По аналогии с Эрлангенской программой Ф. Клейна теорию катастроф можно рассматривать как своего рода исследовательскую программу. Однако если суть первой состояла в том, чтобы свести классификацию важнейших геометрических систем к классификации групп преобразований, при действии которых теоремы рассматриваемых геометрий остаются инвариантными, то предметом теории катастроф является изучение зависимости качественной природы решений уравнений от значений параметров, присутствующих в заданных уравнениях.

Для того чтобы уточнить, что же конкретно изучает теория катастроф, рассмотрим решение $\psi_{1}\left(t, x ; c_{\alpha}\right), \psi_{2}\left(t, x ; c_{\alpha}\right), \ldots$ системы $n$ уравнений, определенной в пространстве $\mathbb{R}^{N}$ с координатами $x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right)$,
\[
\begin{array}{l}
F_{i}\left(\psi_{j} ; c_{\alpha} ; t, \frac{d \psi_{j}}{d t}, \frac{d^{2} \psi_{j}}{d t^{2}}, \ldots ; x_{l}\right. \\
\left.\frac{\partial \psi_{j}}{\partial x_{l}}, \frac{\partial^{2} \psi_{j}}{\partial x_{l} \partial x_{m}}, \ldots ; \int d x_{l}, \ldots\right)=0
\end{array}
\]

где
\[
1 \leqslant i \leqslant n, \quad 1 \leqslant l, \quad m \leqslant N, \quad 1 \leqslant \alpha \leqslant k,
\]

причем переменные $x_{l}$ и $t$ можно считать соответственно пространственными и временными координатами. Решения $\psi_{i}$ описывают состояние некоторой системы, поэтому будем называть их переменными состояния. Предполагается, что уравнения $F_{i}=$ $=0$ зависят от $\&$ параметров $c_{\alpha}$ (числа Рейнольдса, структурной константы, напряженности магнитного поля и т. д.), т. е. последние могут качественно влиять на свойства решений $\psi_{i}$, и естественно назвать их управляющими параметрами.

Проблема исследования решений системы уравнений (1.1), даже если речь идет лишь о том, как зависят эти решения от управляющих параметров $c_{\alpha}$, является исключительно сложной,

Однако ее можно упростить, сделав ряд последовательных предположений.
1. Предположим, что выражение (1.1), которое в самом общем виде будет интегро-дифференциальным уравнением (или значительно хуже), в действительности не содержит интегралов. Фактически это означает, что система уравнений (1.1) есть не что иное, как множество (нелинейных) уравнений в частных производных.
2. В целях дальнейшего упрощения предположим, что система уравнений (1.1) не содержит пространственных -производных любого порядка, т. е.
\[
F_{i}=F_{i}\left(\psi_{j} ; c_{\alpha} ; t, \frac{d \psi_{j}}{d t}, \frac{d^{2} \psi_{j}}{d t^{2}}, \ldots ; x_{i} ;-;-\right) .
\]
3. Поскольку решение данной системы уравнений вызывает существенные затруднения, предположим, что она полностью не зависит от пространственных координат $x_{l}$ :
\[
F_{i}=F_{i}\left(\psi_{j} ; c_{a} ; t, \frac{d \psi_{j}}{d t}, \frac{d^{2} \psi_{j}}{d t^{2}}, \ldots ;-;-\square\right) .
\]
4. Следующее предположение сводится к тому, что система уравнений (1.3) содержит производные по времени не выше первого порядка и, кроме того, эти производные входят в упрощенную функцию $F_{i}$ специальным («каноническим») образом:
\[
F_{i}=\frac{d \psi_{i}}{d t}-f_{i}\left(\psi_{j} ; c_{a} ; t\right) .
\]

Систему уравнений данного типа ( $F_{i}=0$ ) называют динамической системой. И опять же она слишком трудна для исследования.
5. Для упрощения динамичєской системы предположим, что функции $f_{i}$ [выражение (1.4)] полностью не зависят от времени. Тогда получим так называемую автономную динамическую систему уравнений
\[
F_{i}=\frac{d \psi_{i}}{d t}-f_{i}\left(\psi_{j} ; c_{\alpha} ;-\right)=0 .
\]

Относительно автономных динамических систем, зависящих от малого числа управляющих параметров $(k \leqslant 4)$, уже может быть высказано несколько полезных и сильных утверждений.
6. Наконец, заметим, что функции $f_{i}$ во многом аналогичны компонентам силы в классической механике. В последней существенное упрощение возможно тогда, когда сила является консервативной. Если все функции $f_{i}$ могут быть заданы антиградиентом (по отношению к $\psi_{i}$ ) некоторой потенциальной функции, то получаем систему уравнений
\[
\begin{array}{c}
f_{i}=-\frac{\partial V\left(\psi_{j} ; c_{\alpha}\right)}{\partial \psi_{i}}, \\
F_{i}=\frac{d \psi_{i}}{d t}+\frac{\partial V\left(\psi_{j} ; c_{\alpha}\right)}{\partial \psi_{i}}=0,
\end{array}
\]

которую называют градиентной системой ( $\dot{\psi}=-
abla_{\psi} V$ ). О свойствах таких систем может быть доказано довольно много глубоких теорем.

Особый интерес представляет изущение состояния равновесия $d \psi_{i} / d t=0$ градиентных динамических систем, которое может быть описано с помощью следующей системы уравнений:
\[
\frac{\partial V\left(\psi_{j} ; c_{\alpha}\right)}{\partial \psi_{i}}=0 .
\]
(Эти уравнения могут не иметь решений $[V(\psi)=\psi]$, иметь одно $\left[V(\psi)=\psi^{2}\right]$ или более чем одно решение $[V(\psi ; c)=$ $=\psi^{4}+c \psi^{2}$, одно решение, если $c>0$, и три решения, если $c<0$ ].) В этом случае может быть доказано большое число полезных и сильных утверждений как о состоянии равновесия градиентных систем, так и о том, как эти состояния зависят от управляющих параметров $c_{\alpha}$.

Таким образом, можно сделать вывод, согласно которому элементарная теория катастроф — это наука о том, каким образом состояния равновесия $\psi_{j}\left(c_{\alpha}\right)$ потенциальной функции $V\left(\psi_{j}, c_{\alpha}\right)$ изменяются при изменении управляющих параметров $c_{\alpha}$ (табл. 1.1).