Возмущением наиболее общего вида для симметризованной модели Гинзбурга – Ландау (разд. 7) фазовых переходов первого рода является катастрофа $A_{+5}$ (10.49), имеющая четырехмерное пространство управляющих параметров. Бифуркационное множество $\mathscr{P}_{B}$ можно определить точно так же, как и в случае катастроф типа $A_{4}$ (гл. 5). Наибольший интерес, однако, представляет максвелловское множество $\mathscr{P}_{M}$, которое можно построить, проинтегрировав уравнения Клаузиуса – Клапейрона.

Особого внимания заслуживают те компоненты максвелловского множества, которые параметризуют функции с двумя или тремя равными глобальными мннимумами. Грубо говоря (и тем не менее это вполне корректно), для того чтобы сделать каждое критическое значение вырожденным, достаточно одного управляющего параметра (т. е. функции от управляющих параметров).

Таким образом, имеются три трехмерные компоненты мумов вырождены, и одна двумерная компонента ( $2=4$ $-(3-1))$, параметризующие функции с тремя минимумами равной глубины. Именно этой поверхности «тройных точек» и будет уделено основное внимание в данном разделе. K сожалению, уравнения Клаузнуса — Клапейрона легко интегрируются только в одномерном случае, а поверхность тройных точек двумерна. Отсюда вытекает необходимость поиска хороших методов, позволяющих понизить размерность задачи на единицу. [По-видимому, такой метод должен использовать преобразования подобия (10.50).]

Рис. 10.18.
$a$ – пересечение максвелловского множества $\mathscr{S}_{M}$ трикритического потенциала с плоскостью $a=1$. Сплошные динии показывгют значения управляющих параметров, при которых два кнанболее глубоких минимума равны (устойчивое максвелловское множество). Штрнховые линии отвечают значенням управляющих параметров, при которых 9ти минимумы метастабильны по отношению к третьему минимуму (метастабильное мак. свелловское множество). Метастабильное максвелловское множество не представляет никакого интереса с точки зрения практического применения в физических скстемах; 6 пересечения бифуркационного множества $\mathscr{I}_{B}$ трикритического потенциала с плоскостями $a=-1,0,+1$. Полное бифуркационное можество можно пос̧троить из этих яечений и уравнений масштаба (10.50).

Первое, что приходит в голову, – это попытаться использовать (10.50) (рис. 10.18). Однако, поскольку максвелловское множество определено для $b=0$ [см. (10.58)], поступим иначе, а именно зафиксируем $a=$ const в (10.49), а затем воспользуемся ( $a=\mathrm{const}$ ) к $\mathscr{P}_{M}$. Потенциал $A_{+5}$ при $a>0$ имеет не более двух минимумов, поэтому зафиксируем $a=-1$ и найдем одномерную кривую – геометрическое место критических точек в $\mathbb{R}^{3}$.

Для этого предположим, что $\left(c^{1}, c^{2}, c^{3}, c^{4}\right)=(-1, b, c, d)$, а $x^{(1)}, x^{(2)}, x^{(3)}$ определяют положения трех равных локальных минимумов. Тогда уравнения Клаузиуса – Клапейрона принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\delta c^{2}=(-)^{1+2} \operatorname{det}\left[\begin{array}{ll}
M_{3}^{1} & M_{4}^{1} \\
M_{3}^{2} & M_{4}^{2}
\end{array}\right] \delta s, \\
\delta c^{3}=(-)^{1+3} \operatorname{det}\left[\begin{array}{ll}
M_{2}^{1} & M_{4}^{1} \\
M_{2}^{2} & M_{4}^{2}
\end{array}\right] \delta s, \\
\delta c^{4}=(-)^{1+4} \operatorname{det}\left[\begin{array}{ll}
M_{2}^{1} & M_{3}^{1} \\
M_{2}^{2} & M_{3}^{2}
\end{array}\right] \delta s, \\
M_{\alpha}^{i}=V_{a}^{(i)}-V_{\alpha}^{(i+1)}
\end{array}
\]

где и
\[
V_{a}^{(i)}=\left.\frac{\partial V}{\partial c^{a}}\right|_{x=x^{(i)}}, \quad i=1,2,3, \quad \alpha=2,3,4 .
\]

Смещения этих трех минимумов определяются с помощью (5.2′):
\[
\delta x^{(l)}=-\sum_{a=2}^{4} \frac{1}{V_{x x}^{(i)}} V_{x \alpha}^{(i)} \delta c^{a},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
V_{x x}^{(i)}=\left.\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}\right|_{x=x^{(i)}}, \\
V_{x \alpha}^{(i)}=\left.\frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial c^{\alpha}}\right|_{x=x^{(i)}} .
\end{array}
\]

Результаты численного интегрирования этих уравнений с малым шагом $\delta s$ показаны на рис. 10.20 (начальные условия для интегрирования этих обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка получены из рис. 10.16).

Рис. 10.20. Результаты численного интегрирования уравнений Қлаузиуса Қлапейрона (10.61): параметрическое представление положений трех минймумов $x^{(1)}, x^{(2)}, x^{(3)}$ и соответствующих значений управляющих параметров $a=-1, b, c, d$.