Для описания свойств конструкции, модели или реальной физической системы необходимо прежде всего ввести координаты состояния системы $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, или так называемые параметры порядка. Полезно также ввести дополнительное множество параметров $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}$, которые будут представлять нагрузку (внешние силы) на систему, дефекты, возникшие при изготовлении элементов конструкции, и дефекты, появившиеся в процессе сборки системы.

Общая энергия $\xi$ подобной системы, как правило, есть сумма кинетической и потенциальной энергии
\[
\xi=K E+P E .
\]

Кинетическую энергию часто можно представить в виде положительно определенной квадратичной формы от обобщенных скоростей $\dot{x}_{i}$, а потенциальную энергию – как функцию переменных состояния $x \in \mathbb{R}^{n}$ и управляющих параметров $c \in \mathbb{R}^{k}$ :
\[
K E=\frac{1}{2} M_{i j} \dot{x}_{i} \dot{x}_{j} \geqslant 0, P E=V(x ; c) .
\]

Рассмотрим сначала статические консервативные системы, т. е. системы, для которых $K E=0$ и $\xi=V$.

Если предположить, что равновесные конфигурации конструкции (в пространстве параметров порядка) определяются минимумом $\xi$, то в этом случае условия равновесия, устойчивости и потери устойчивости могут быть записаны соответственно как
\[

abla V=0 ; \quad V_{i j} \simeq M_{k}^{n}, \quad k=0 ; \quad \operatorname{det} V_{i j}=0 .
\]

Такая форма записи наглядно показывает, почему теория катастроф может быть полезным инструментом при описании равновесия, устойчивости и характера разрушения физических конструкций.

Конструкция обычно проектируется так, чтобы были обеспечены определенные рабочие параметры. Однако подобное возможно только при условии использования совершенных материалов и при участии искусных исполнителей. Хотя мы живем в лучшем из возможных миров, тем не менее совершенные материалы и искусные исполнители – недосягаемый предел. Другими словами, созданная систеиа не будет полностью соответствовать проектируемым параметрам.

Естественно, что заранее ничего нельзя сказать о степени нарушения такого соответствия. Однако можно предсказать чувствительность конструкции к дефектам, которые могут быть в ней обнаружены.

Поступим следующим образом. Потенциальную функцию $V(x ; c)$, описывающую состоянуе идеальной системы, разложим в ряд вблизи проектируемого состояния равновесия, устойчивого при малых внешних нагрузках:
$V(x ; F)=\frac{1}{2} V_{i j}(F) x_{i} x_{j}+$ Члены более высокой степени
(постоянный член не имеет существенного значения и может быть опущен). Линейный член отсутствует в силу выполнения в точке $x=0$ условия $\partial V / \partial x_{i}=0$, и, следовательно, ряд Тейлора будет начинаться с квадратичных членов. Коэффициенты ряда Тейлора являются функциями управляющих параметров $c \in \mathbb{R}^{k}$. При отсутствии дефектов управляющими параметрами являются только внешние силы $F$, действующие на конструкцию. При возрастании нагрузки от нуля до тех пор, пока матрица $V_{i j}$ остается положительно определенной, проектируемое устойчивое состояние равновесия остается локально устойчивым. Условие
\[
\operatorname{det} V_{i !}(F)=0
\]

определяет критическую нагрузку $F=F_{p}$, которую идеальная (совершенная) система уже не выдержит.

Когда росток потенциала $V(x ; F)$ в точке $F=F_{p}$ известен, для определения вида функции $V(x ; F)$, описывающей самый общий вид деформации идеальной системы, могут быть применены методы, описанные в гл. 4. Эта функция может быть использована для моделирования всех несовершенств, возникающих в системе из-за отсутствия искусных исполнителей и использования нестандартных строительных материалов.

Аналогично может быть изучена потенциальная функция $V(x ; F, \varepsilon)$, описывающая несовершенную систему. Критическая нагрузка $F_{c}$, которую не выдерживает несовершенная система, определяется из соотношения
\[
\operatorname{det} V_{i j}(F, \varepsilon)=0 .
\]

Естественно ожидать, что несовершенная система имеет меньшую несущую способность ( $F_{c} \leqslant F_{p}$ ), чем совершенная. (Иначе зачем нанимать архитектора?) Теория катастроф позволяет представить снижение несущей способности конструкции в количественном виде. Для моделей, которые рассматриваются ниже, имеем
\[
F_{c}=F_{p}-k \mid \varepsilon P^{p},
\]

где $k$ – некоторая положительная постоянная, $p$ – положительная рациональная дробь, а $\varepsilon$ – некоторый параметр несовершенства. Чувствительность к несовершенству при разных значениях показателя $p$ приведена на рис. 11.1: чем меньше $p$, тем выше чувствительность к несовершенству.

Причиной снижения несущей способности конструкции могут быть соответствующие динамические нагрузки. Так, например, если конструкция представляет собой жилой дом или транспортное сооружение, то снижение ее несущей способности обусловливается соответственно людьми и транспортом. При этом средняя кинетическая энергия, вносимая транспортным шумом, может рассматриваться как (динамический) параметр несовершенства. Чувствительность к несовершенству конструкции, находящейся под нагрузкой, можно определить следующим образом. Критические точки $x^{(0)}, x^{(1)}, \ldots$ потенциальной функции $V$ при любой нагрузке $F$ определяются из уравнения $
abla V=0$. В каждой критической точке находятся критические значения $V^{(i)}=V\left(x^{(i)} ; F, \varepsilon\right)$. Если $x^{(0)}$ – локально устойчивое состояние равновесия, а $x^{(1)}$ – наименьшее ближайшее морсовское 1-седло,

Рис. 11.1. При малом $p$ чувствительность критической нагрузки $F_{c}$ сущес1венно зависит от параметра несовершенства $\varepsilon$. здесь $F_{c}=F_{p}-k|\varepsilon|^{p}$.

то динамическая чувствительность к несовершенству определяется формулой
\[
\Delta E=V^{(1)}-V^{(0)} .
\]

Физически это означает, что система остается в локально устойчивом состоянии $x^{(0)}$ при нулевых или малых колебаниях $\left(V^{(0)}+\Delta E<V^{(1)}\right.$ )до тех пор, пока кинетическая энергия, вносимая в систему извне, не станет настолько большой, что система может «перескочить» через потенциальный барьер $V^{(1)}-V^{(0)}$ в некоторую другую равновесную конфигурацию. Значения динамической чувствительности к несовершенству, получаемые из формулы (11.7), имеют при $\varepsilon \rightarrow \Delta E$ вид (11.6). Для систем, изучаемых в данной главе, динамическая чувствительность к несовершенству более существенна, чем статическая чувствительность.
$\diamond \diamond \diamond$ Две конструкции с тождественными потенциальными функциями $V(x ; F, \varepsilon)$ могут различаться функциями кинетической энергии. В этом случае их поведение при статических нагрузках будет идентичным, однако их реакции на динамическую нагрузку могут быть различными.
$\diamond \diamond \diamond$ Даже если система является консервативной, действующие на нее возмущения определенного класса могут и не быть консервативными. Таковы нагрузки, вызываемые ветром и дождем, а также некоторые виды динамических нагрузок, как, например, нагрузка на мост, вызванная движущимся поездом. Это обстоятельство следует иметь в виду, так как иначе может создаться впечатление, что анализ устойчивости и чувствительности к несовершенству полностью сводится к алгоритмам элементарной теории катастроф.