;
– если $
abla V=0$, то теорема о неявной функции неприменима. Однако если $\operatorname{det} V_{i j}
eq 0$, то для приведения $V$ к каноническому виду может быть использована лемма Морса;
– если $
abla V=0$ и det $V_{i j}=0$, то лемма Морса уже неприемлема. Однако если $V(x ; c), x \in \mathbb{R}^{n}, c \in \mathbb{R}^{k}$ – типичное $k$-параметрическое семейство потенциальных функций, то для приведения $V$ к канонической форме (2.3) может быть использована теорема Тома. При значениях $k \leqslant 5$ теорема Тома может быть также использована для приведения $V$ к более сильной канонической форме (2.4).
Термины «критическая точка», «точка равновесия», «стационарная точка» имеют различный смысл в математике, физике и других науках (табл. 2.3), поэтому следует иметь в виду, что здесь и далее используется чисто математическая терминология, за исключением случаев, когда явно оговорено противное.
Таблица 2.3. Принятые обозначения
Литература
1. Galilei G., Dialogues Concerning Two New World Sciences (transl. H. Crew and A. De Salvio, Evanston. Northwestern Univ. Press, 1950.
2. Morse M., The Critical Points of a Function of $n$ Variables, Trans. Am. Math. Soc., 33, 72-91 (1931).
3. Gromoll D., Meyer W., On Differertiable Functions with Isolated Critical Points, Topology, 8, 361-370 (1969).
4. Thom R., Stabilité Structurelle et Morphogénèse, New York, Benjamin. 1972; transl. Structural Stability and Morphogenesis, Reading, Benjamin, 1975.
