Переменные состояния $\psi_{i}$, от которых зависит потенциальная функция $V\left(\psi_{j} ; c_{\alpha}\right)$ [выражение (1.7)], по существу являются обобщенными координатами рассматриваемой системы. В соответствии с общепринятыми математическими обозначениями заменим $\psi_{i}$ на $x_{i}$ [следует иметь в виду, что $x_{i}$ не имеют ничего общего с пространственными координатами в выражении (1.1)]. В случае точечной покоящейся частицы в поле, описываемом потенциальной функцией $V(x ; c), x \in \mathbb{R}^{n}, c \in \mathbb{R}^{k}$, состояние последней полностью описывается ее расположением в пространстве. В этом частном случае решения $x_{j}\left(c_{\alpha}\right)$ системы уравнений (1.7) являются координатами частицы, находяшейся в состоянии равновесия. Однако в более общем случае переменные $x_{j}$ могут быть аналогами коэффициентов Фурье или параметра порядка.

Данная глава посвящена исследованию локальных свойств потенциальных функций $V(x)$ и семейств таких функций $V(x ; c)$; при этом первые можно рассматривать как отображения $R^{n} \rightarrow R^{1}$, а вторые – как отображения $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$. Локальные свойства потенциальных функций и семейств потенциальных функций определяются рядом теорем функционального анализа (табл. 2.1), для понимания которых требуются определенные сведения из топологии.
Таблица 2.1. Результаты функционального анализа