Анализ следствий нарушения принципа симметрии, принятого в модели Гинзбурга — Ландау фазовых переходов первого рода (разд. 7), может быть выполнен теми же методами, что и анализ нарушений этого принципа в канонической модели фазовых переходов второго рода (разд. 2). В этом случае множество возможных ситуаций гораздо богаче, поскольку пространство управляющих параметров для катастрофы $A_{+5}$ имеет более высокую размерность, чем для катастрофы $A_{+3}$. Первым шагом подобного анализа является введение линейного члена $d x$. Тогда семейство потенциалов принимает вид
\[
\begin{aligned}
V(x ; a, c, d)=V(x ; a, c) & +d x= \\
& =\frac{1}{6} x^{6}+\frac{1}{4} a x^{4}+\frac{1}{2} c x^{2}+d x .
\end{aligned}
\]

Потенциал (10.58), называемый «трикритическим», представляет особый интерес для тех областей термодинамики, в которых обычно принимается принцип Максвелла. В связи с этим В предыдущем разделе это уже было сделано в плоскости $(a, c)(d=0)$ пространства $\mathbb{R}^{3}$ управляющих параметров. В указанной плоскости имеются два равновеликих минимума под положительной полупрямой ( $a \geqslant 0, c=0$ ) и, кроме того, под кривой $\left(a \leqslant 0, c=(3 / 16) a^{2}\right)$. Эти две линии сами являются границами максвелловского множества в $\mathbb{R}^{3}$ : полупрямая ( $a>0$, $c=0$ ) параметризует фазовые переходы второго рода, а кривая $\left(a<0, c=3 / 16 a^{2}\right)$ — первого. На этой кривой потенциал имеет три равновеликих минимума (отсюда название «кривая тройных точек»). Граница этих кривых (т. е. $(a ; c, d)=(0 ; 0,0))$ называется «трикритической точкой» и является ростком катастрофы $A_{+5}$. Максвелловское множество потенциала $V(x ; a, c, d)$ в $\mathbb{R}^{3}$ проще всего определить, выяснив, как изменяется вид потенциала при движении в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ по прямым линиям с постоянными $(a, c)$ и возрастающим $d$. Вид потенциала в зависимости от $d$ для четырех точек в плоскости $(a, c)$ показан на рис. 10.17. Из этого рисунка следует, что фазовый переход первого рода происходит вдоль прямых 1 и 2 , когда глобальный минимум перескакивает с правого локального минимума на левый в момент, когда $d$, возрастая, проходит через нуль. Два фазовых перехода первого рода могут возникнуть на кривой 3 , когда глобальный минимум перескакивает сначала с правого локального минимума на средний при $d=$

Рис. 10.17. Зависимость формы трикритического потенциала от возрастающего параметра $d$ при фиксированных ( $a, c$ ).
$=-d_{0}$, и затем с центрального на левый при $d=+d_{0}$. На прямой 4 , лежащей достаточно высоко над кривой тройных точек, при изменении $d$ не может произойти никаких фазовых переходов.

Следствием подобных рассуждений является тот факт, что часть плоскости $(a, c) \quad(d=0)$, лежащая ниже линий катастроф $A_{ \pm 3}$, параметризует фазовые переходы первого рода, отвечающие скачкам между левыми и правыми минимумами в точках $x^{(l)}$ и $x^{(p)}$. Над кривой тройных точек симметрично относительно плоскости ( $a, c$ ) расположены два «крыла» фазовых переходов первого рода, включающие боковой минимум и «средний минимум» в $x^{(m)}$. Эти крылья должны иметь границу. Кри вые, ограничивающие эти крылья, должны параметризовать катастрофу $A_{+3}$ (см. рис. 10.18). Поскольку граничная кривая является частью бифуркационного множества, легко получить ее уравнение в параметрической форме, если воспользоваться

Рис. 10.18 .
$a$ — максвелловское множество трикритического потенциала, состоящее из (части) плоскости симметрии $d=0$ и двух крыльев. Границы этих крыльев параметризуют катастрофу сборки $A_{+3} ; 0$ — имеется нуль-мерная компонента $(a, c, d)=(0,0,0)$-трикритическая точка, параметризующая росток кєтастрофы $A_{+5}$; $I$-имеются три одномерные компоненты, параметризующие фазовыє переходы второго рода. Это прямая ( $a>0$, $c=d=0$ ) и две кривые, параметрическое опнсание которых дается выражениями (10.59): $I^{\prime}$ — имеется одна одномерная кривая, параметризующая фазовые переходы первого рода, а именно $\left(a<0, c=\frac{3}{16} a^{2}, d=0\right) ; 2-$ имеются три двумерные сепаратрисы, параметризующие функции, для которых два наиболее глубоких из трех локальных минимумов имеют вырожденные критические значения. Эти поверхности пересекаются по кривой тройных точек $I^{\prime}$. Границами этих трех компонент являются опнсанные выше кривые $\boldsymbol{I}$ и $\boldsymbol{I}^{\prime}$. Эти три сепаратрисы можно продолжить через кривую $I^{\prime}$, и тогда они параметризуют функции с вырожденными метастабильными критическими значениями; 6 — нзменение формы потенциалов для точек на одном из крыльев при приближении к кривой $\boldsymbol{t}$.

тем же подходом, что и в случае вывода уравнений (5.9) (5.12). В результате имеем
\[
\begin{array}{c}
a=-\frac{10}{3} \lambda^{2}, \quad c=5 \lambda^{4}, \quad d=-\frac{8}{3} \lambda^{5} . \\
\lambda \in R^{1}, \lambda
eq 0,
\end{array}
\]

где ростком сборки является $(x-\lambda)^{4}$.
Интегрируя уравнения Клаузиуса — Клапейрона, можно построить двумерные крылья фазовых переходов первого рода.

Проще, однако, сначала понизить размерность задачи на единицу. Для этого ограничимся рассмотрением плоскости $a=-1$. Пересечение двумерных крыльев с этой плоскостью дает одномерную кривую, уравнение которой определить сравнительно просто. Далее, используя соотношения (10.50), можно восстановить все крылья.

Топология максвелловского множества $\mathscr{S}_{M}$ в $\mathbb{R}^{3}$ для трикритического потенциала $V(x ; a, c, d)$ показана на рис. 10.18. Cепаратрису $\mathscr{P}_{B}$ в $\mathbb{R}^{3}$ можно построить по трем сечениям $a=-1$, $a=0, a=1$, показанным на рис. 10.19 , если использовать соотношения масштабирования, вытекающие из параметрического представления
\[
\begin{array}{l}
c(x, a)=-5 x^{4}-3 a x^{2}, \\
d(x, a)=+4 x^{5}+2 a x^{3} .
\end{array}
\]