Из начала координат пространства $\mathbb{R}^{k}$ управляю:цих параметров ростка катастрофы $A_{k+1}=x^{k+2}$ исходят две линии, параметризующие ростки катастроф $A_{k}=\tilde{x}^{k+1}$. Наиболее легкий путь определения уравнений этих линий в пространстве управляющих параметров – это анализ размерностей и, в частности, использование пересчетных соображений. Вначале продемонстрируем эффективность применения подобных соображений в хорошо знакомом случае: линий складки, исходящие из начала координат $(0,0) \in \mathbb{R}^{2}$ пространства управляющих параметров сборки.

В окрестности ростка катастрофы сборки общая функция имеет вид $F(x ; a, b)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x$.

Рис. 7.1. Близкое соседство катастроф типа $A_{+3}$ и $A_{-3}$ позволяет сделать вывод о том, что они определенным образом организуются катастрофой, которая имеет большую размерность пространства управляющих параметров и которая должна быть по крайней мере $A_{+4}$.

Если предположить, что в точке $x=-\lambda$ уравнение $d F / d x=$ $=0$ имеет два корня (в данном случае третий корень нас не интересует), то
\[
\begin{array}{c}
A_{3} \rightarrow A_{2}, \\
\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x \rightarrow \frac{1}{4}(x+\lambda)^{3}(x+\alpha)+\text { Константа } \\
\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{4}(3 \lambda+\alpha) x^{3}+\frac{1}{4}\left(3 \lambda^{2}+3 \lambda \alpha\right) x^{2}+ \\
+\frac{1}{4}\left(\lambda^{3}+3 \lambda^{2} \alpha\right) x+\text { Константа. }
\end{array}
\]

Следовательно, в окрестности точки $x=-\lambda$ функция ведет себя подобно $(\alpha-\lambda) \tilde{x}^{3}, \tilde{x}=x+\lambda$. Сравнивая коэффициенты при $x^{j}$, получаем следующее параметрическое представление управляющих параметров вдоль линии складки:
\[
\begin{array}{l}
a=-3 \lambda^{2} \\
b=-2 \lambda^{3}
\end{array} \Rightarrow\left(\frac{a}{3}\right)^{3}+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=0 .
\]

Общая процедура нахождения 1-мерных кривых $A_{k+1} \rightarrow A_{k}$ совершенно аналогична, т. е.
\[
\begin{array}{c}
A_{k+1} \rightarrow A_{k}, \\
\frac{1}{k+2} x^{k+2}+\sum_{j=1}^{k} \frac{1}{j} a_{l} x^{j}=\frac{1}{k+2}(x+\lambda)^{k+1}(x+\alpha)+\text { Константа. (7.3) }
\end{array}
\]

Сравнение коэффициентов при различных степенях $x$ дает
\[
\frac{k+2}{j} a_{i}=\left(\begin{array}{c}
k+1 \\
j-1
\end{array}\right) \lambda^{k+1-(j-1)}+\left(\begin{array}{c}
k+1 \\
j
\end{array}\right) \lambda^{k+1-j_{\alpha}} .
\]

Условие $a_{k+1}=0$ определяет взаимосвязь между $k$-кратным вырожденным корнем в точке $x=-\lambda$ и изолированным корнем в $x=-((k+1) \alpha+\lambda) /(k+2)=k \lambda$ :
\[
a_{k+1}=0=(k+1) \lambda+a \Rightarrow \alpha=-(k+1) \lambda .
\]

Линии катастроф $A_{k}$, исходящие из ростка $x^{k+2}$ катастрофы $A_{k+1}$, имеют следующее параметрическое представление:
\[
a_{j}=(-)\left(\begin{array}{c}
k+1 \\
j-1
\end{array}\right)(k+1-j) \lambda^{k-1+2}, \quad j=1,2, \ldots, k .
\]

Если исключить параметр $\lambda$, то получим уравнения, содержащие лишь управляющие параметры, т. е.
\[
\lambda=\left[\frac{-a_{j}}{\left(\begin{array}{c}
k+1 \\
j-1
\end{array}\right)(k+1-j)}\right]^{1 /(k-j+2)} .
\]

Выражение (7.7) сводится к формуле (7.2) при $k=2$.
Линии катастроф $A_{k-1}$ исходят из каждого ростка $A_{k}$ точно так же, как и линии $A_{k}$ исходят из каждого ростка $A_{k+1}$. Следовательно, двумерные поверхности $A_{k-1}$ исходят из каждого ростка $A_{k+1}$. Рассуждая подобным образом, можно построить всю сепаратрису ростка $A_{k+1}$ в пространстве $\mathbb{R}^{k}$.