3.1. Катастрофы типа $\boldsymbol{A}_{2}$

В этом и следующем разделах мы будем предполагать, что матрица $M_{0}$ уже приведена к жордановой канонической форме. Кроме того, предположим, что все собственные значения $M_{0}$ вещественны. Следовательно, иожно ограничиться рассмотрением лишь вещественных возмущений $\delta M$ матрицы $M_{0}$. Сделав подобные предположения, мы естественно вводим ограничение, рассматривая вместо поля комплексных чисел только поле вещественных чисел: $\mathbb{C} ; \rightarrow \mathbb{R}$.
Пусть $M_{0}-2 \times 2$-матрица
\[
M_{0}(\gamma)=\gamma I_{2}+\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right] .
\]

Самое общее семейство матриц, содержащее вырожденную $2 \times 2$-матрицу $M_{0}(\gamma)$, имеет вид
\[
M(\gamma ; x, y)=M_{0}(\gamma)+\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
y & x
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\gamma & 1 \\
y & \gamma+x
\end{array}\right] .
\]

В общем случае ненулевое возмущение $(x, y)
eq(0,0)$ будет снимать вырожденность собственных значений, так что жорданова каноническая форма возмущенной матрицы диагональна. Собственные значения $\lambda_{ \pm}$матрицы $M(\gamma ; x, y)$ таковы:
\[
\lambda_{ \pm}-\gamma=\frac{x}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+y} .
\]

Парабола $(x / 2)^{2}+y=0$ образует сепаратрису в плоскости управления $x-y$. В открытой области $(x / 2)^{2}+y<0$ собственные значения образуют комплексно-сопряженную пару, в то время как в открытой области $(x / 2)^{2}+y>0$ они оба вещественны. На сепаратрисе оба значения равны $x / 2+\gamma$.
Гладкая замена переменных
\[
x^{\prime}=x / 2, \quad t=(x / 2)^{2}+y
\]

более просто вскрывает действие возмущений на собственные значения и связь с элементарной теорией катастроф. Вещественная часть собственных значений дается формулой
\[
\operatorname{Re}\left(\lambda-\gamma-x^{\prime}\right)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & t \leqslant 0, \\
\pm \sqrt{t}, & t \geqslant 0 .
\end{array}\right.
\]

Зависимость от $x^{\prime}$ тривиальна, зависимость от $t$ каноническая. $\diamond \diamond \diamond$ Гладкая замена переменных (14.42) может быть получена посредством преобразования подобия
\[
\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
y & x
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ll}
\frac{x}{2} & 1 \\
\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+y & \frac{x}{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
x^{\prime} & 1 \\
t & x^{\prime}
\end{array}\right] .
\]
3.2. Катастрофы типа $\boldsymbol{A}_{3}$
Рассмотрим жорданову квадратную матрицу порядка три:
\[
M_{0}(\gamma)=\left[\begin{array}{lll}
\gamma & 1 & 0 \\
0 & \gamma & 1 \\
0 & 0 & \gamma
\end{array}\right] .
\]

Поскольку матрица (14.39) связана с катастрофой $A_{2}$, то естественно ожидать, что (14.45) будет связана с катастрофой $A_{3}$. Это каноническое соответствие форма – катастрофа выглядит достаточно просто, и его можно детально проиллюстрировать для матрицы (14.45) (однако для высших катастроф оно становится достаточно сложным).

Канонической формой Жордана-Арнольда для $M_{0}(\gamma)$ служит
\[
M(\gamma ; p, q, r)=\left[\begin{array}{rcc}
\gamma & 1 & 0 \\
0 & \gamma & 1 \\
-r & -q & \gamma-p
\end{array}\right] .
\]

Қак было отмечено раньше, характеристическое уравнение для этой матрицы будет кубическим, так что присутствует катастрофа сборки. Для преобразования (14.46) к более удобному виду может быть использовано преобразование подобия
\[
\begin{array}{l}
\gamma I_{3}+\left[\begin{array}{rrc}
-\lambda & 1 & 0 \\
0 & -\lambda & 1 \\
-r & -q & -p-\lambda
\end{array}\right] \rightarrow \gamma I_{3}+\left[\begin{array}{ccc}
c-\lambda & 1 & 0 \\
0 & c-\lambda & 1 \\
-b & a & c-\lambda
\end{array}\right], \\
\begin{array}{l|l}
\text { Характеристическое } & \text { Характеристическое }
\end{array} \\
\text { уравнение } \downarrow \text { уравнение } \\
(\lambda-\gamma)^{3}+p(\lambda-\gamma)^{2}+q(\lambda-\gamma)+r=0 \rightarrow x^{3}+a x+b=0, \\
x=\lambda-\gamma-c . \\
\end{array}
\]

Коэффициенты $p, q, r$ и $a, b, c$ связаны между собой посредством формул
\[
a=\frac{1}{3}\left(3 q-p^{2}\right), \quad b=\frac{1}{(3)^{3}}\left(2 p^{3}-9 p q-27 r\right), \quad c=-\frac{1}{3} p .
\]

Итак, мы получили следующее соотношение между каноническими формами:
\[
M(\gamma ; p, q, r)=M(\gamma+c ; a, b) .
\]

Один из трех параметров ( $c=-p / 3$ ) может быть поглощен собственным значением. Этого легко достигнуть посредством переноса центра тяжести собственных значений. Остальные два управляющих параметра определяют способ, которым три собственных значения расщепляются после возмущения. Характеристическое уравнение
\[
\operatorname{det} M(\gamma+c-\lambda ; a, b)=0
\]

является обычным уравнением состояния многообразия катастрофы сборки. Внутри области, образуемой сборкой $M(\gamma+c$; $a, b)$, имеется три вещественных различных собственных значения со средним $\gamma+c$. Вне этой области имеется одно вещественное собственное значение и комплексно-сопряженная пара. Два собственных значения вырождаются на линиях складки. Все три становятся вырожденными при $(a, b)=(0,0)$.

3.3. Катастрофы типа $\boldsymbol{A}_{k}$

Рассмотрим квадратную жорданову матрицу $M_{0}(\gamma)$ порядка $k$ и ее универсальное возмущение $\delta M$ :
\[
\begin{array}{l}
M_{0}\left(\gamma+\delta M=M\left(\gamma ; p_{1}, \ldots, p_{k}\right)=\right. \\
=\left[\begin{array}{ccccc}
\gamma & 1 & & & \\
& \gamma & 1 & & \\
& & & \ddots & \\
& & & \ddots & \\
& & & & \gamma
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}
O \\
p_{k} \ldots & p_{1}
\end{array}\right] . \\
\end{array}
\]

Характеристическое уравнение
\[
\operatorname{det} M\left(\gamma-\lambda ; p_{1}, \ldots, p_{k}\right)=\sum_{j=0}^{k} p_{j}(\lambda-\gamma)^{k-I}=0, \quad p_{0}=1,
\]

является полиномиальным уравнением степени $k$ относительно неизвестного $x=\lambda-\gamma$. Всегда можно выбрать новое начало координат на оси $x$ ( $\left.x=x^{\prime}-(1 / k) \rho_{1}\right)$ так, что член $\left(x^{\prime}\right)^{k-1}$ бу. дет отсутствовать. Такое изменение начала координат (для функций) выполняется при помощи преобразований подобия для матриц. Полученное характеристическое уравнение будет уравнением состояния $
abla V=0$ катастрофы $A_{k}$. В результате этого получаем, что множество точек в пространстве управляющих параметров $\mathbb{R}^{k-1}$ для возмущения

у которого вырожденность собственных значений не полностью ликвидирована, соответствует в точности бифуркационному множеству $\mathscr{P}_{B}$ катастрофы $A_{k}$.