Изложенные выше соображения верны и в случае ростков катастроф типа $D_{k}$ и могут быть использованы для нахождения уравнений линии катастрофы. В частности, росток
\[
D_{k+1}: x^{2} y+y^{k}
\]

представляется началом координат пространства $\mathbb{R}^{k}$. Он имеет $(k+1)$-кратную вырожденную критическую точку в начале координат $(0,0) \in \mathbb{R}^{2}$ пространства переменных состояния. Одномерные кривые исходят из начала координат пространства управляющих параметров и параметризуют ростки катастроф, имеющих $k$-кратные вырожденные критические точки где-то в $\mathbb{R}^{2}$. Эти вырожденные критические точки могут иметь либо одно «плохое» направление, и тогда соответствующим ростком является $A_{k}\left(\tilde{x}^{k+1}\right)$, либо два «плохих» направления, и тогда ростком яв ляется $D_{k}$.

Линии ростков $D_{k}$, исходящие из $D_{k+1}$, получают на основе пересчетных соображений (разд. 1). Предположим, что $k$-квадратная вырожденная критическая точка находится в $(x, y)=$ $=\left(-\lambda_{1},-\lambda_{2}\right)$. Тогда можно приравнять общее возмущение ростка $D_{k+1}$ (слева) ростку $D_{k}$ в окрестности точки $\left(-\lambda_{1},-\lambda_{2}\right.$ ) (справа):
\[
\begin{array}{l}
x^{2} y+y^{k}+\sum_{j=1}^{k-2} a_{j} y^{j}+a_{k-1} x+a_{k} x^{2}= \\
=\left(x+\lambda_{1}\right)^{2}\left(y+\lambda_{2}\right)+\left(y+\lambda_{2}\right)^{k-1}(y+\alpha)+\text { Константа. }
\end{array}
\]

Раскрывая скобки и сравнивая коэффициенты, находим, что
\[
\begin{aligned}
x: & a_{k-1}=2 \lambda_{1} \lambda_{2}, \\
x^{2}: & a_{k}=\lambda_{2}, \\
x y: & 0=2 \lambda_{1}, \\
y^{j}: & a_{j}=\left(\begin{array}{c}
k-1 \\
j-1
\end{array}\right) \lambda_{2}^{k-j}+\left(\begin{array}{c}
k-1 \\
j
\end{array}\right) \lambda_{2}^{k-j-1} \alpha .
\end{aligned}
\]

Из анализа (7.10) очевидно, что $\lambda_{1}=0$. Поэтому величина $\lambda_{2}=$ $=\lambda$ может быть использована в качестве пересчетного множителя. Поскольку в качестве универсального возмущающего члена использовался $x^{2}$, а не $y^{k-1}$, коэффициент при $y^{k-1}$ должен равняться нулю. Это в свою очередь означает, что должно выполняться соотношение
\[
0=(k-1) \lambda+\alpha,
\]

из которого легко определяется
\[
a_{j}=-\left(\begin{array}{c}
k \\
j
\end{array}\right)(k-1-j) \lambda^{k-1} .
\]

В результате получаем, что 1-параметрическая кривая в пространстве $\mathbb{R}^{k}$ управляющих параметров ростка $D_{k+1}$, координаты $\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)$ которой представляют возмущение
\[
a_{1} y+a_{2} y^{2}+\ldots+a_{k-2} y^{k-2}+a_{k-1} x+a_{k} x^{2}
\]

с $k$-кратной вырожденной критической точкой типа $D_{k}$, имеет следующее параметрическое представление:
\[
\begin{array}{c}
a_{j}=-\left(\begin{array}{c}
k \\
i
\end{array}\right)(k-1-j) \lambda^{k-j}, \quad j=1,2, \ldots, k-2, \\
a_{k-1}=0, \quad a_{k}=\lambda .
\end{array}
\]

Эта критическая точка имеет в пространстве $\mathbb{R}^{2}$ координаты $(x, y)=(0,-\lambda)$.

Таким образом, для катастрофы $D_{k}$ исходящими из начала координат пространства управляющих параметров $\mathbb{R}^{k}$ могут быть одномерные кривые катастроф типа $D_{k}$ и, кроме того, одномерные кривые катастроф типа $A_{k}$. Это верно в случае, когда $k+1$ нечетно, а также, когда рассматриваются катастрофы типа $D_{-p}$, где $p$ четно. Однако это неверно для катастроф типа $D_{p}, p$ четно. Поэтому, для того чтобы видеть, каким образом катастрофы меньшей размерности «извергаются» некоторой конкретной катастрофой высшей размерности, необходим какой-то простой вычислительный алгоритм.