Рассмотрим семейство типичных потенциальных функций $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n} ; c_{1}, \ldots, c_{k}\right)$. Если точка $c^{0}$ в пространстве управляющих параметров $\mathbb{R}^{k}$ выбраға случайно или является его типичной точкой, то потенциальная функция, которую параметризует эта точка, будет обязательно морсовской функцией, имеющей только изолированные критические точки. Так как $V\left(x ; c^{0}\right)$ – морсовская функция, то для нее в любой точке $x^{0} \in \mathbb{R}^{n}$ почти для всех точек $c^{0} \in \mathbb{R}^{k}$ справедлива либо теорема о неявной функции, либо лемма Морса. Тогда возникает вопрос: как быть с теоремой Тома, которая верна для совсем маловероятных точек (меры нуль, но в общем случае не изолированных) $0^{0} \Subset \mathbb{R}^{k}$, в которнх потенциальная функция $V$ не является морсовской? Оказывается, что в основном именно неморсовские функции $V\left(x ; c^{0}\right)$ ответственны за качественную природу семейства потенциальных функций $V(x ; c)$.

Чтобы показать, что это та́к, выберем семейство типичных потенциальных функций $V(x ; c)$, и пусть $c^{0} \in \mathbb{R}^{k}$ – точка, в которой $V\left(x ; c^{0}\right)$ является морсовской функцией. Тогда потенциальная функция $V\left(x ; c^{0}\right)$ имеет только изолированные критические точки. Исследуем, как язменяется положение этих критических точек при изменении управляющих параметров $c^{0} \in R^{k}$. Поскольку изолированные критические точки задают аттракторы и бассейны притяжения потенциала $V$, то по существу достаточно изучить влияние значения $c^{0}$ на «поверхностную топографию» потенциальной функции $V\left(x ; c^{0}\right)$. Предположим, что при $c=c^{0}$ существует нексторая критическая точка $x=x^{0}$. Если $c^{0}$ изменяется на $c^{0}+\delta c^{0}$, то положение критической точки также изменится и станет $x^{0}+\delta x^{0}$. Определим вариации $\delta x$ через значения $\delta c_{\alpha}^{0}$. Для этого используем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки ( $\left.x^{0} ; c^{0}\right)$ из $\mathbb{R}^{n} \oplus \mathbb{R}^{k}$ :
\[
\begin{array}{l}
V(x ; c)=V\left(x^{0} ; c^{0}\right)+\left(x-x^{0}\right)_{i} V_{i}+\left(c-c^{0}\right)_{\alpha} V_{\alpha}, \\
\frac{1}{2 !}\left(x-x^{0}\right)_{i}\left(x-x^{0}\right)_{j} V_{i j}+\left(x-x^{0}\right)_{i}\left(c-c^{0}\right)_{\alpha} V_{i \alpha}+ \\
+\frac{1}{2 !}\left(c-c^{0}\right)_{\alpha}\left(c-c^{0}\right)_{\beta} V_{\alpha \beta}+O(3) .
\end{array}
\]

Все производные в разложении берутся в точке $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$. Так как $x^{0}$ – критическая точка, $V_{i}=0$.

Теперь положим $c=c^{0}+\delta c^{0}$ и найдем точку равновесия $V\left(x ; c^{0}+\delta c^{0}\right)$, расположенную вблизи точки $x^{0}$. Для этого приравняем первые производные $\partial V / \partial x_{i}$ нулю:
\[
\frac{\partial V}{\partial x_{i}}=V_{i j} \delta x_{j}^{0}+V_{i \alpha} \delta c_{\alpha}^{0}+O(2)=0 .
\]

Опуская члены второй степени, выразим, если, конечно, матрица $V_{i j}$ не вырождена в точке $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$, вариации $\delta x_{j}^{0}$ через $\delta c_{a}^{0}$ следующим образом:
\[
\delta x_{j}^{0}=-\left(V^{-1}\right)_{j i} V_{i \alpha} \delta c_{\alpha}^{0}
\]

или
\[
\frac{\partial x_{j}^{0}}{\partial c_{\alpha}^{0}}=-\left(V^{-1}\right)_{j i} V_{i \alpha} .
\]

Таким образом, при изменении управляющих параметров меняется как положение критических точек, так и значения функций в этих точках. Изменение критических значений
соответствует изменению $\delta c$ управляющих параметров и определяется путем подстановки (5.2) в разложение (5.1), т. е.
\[
\begin{array}{c}
V\left(x^{0}+\delta x ; c^{0}+\delta c\right)=V\left(x^{0} ; c^{0}\right)+\delta^{(1)} V+\delta^{(2)} V+\ldots, \\
\delta^{(1)} V=V_{\alpha} \delta c^{\alpha}, \\
\delta^{(2)} V=\frac{1}{2} \delta c^{\alpha}\left[V_{\alpha \beta}-V_{\alpha i}\left(V^{-1}\right)^{i j} V_{j \beta}\right] \delta c^{\beta}=\frac{1}{2} g_{\alpha \beta} \delta c^{\alpha} \delta c^{\beta} .
\end{array}
\]

Уравнения (5.3) отражают «линейный отклик» положения изолированных критических точек на малые изменения управляющих параметров, а уравнения $(5.3 ; 1$ ) – «линейный отклик» критических значений на малые изменения управляющих параметров. «Қвадратичный отклик» удобно представлять в терминах «метрического тензора» $g_{\alpha \beta}$, определяемого формулой $(5.3 ; 2)$.

Анализ соотношений (5.2) позволяет сделать следующий важный вывод: малые изменения управляющих параметров приводят лишь к незначительным изменениям положения изолированных критических точек. Кроме того, поскольку собственные значения и собственные векторы $V_{i j}$ в изодированных критических точках являются гладкими функциями управляющего параметра $c$, малые изменения управляющих параметров могут вызывать лишь малые изменення собственных значений и собственных векторов. Из рассмотрения, проведенного в разд. 5.1, следует, что аттракторы и бассейны притяжения $V\left(x ; c^{0}+\delta c^{0}\right)$ незначительно отличаются от аттракторов и бассейнов притяжения $V\left(x ; c^{0}\right)$. Поэтому эти две функции качественно (топографически) подобны.

Однако если $V\left(x ; c^{0}\right)$ не является морсовской функцией, то рассматриваемая потенциальная функция должна иметь по крайней мере одну вырожденную критическую точку $x^{0}$. Это в свою очередь означает, что соотношения (5.2) в данной критической точке не выполняются, так как матрица $V_{i j}$ в этой точке не обратима. При $c \rightarrow c^{0}$ две (или более) изолированные точки стремятся слиться в одну точку $x=x^{0}$. Қак только это произойдет, их главные оси становятся взаимно параллельными, а собственные значения, связанные с одним (или более) главным направлением, стремятся к нулю.

Следовательно, наличие вырожденных критических точек соответствует качественному изменению в топографии семейства потенциальных функций, что вполне естественно, поскольку топография определяется распределением и типом изолированных критических точек (когда одна или более критических точек становятся вырожденными, топография должна измениться).

Если функцию, поведение которой качественно (число и тип критических точек, бассейны притяжения и т. д.) не изменяется при достаточно малых возмущениях, считать структурно устойчивой, то из соотношений (5.2) следует, что морсовские функции семейства потенциальных функций – структурно устойчивы. Множество точек $c \in \mathbb{R}^{k}$, в которых $V(x ; c)$ не является морсовской функцией, образует сепаратрису, разделяющую $\mathbb{R}^{k}$ на открытые области, параметризующие структурно устойчивые функции качественно различных типов. Найдем сепаратрисы, параметризующие структурно неустойчивые функции для всех катастроф, перечисленных в табл. 2.2, размерность пространства управляющих параметров которых не превышает трех ( $k \leqslant 3$ ).