Для описания фазовых переходов первого рода [1] используется модель, аналогичная модели, описанной в разд. 2 , с той лишь разницей, что в ней рассматривается потенциал шестой степени
\[
V(x ; a, b, c, d)=\frac{1}{6} x^{6}+\frac{1}{4} a x^{4}+\frac{1}{3} b x^{3}+\frac{1}{2} c x^{2}+d x .
\]

Масштабирование для этой функции таково:
\[
\begin{array}{c}
x \rightarrow x^{\prime}=\lambda x, \quad a \rightarrow a^{\prime}=\lambda^{2} a, \quad b \rightarrow b^{\prime}=\lambda^{3} b \Rightarrow V \rightarrow V^{\prime}=\lambda^{6} V, \\
c \rightarrow c^{\prime}=\lambda^{4} c, \quad d \rightarrow d^{\prime}=\lambda^{5} d .
\end{array}
\]

В модели Гинзбурга – Ландау присутствует принцип симметрии, ограничивающий форму потенциала $A_{+5}$ до класса четных функций от $x$. [Будем обозначать такой симметризованный потенциал через $V(x ; a, c)$.]

Потенциал Гинзбурга – Ландау имеет двумерное пространство управляющих параметров $\mathbb{R}^{2}$. Как обычно, целесообразно выяснить, каким образом бифуркационное $\mathscr{P}_{B}$ и максвелловское $\mathscr{P}_{M}$ множества разбивают это пространство на открытые подмножества. Критическое множество определяется уравнением
\[
\frac{d V}{d x}=x\left(x^{4}+a x^{2}+c\right)=0 .
\]

Точка $x=0$ является критической, как это всегда имеет место для симметрических потенциалов. Оставшееся биквадратное уравнение может быть разрешено относительно $x^{2}$ :
\[
x^{2}=-\frac{a}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-c} .
\]

Если $c<0$, то уравнение имеет два корня разных знаков и, следовательно, два действительных решения для $x$; если $0<c<(a / 2)^{2}$, то оба значения $x^{2}$ положительны при $a \leq 0$ и отрицательны при $a>0$;

если $c>(a / 2)^{2}$, то (10.52) вообще не имеет действительных корней.

В результате плоскость ( $a, c$ ) управляющих параметров разбивается на открытые подмножества с параметризующими

Рис. 10.14. Плоскость $(a, c$ ) управлякщих параметров для симметризованной катастрофы $A_{+5}$ разбивается на три открытые области, соответствующие функциям с одним, двумя и тремя минимумами; потенциалы соответствуют семи отдельным точкам этой плоскости.

функциями, имеющими 1, 3 или 5 критических точек (рис. 10.14). Критическое множество показано на рис. 10.15, где для простоты не показана плоскость $x=0$ в $\mathbb{R}^{1} \otimes \mathbb{R}^{2}$, которая на самом деле является частью критического множества.

Бифуркационное множество, как обычно, можно получить, приравняв нулю вторые производные. Геометрически оно представляет собой «тень», отбрасываемую критическим множеством на плоскость управляющих параметров $\mathbb{R}^{2}$ (рис. 10.15), и включает полупрямые $a>0, c=0\left(A_{+3}\right), a<0, c=0\left(A_{-3}\right)$, кривую $a<0, c=(a / 2)^{2}\left(2 A_{2}\right)$ и точку $a=0, c=0\left(A_{+5}\right)$. Качественный вид потенциалов для некоторых точек показан на рис. 10.14. При переходе от $a$ к $b$ имеются две симметричные катастрофы складки. В точке $c$ на максвелловском множестве три локальных минимума имеют равную «глубину», поскольку критиче-

Рис. 10.15. Поверхность критических точек $(
abla V(x ; a, c)=0)$ в $\mathbb{R}^{3}$. (Плоскость $x=0$ явно не показана.)

ские значения боковых минимумов приближаются к нулю сверху. На переходе от $d$ к $e$ имеется двойственная катастрофа $A_{-3}$, а на пути от $f$ к $g$ – стандартная катастрофа сборки.

Три минимума с равным нулю критическим значением находятся в точках $x=0, x^{2}=-3 a / 4$. Максвелловское множество определяется как
\[
\mathscr{S}_{M}: a<0, \quad c=\frac{3}{16} a^{2} .
\]

Покажем, что для такого симметризованного потенциала Гинзбурга-Ландау возможны фазовые переходы нулевого, первого и второго рода.
0 . Если придерживаться принципа максимального промедления, то при пересечении компонент $\mathscr{P}_{B}$ с $a<0$ в подходящем направлении имеют место фазовые переходы нулевого рода. Так, например, при пересечении кривой $c=(a / 2)^{2}$ вдоль пути 0a (рис. 10.16) потенциал меняется на величину
\[
\begin{aligned}
\Delta V=V(0 ; a, c) & -V\left( \pm \sqrt{\frac{-a}{2}} ; a, c\right)= \\
& =-\frac{1}{6}\left(-\frac{a}{2}\right)^{3} .
\end{aligned}
\]

При пересечении полупрямой $a<0, c=0$ вдоль пути 0b изменение потенциала есть
\[
\Delta V=V( \pm \sqrt{-a} ; a, 0)-V(0 ; a, 0)=-\frac{1}{12}(-a)^{3} .
\]
1. Если придерживаться принципа Максвелла, то фазовый переход первого рода имеет иесто при пересечении $\mathscr{P}_{M}$. На

Рис. 10.16. Симметризованный потеншиал Гинзбурга – Ландау претерневает фазовые переходы нулевого, первого и второго рода почти точно так же, как и катастрофа $A_{+3}$.

пути 1 (рис. 10.16) первая производная потенциала изменяется на величину
\[
\begin{aligned}
\Delta \frac{d V}{d s} & =\left.\frac{d}{d s} V\right|_{0 ; a, c}-\left.\frac{d}{d s} V\right|_{ \pm \sqrt{-3 a / 4} ; a, c}= \\
& =-\left\{\frac{1}{4}\left(-\frac{3 a}{4}\right)^{2} \frac{d a}{d s}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3 a}{4}\right) \frac{d c}{d s}\right\},
\end{aligned}
\]

где $d a / d s, d c / d s$ – направляющие косинусы пути в пространстве $\mathbb{R}^{2}$ при пересечении $\mathscr{I}_{M}$. Для такого фазового перехода
первого рода спинодалями являются описанные выше две кривые фазовых переходов нулевого рода.
2. Фазовый переход второго рода происходит при пересечении бифуркационного множества вдоль пути 2. Величина скачка второй производной зависит от направления движения и определяется как
\[
\Delta \frac{d^{2} V}{d s^{2}}=-\frac{1}{2 a}\left(\frac{d c}{d s}\right)^{2},
\]

где значение направляющего косинуса вычисляется на бифуркационном множестве.