2.1. Теорема о неявной функции

В качестве примера, раскрывающего смысл формулы (3.5), рассмотрим два физических процесса, которые являются результатом действия отличных от нуля сил в точке $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=$ $=(0,0, \ldots, 0) \in \mathbb{R}^{n}:$
\[
\begin{aligned}
V & =f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), & \mathbf{F} & =-
abla V, \\
V^{\prime} & = & \mathbf{F}^{\prime} & =-\hat{\mathbf{e}}_{1},
\end{aligned}
\]

где $\hat{\mathbf{e}}_{1}$ – единичный вектор, имеющий то же направление, что и первая координатная ось.
1) Разница между (3.4) и (3.5) аналогична разнице между «пассивной» и «активной» интерпретациями приложений теории групп в квантовой механике,

Поскольку в результате действия отличных от нуля сил возникает движение, любые две потенциальные функции, описывающие отличные от нуля силы в некоторой точке, должны быть качественно одинаковыми в этой точке. Для того чтобы показать, что $V$ и $V^{\prime}$ качественно подобны, необходимо найти такое гладкое преобразование, при котором будет выполняться равенство (3.5). Одно из таких преобразований имеет вид
\[
\begin{aligned}
x_{1}^{\prime} & =f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \\
x_{2}^{\prime} & =a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n}, \\
& \vdots \\
& \cdot \\
x_{n}^{\prime} & =a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\ldots+a_{n n} x_{n} .
\end{aligned}
\]

Матрица Якоби этого преобразования не вырождена при условии, что
\[
\operatorname{det}\left|\frac{\partial x_{i}^{\prime}}{\partial x_{j}}\right|_{x=0}=\operatorname{det}\left[\begin{array}{cccc}
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right]
eq 0 .
\]

Если верхняя строка матрицы Якоби не является нулевой, то вещественные числа $a_{i j}$ всегда можно выбрать таким образом, чтобы якобиан был отличен от нуля. В этом случае преобразование (3.8) обратимо и
\[
V^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=x_{1}^{\prime}=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=V(x) .
\]

Так как $V^{\prime}\left[x^{\prime}(x)\right]=V(x)$, а $V^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=V\left[x\left(x^{\prime}\right)\right]$, имеем
\[
V\left[x\left(x^{\prime}\right)\right]=V^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=x_{1}^{\prime} \text {. }
\]

Выражения (3.11) и (2.1) в точности совпадают.
2.2. Лемма Морса

Если $
abla f=0$, то первая строка матрицы (3.9) становится нулевой и преобразование (3.8) уже не определяет новой координатной системы, оно – необратимо. Это означает, что теорема о неявной функции не может быть применена, и $f(x)
eq x_{1}^{\prime}$. В данном случае необходимо рассмотреть в разложении функции $f(x)$ в ряд Тейлора квадратичные члены и члены более высокой степени. Если окажется, что $\operatorname{det} f_{i f}
eq 0$, то применима лемма Морса, и функция может быть представлена в канонической форме (2.2).

Рассмотрим сначала функцию двух переменных, не имеющую постоянного и линейного членов:
$f(x, y)=a x^{2}+b x y+c y^{2}+$ Члены третьей степени $+\ldots$ (3.12)
Посредством линейного преобразования
\[
\left(\begin{array}{c}
\tilde{x} \\
\tilde{y}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)
\]

нетрудно привести квадратичные члены разложения к диагональному виду
\[
\begin{aligned}
f(\tilde{x}, \tilde{y})= & \lambda_{1} \tilde{x}^{2}+\lambda_{2} \tilde{y}^{2}+\left(d \tilde{x}^{3}+e \tilde{x}^{2} \tilde{y}+f \tilde{x} \tilde{y}^{2}+g \tilde{y}^{3}\right)+ \\
& +\left(h \tilde{x}^{4}+\ldots\right),
\end{aligned}
\]

где $2 \lambda_{1}=(a+c)+\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}$, а $2 \lambda_{2}=(a+c)-\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}$.
Следующий этап состоит в определении нелинейного осесохраняющего преобразования
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=x+\Delta_{1}=x+\left(A_{20} x^{2}+A_{11} x y+A_{02} y^{2}\right)+\left(A_{30} x^{3}+\ldots\right), \\
y^{\prime}=y+\Delta_{2}=y+\left(B_{20} x^{2}+B_{11} x y+B_{02} y^{2}\right)+\left(B_{30} x^{3}+\ldots\right) .
\end{array}
\]

Для этого необходимо так выбрать коэффициенты $A_{p q}, B_{p q}$ ( $p+$ $+q \geqslant 2$ ) преобразования, задаваемого формулой (3.13nl), чтобы стало возможным привести функцию, определяемую форму. лой (3.14), к морсовской канонической форме. Кроме того, полагаем, что функция $f^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\lambda_{1} x^{\prime 2}+\lambda_{2} y^{\prime 2}$, и приравняем ее к функции $f(x, y)$ (3.14). Далее введем некоторые ограничения на коэффициенты $A_{p q}, B_{p q}$ :
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{1} x^{\prime 2} \lambda_{2} y^{\prime 2}=\lambda_{1} x^{2}+\lambda_{2} y^{2}+\left(d x^{3}+e x^{2} y+f x y^{2}+g y^{3}\right)+\left(h x^{4}+\ldots\right), \\
\lambda_{1}\left(x+\sum_{p+q \geqslant 2} A_{p q} x^{p} y^{q}\right)^{2}+\lambda_{2}\left(y+\sum_{p+q \geqslant 2} B_{p q} x^{p} y^{q}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Раскрывая круглые скобки во второй строке формулы (3.15) и приравнивая коэффициенты при соответствующих одночленах $x^{p} y^{q}$ правой и левой частей этого уравнения, для членов третьей степени получаем следующую слстему уравнений:
\[
\begin{aligned}
x^{3}: & \lambda_{1} 2 A_{20} & =d, \\
x^{2} y: & \lambda_{1} 2 A_{11}+\lambda_{2} 2 B_{20} & =e, \\
x y^{2}: & \lambda_{1} 2 A_{02}+\lambda_{2} 2 B_{11} & =f, \\
y^{3}: & \lambda_{2} 2 B_{02} & =g,
\end{aligned}
\]

Из этой системы уравнений следует, что коэффициенты $A$ и $B$ (3.14) определяются не однозначно, так как для шести таких коэффициентов имеются лишь четыре коэффициента при членах третьей степени. Если перейти к рассмотрению членов четвертой степени (3.15), то детали изменятся $\left[h=\lambda_{1}\left(2 A_{30}+A_{20}^{2}\right)\right]$, но результат будет тот же. Члены четвертой степени в правой части выра́жения (3.15) определяются ровно пятью новыми коэффициентами (при $x^{4}, x^{3} y, x^{2} y^{2}, x y^{3}, y^{4}$ ); в левой же части при проведении координатного преобразозания (3.13nl) должны сохраниться члены вплоть до третьей степени. В результате возникает необходимость ввести в рассмотрение восемь новых коэффициентов ( $\left.A_{30}, A_{21}, A_{12}, A_{03}, B_{30}, B_{21}, B_{12}, B_{03}\right)$. И далее при учете членов более высокой степени разложения (3.14) следует учитывать члены более высокой степени из преобразования (3.13nl). Число коэффициентов $A_{p q}, B_{p q}$ при этом возрастает значительно быстрее, чем число коэффициентов, которые необходимо учитывать в разложении $f(x, y)$. Поэтому при переходе к рассмотрению членов более высокой степени всегда можно найти гладкое преобразование (3.13nl), такое, что
\[
f^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\lambda_{1} x^{\prime 2}+\lambda_{2} y^{\prime 2}=f(x, y) \text {. }
\]

Так как преобразование (3.13) обратимо, то с учетом выражения (3.6б) имеем
\[
f\left[x\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right), y\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right]=f^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\lambda_{1} x^{\prime 2}+\lambda_{2} y^{2} .
\]

Аналогично обстоит дело и в случае функции $n$ переменных. Посредством линейного преобразования (3.3hl) всегда можно привести разложение функции $f$ в ряд Тейлора к следующему виду:

Число членов степени $k>2$ в точности равно ( $n+k-$ $-1) ! / k !(n-1)$ !. Нелинейное преобразование (3.3nl) имеет следующий вид:
\[
x_{i}^{\prime}=x_{i}+\Delta_{i}=x_{i}+\sum_{p+q+} A_{i ; p q \ldots r} x_{1}^{p} x_{2}^{q} \ldots x_{n}^{r} .
\]

При любом $i$ число членов степени $k$ в преобразовании (3.20) равно $(n+k-1) ! / k !(n-1) !, k>1$. На коэффициенты $A_{i ; p q \ldots r}$ (3.20) налагаются ограничения известными нам коэффициентами разложения (3.19) и соотношением
\[
f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=f(x),
\]

где
\[
f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{\prime 2}=\sum \lambda_{i} x_{i}^{2}+\sum 2 \lambda_{i} x_{i} \Delta_{i}+\sum \Delta_{i}^{2} .
\]

Общее число коэффициентов при членах степени $3,4, \ldots, k$ в разложении (3.19) равно $^{1}$ )
\[
N_{\mathrm{Ts}}=N_{\mathrm{Ts}}(n, k)=\left(\begin{array}{c}
n+k \\
k
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}
n+2 \\
2
\end{array}\right),
\]

где $\left(\begin{array}{c}p \\ q\end{array}\right)$ – биномиальный коэффициент $p ! / q$ ! ( $\left.p-q\right)$ !. Члены степени $3,4, \ldots, k$ (3.22) обусловлены наличием членов степени $2, \ldots, k-1$ в разложении (3.20). Для каждого $x_{i}^{\prime}$ существует в точности
\[
\left(\begin{array}{c}
n+k-1 \\
k-1
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}
n+1 \\
1
\end{array}\right)
\]

таких членов, а так как в данном случае имеется точно $n$ координат, то число находящихся в нашем распоряжении коэффициентов в формуле замены переменных (3.20), входящих в члены степени $\leqslant n$ разложения (3.22), равно
\[
N_{\mathrm{cv}}=N_{\mathrm{cv}}(n, k)=n\left(\begin{array}{c}
n+k-1 \\
k-1
\end{array}\right)-n\left(\begin{array}{c}
n+1 \\
1
\end{array}\right) .
\]

Теперь легко проверить, что
\[
N_{\text {cv }}(n, k) \geqslant N_{\text {Ts }}(n, k), \quad n \geqslant 1, \quad k \geqslant 3 .
\]

Из этого неравенства следует, что всегда имеется достаточная «свобода» в выборе находящихся в нашем распоряжении коэффициентов гладкой замены переменных с целью привести рассматриваемую функцию к морсовской канонической форме. Так как преобразование (3.20) обратимо, то с учетом формулы (3.6б), как и раньше, имеем
\[
f(x)=f\left[x\left(x^{\prime}\right)\right]=f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{\prime 2} .
\]

Выражения (3.24), (2.2а) в точности совпадают.
2.3. Лемма расщепления

Покажем, что если $\operatorname{det} f_{i j}=0$ и, следовательно, одно или несколько собственных значений (3.22) равны нулю, то в этом случае лемма Морса неприменима и $f(x)
eq \Sigma \lambda_{i} x^{\prime 2}$.
1) Ts – ряд Тейлора, cv – замена переменных.

Для этого рассмотрим функцию двух переменных, для которой $\lambda_{1}=0$ (3.15). Из формулы (3.16) следует, что коэффициенты $B_{20}, B_{11}, B_{02}$ преобразования $y^{\prime}$ определяются однозначно, если исключить члены $x^{2} y, x y^{2}, y^{3}$ из разложения в ряд Тейлора функции $f(x, y)$. Однако при этом не удается исключить из разложения член $x^{3}$. Написав систему уравнений, аналогичную системе (3.16), для членов четвертой степени разложения в ряд Тейлора функции $f(x, y)$ найдем, что четыре находящихся в нашем распоряжении коэффициента $B_{30}, B_{21}, B_{12}, B_{03}$ (умноженные на $\lambda_{2}$ ) линейным образом входят в выражения для коэффициентов при одночленах $x^{3} y, x^{2} y^{2}, x y^{3}, y^{4}$ и, следовательно, определяются однозначно, если исключить эти одночлены из разложения. Однако в этом случае не удается исключить член $x^{4}$. Аналогичная ситуация наблюдается и для членов степени $r$ разложения в ряд Тейлора функции $f(x, y) ; r$ находящихся в нашем распоряжении коэффициентов $B_{r-1,0}, \ldots, B_{0, r-1}$ (умноженные на $\lambda_{2}$ ) входят линейным образом в выражения коэффициентов $r$ одночленов $x^{r-1} y, \ldots, y^{r}$, так что от этих одночленов можно избавиться. Таким образом, существует замена переменных $y \rightarrow y^{\prime}$ (3.13nl), позволяющая исключить все одночлены вида $x^{p} y^{q}, p+q>2$, $q \geqslant 1$. Следовательно, при $\lambda_{1}=0$
\[
f(x, y) \doteq p x^{\prime 3}+q x^{\prime 4}+\ldots+\lambda_{2} y^{\prime 2}=f_{N M}\left(x^{\prime}\right)+\lambda_{2} y^{\prime 2} .
\]

Заметим, что, приводя функцию $f(x, y)$ к виду (3.25), мы совсем не использовали имеющуюся возможность выбора нелинейной замены координат $x \rightarrow x^{\prime}$, позволяющей привести рассматриваемую функцию к канонической форме.

Аналогично можно поступить и при поиске канонической формы функции $n$ переменных в неморсовской критической точке, в которой имеется в точности $l$ «плохих» переменных.

Очевидно, что в разложении в ряд Тейлора функции $n$ переменных состояния в неморсовской критической точке $x_{1}=$ $=x_{2}=\ldots=x_{n}=0$ отсутствуют все члены первой степени $(
abla f=0)$. При исследовании свойств функции в этой точке постоянные члены разложения не играют существенной роли. Поэтому можно считать, что разложение в ряд Тейлора начинается с квадратичных членов. Тогда посредством линейного преобразования (3.3hl) можно привести квадратичные члены разложения к каноническому диагональному виду $\lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+$ $+\ldots+\lambda_{n} x_{n}^{2}$.

Теперь можно осуществить нелинейное преобразование $x_{i} \rightarrow x_{i}^{\prime}$ (3.3nl) и посмотреть, насколько вид функции в новой системе координат близок к канонической форме. Для этого сравним соответствующие члены в обеих частях уравнения:
\[
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{\prime 2} & =f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \\
\downarrow & \downarrow \\
\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{2}+2 \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i} \Delta_{i}+\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \Delta_{i}^{2} & =\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{2}+\frac{1}{3 !} \sum_{i j k} f_{i j k} x_{i} x_{i} x_{k}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Если все собственные значения функции отличны от нуля, то нелинейную часть преобразования ( $\Delta_{i}$ ) можно выбрать таким образом, чтобы исключить все члены третьей степени и выше. (Как это сделать, уже было показано в разд. 3.) Если же хотя бы одно собственное значение функции равно нулю (скажем, $\lambda_{1}$ ), то член $x_{1}^{2}$ отсутствует в обеих частях уравнения (3.26). Член разложения вида $\lambda_{i} x_{i} \Delta_{i}$ порождает лишь члены вида $x_{1}^{p_{1}} \ldots x_{i}^{p_{i}} \ldots$ $\ldots x_{n}^{p_{n}}$, где $p_{i} \geqslant 1, \sum_{j=1}^{n} p_{j}>3$ (так как $\Delta_{i}$ начинается с квадратичных членов). Следовательно, все члены вида $x_{1}^{p_{1}} \ldots x_{n}^{p_{n}}$, исключая члены, у которых $p_{2}=p_{3}=\ldots=p_{n}=0$, могут быть удалены с помощью нелинейной замены координат и
\[
\begin{aligned}
f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) & \doteq\left(t_{3} x_{1}^{\prime 3}+t_{4} x_{1}^{\prime 4}+\ldots\right)+\sum_{i=2}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{\prime 2}= \\
& =f_{N M}\left(x_{1}^{\prime}\right)+\sum_{i=2}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{\prime 2} .
\end{aligned}
\]

Подобные рассуждения применимы и тогда, когда $l(l>1)$ собственных значений обращаются в нуль. Если $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\ldots$ $\ldots=\lambda_{l}=0$ (3.26), то нелинейную замену переменных $x_{i} \rightarrow$ $\rightarrow x_{i}^{\prime}=x_{i}+\Delta_{i}, i=l+1, \ldots, n$ можно выбрать таким образом, чтобы удалить в формуле (3.26) зсе одночлены вида $x_{1}^{p_{1}} x_{2}^{p_{2}} \ldots x_{n}^{p_{n}}$, за исключением тех, у которых $p_{l+1}=\ldots=p_{n}=0$. Как следствие, получим следующее представление функции:
\[
\begin{aligned}
f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) & \doteq\left(\sum_{p_{1}+\ldots+p_{l} \geqslant 3}{ }^{t_{p 1} \ldots p l} x_{1}^{\prime p_{1}} \ldots x_{l}^{\prime p_{l}}\right)+\sum_{i=l+1}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{\prime 2}= \\
& =f_{N M}\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{l}^{\prime}\right)+\sum_{i=l+1}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{\prime 2} .
\end{aligned}
\]

Выражения (3.271), (2.3а) в точности совпадают.

$\diamond \diamond \diamond$ В процессе доказательства леммы расщепления (3.271), для того чтобы исключить все «смешанные» члены ${ }^{1}$ ) из разложения в ряд Тейлора, использовалось нелинейное преобразование лишь «хороших» переменных. Аналогичным образом можно исключить из разложения все члены, состоящие из «хороших» переменных степени больше двух. Однако при этом мы нигде. не использовали возможность осуществить нелинейное преобразование «плохих» переменных ${ }^{2}$ ). По существу представление (3.271) может быть получено в предположении, что $\Delta_{1}=$ $=\Delta_{2}=\ldots=\Delta_{t}=0$, т. е. $x_{1}^{\prime}=x_{1}, x_{2}^{\prime}=x_{2}, \ldots, x_{t}^{\prime}=x_{l}$.

В связи с этим напомним, что неморсовские критические точки в общем случае могут типично встречаться лишь при рассмотрении семейств функции или функций $f(x ; c)$, зависящих от управляющих параметров $c \in \mathbb{R}$, поскольку в критической точке собственные значения $\lambda_{i}(c)$ матрицы устойчивости $f_{i j}=\partial^{2} f(x$; c) $/ \partial x_{i} \partial x_{j}$ являются функциями управляющих параметров. Поэтому важно знать, сколько собственных значений могут одновременно обращаться в нуль в типичном $k$-параметрическом семействе функций.

Согласно лемме расщепленяя (2.3a), в окрестности неморсовской критической точки, в которой одновременно обращаются в нуль $l$ собственных значений, всегда имеется возможность выбора $l$ «плохих» переменных и $n-l$ «хороших». В такой координатной системе матрица устойчивости будет иметь блочнодиагональную структуру
\[
V_{i j} \rightarrow\left[\begin{array}{c|c}
\frac{\partial^{2} f_{N M}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} & \bigcirc \\
\hline \bigcirc & \frac{\partial^{2} f_{M}}{\partial x_{r} \partial x_{s}}
\end{array}\right] \begin{array}{l}
1 \leqslant i, j \leqslant l, \\
\hline l+1 \leqslant r, s \leqslant n .
\end{array}
\]

Вещественная симметрическая $l \times l$-матрица $\partial^{2} f_{N M} / \partial x_{i} \partial x_{j}$ имеет в точности $l(l+1) / 2$ независимых элементов, которые являются функциями $k$ управляющих параметров. Следовательно, естественно ожидать, что все $l(l+1) / 2$ элементов матрицы $\partial^{2} f_{N M} / \partial x_{i} \partial x_{j}$ не могут одновременно обратиться в нуль, если число их не меньше, чем число управляющих параметров. Поэтому при исследовании $k$-параметрического семейства функций можно ожидать, что существует $l$ одновременно обращающихся в нуль
1) «Смешанные» члены – это члены разложения, являющиеся произведением как «хороших», так и «плохих» переменных.
2) В следующих разделах мы существенно используем эту возможность при поиске канонических форм для неморсовских функций $f_{N M}\left(x_{1}, \ldots, x_{l}\right)$.

собственных значений только при условии, что $l$ и $k$ связаны следующим соотношением:
\[
k \geqslant l(i+1) / 2 \text {. }
\]
2.4. $l=1$ (одно вырожденное собственное значение)

В типичном $k$-параметрическом семействе функций $(k \geqslant 1)$ в общем случае можно встретить только неморсовскую критическую точку, для описания которой требуется всего лишь одна «плохая» переменная, которую мы обозначим $x$. Вблизи такой точки неморсовская функция в вырожденной критической точке $x=0$ (2.3а) может быть разложена в ряд Тейлора
\[
f_{N M}(x ; c)=t_{0}+t_{1} x+t_{2} x^{2}+t_{3} x^{3}+t_{4} x^{4}+\ldots .
\]

В данном случае постоянный член разложения не играет существенной роли, линейный член обращается в нуль, так как $x=$ $=0$ – критическая точка (т. е. $t_{0}=t_{1}=0$ ), а оставшиеся коэффициенты ряда Тейлора $t_{2}(c)=\lambda_{2}(c), t_{3}(c), \ldots, t_{n}(c), \ldots$ являются функциями $k$ управляющих параметров $c_{\alpha}$. Поэтому можно предположить, что имеются такие значения управляющих параметров, при которых в точности $k$ коэффициентов $t_{j}(c)$ обращаются в нуль. Если выбрать точку $c \in \mathbb{R}^{k}$ таким образом, что $t_{2}=t_{3}=\ldots=t_{k+1}=0$ в точке $c=c^{0}$, то первым отличным от нуля членом разложения (3.30) в ней будет $x^{k+2}$, т. е.
$f_{N M}\left(x ; c^{0}\right)=t_{k+2} x^{k+2}+$ Члены более высокой степени.
Покажем, что посредством гладкой замены переменных можно удалить все члены более высокой степени и привести функцию $\tilde{f}_{N M}$ к канонической форме $\pm x^{k+2}$.
Допустим, что
\[
\begin{aligned}
f(x) & =t_{n} x^{n}+t_{n+1} x^{n+1}+\ldots, \\
x^{\prime} & =A_{1} x+A_{2} x^{2}+A_{3} x^{3}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Поскольку необходимо показать, что функция $f(x)$ качественно аналогична функциям $\pm x^{n}$, пусть $f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)= \pm\left(x^{\prime}\right)^{n}$ и $f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=$ $=f(x)$ :
\[
\pm\left(A_{1} x+A_{2} x^{2}+A_{3} x^{3}+\ldots\right)^{n}=t_{n} x^{n}+t_{n+1} x^{n+1}+\ldots .
\]

Повторяя предыдущий ход рассуждений [ср. с формулой (3.16) ], найдем
\[
x^{n}: \pm A^{n}=t_{n},
\]

если $n$ четно, то знак + или – выбирается в зависимости от того, положительно или отрицательно $t_{n}$; если $n$ нечетно, то всегда можно выбрать знак плюс:
\[
\begin{aligned}
x^{n+1}: & \pm n A_{1}^{n-1} A_{2}=t_{n+1}, \\
x^{n+2}: & \pm\left(n A_{1}^{n-2} A_{3}+\left(\begin{array}{c}
n \\
2
\end{array}\right) A_{1}^{n-2} A_{2}^{2}\right)=t_{n+2}
\end{aligned}
\]

Как только коэффициент $A_{1}$ определен из уравнения (3.35n), $A_{2}$ может быть однозначно найден из уравнения $(3.35 \mathrm{n}+1)$, которое линейно по этому неизвестному. По существу как только коэффициенты $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{j}$ определены из ( $3.35 \mathrm{n} \rightarrow \mathrm{n}+\mathrm{j}-$ -1), коэффициент $A_{j+1}$ однозначно определяется из уравнения $(3.35 \mathrm{n}+\mathrm{j})$, куда единственное неизвестное $A_{j+1}$ входит линейно.

Таким образом, преобразование (3.33) может быть найдено. Тогда из формулы (3.6б) имеем
\[
f_{N M}\left[x\left(x^{\prime}\right)\right]=f_{N M}^{\prime}\left(x^{\prime}\right)= \pm\left(x^{\prime}\right)^{n} .
\]

Следовательно, при $k$ управляющих параметрах и лишь одном обращающемся в нуль собственном значении ведущий член разложения в ряд Тейлора функии $f_{N M}(x ; c)$ в общем случае не хуже, чем $\pm x^{k+2}$, а неморсозская функция может быть приведена в вырожденной критической точке к канонической форме $\pm x^{k+2}$.
$\diamond \diamond \diamond$ Иногда бывает полезно брать за каноническую форму $\pm x^{n} / n$. Это может быть легко достигнуто посредством преобразования $x^{\prime}=n^{1 / n} x$.

Вы вод. Для исключения начальных членов разложения в ряд Тейлора функции в критической точке могут быть использованы управляющие параметры, а для удаления последних членов разложения в ряд Тейлора – гладкая замена переменных. Участок разложения в ряд Тейлора, на котором эти операции выполняются одновременно, называется ростком функции в неморсовской критической точке. Ростками $k$-параметрических семейств функций с единственной переменной состояния являются $\pm x^{i+2}(j \leqslant k)$ (табл. 2.2).
2.5. $l=2$ (два вырожденных собственных значения)

В $k$-параметрическом семействе функций ( $k \geqslant 3$ ) в общем случае возможно обнаружить лишь неморсовские критические точки с двумя «плохими» переменными $x$ и $y$.

Определяющая часть разложения функции в критической точке $(x, y)=(0,0)$ будет следующая:
\[
\begin{array}{c}
f(x, y)=t_{20} x^{2}+t_{11} x y+t_{02} y^{2}+t_{30} x^{3}+t_{21} x^{2} y+ \\
+t_{12} x y^{2}+t_{00} y^{3}+t_{40} x^{4}+\ldots .
\end{array}
\]

Чтобы исключить квадратичные члены с коэффициентами ( $t_{20}$, $t_{11}, t_{02}$ ), используем три управляющих параметра, а чтобы привести кубические члены разложения (3.37) к какой-либо канонической форме и исключить оставшиеся члены (четвертой степени и выше) разложения в ряд Тейлора – гладкую замену переменных. Прежде чем это сделать, целесообразно привести возможные канонические формы кубических членов:
\[
\begin{array}{l}
f^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime 3}+a y^{\prime 3}, \\
f^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime 2} y^{\prime}+b y^{\prime 3} .
\end{array}
\]

Теперь, используя каноническую форму (3.38б), поступим точно так же, как при рассмотрении морсовского случая для двух переменных. Сначала осуществим линейное преобразование (3.13hl) и сравним $\tilde{x}^{2} \tilde{y}+b \tilde{y}^{3}$ с кубическими членами разложения (3.37). Получаемая при этом система из четырех уравнений с пятью неизвестными
\[
\begin{array}{l}
x^{3}: \alpha^{2} \gamma \quad+b \gamma^{3}=t_{30}, \\
x^{2} y: 2 \alpha \beta \gamma+\alpha^{2} \delta+3 b \gamma^{2} \delta=t_{21} \text {, } \\
x y^{2}: \beta^{2} \gamma+2 \alpha \beta \delta+3 b \gamma \delta^{2}=t_{12} \text {, } \\
y^{3}: \quad \beta^{2} \delta+\quad b \delta^{3}=t_{03} \\
\end{array}
\]

всегда разрешима относительно неизвестных $\alpha, \beta, \gamma, \delta$. Разложение (3.37) при этом в данной вырожденной критической точке имеет вид
\[
\tilde{f}(\tilde{x}, \tilde{y})=\tilde{x}^{2} \tilde{y}+b \tilde{y}^{3}+\left(t_{40} \tilde{x}^{4}+t_{31} \tilde{x}^{3} \tilde{y}+\ldots\right)+\ldots .
\]

Можно показать, что если $b
eq 0$, то члены четвертой степени и выше могут быть исключены посредством гладкой замены переменных. Преобразование (3.13nl) произведем в каноническом виде $f^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime 2} y^{\prime}+b y^{\prime 3}$, а затем, раскрыв скобки, сравним соответствующие члены. В результате для находящихся в нашем распоряжении коэффициентов замены переменных (3.13nl) получим ряд простых уравнений
\[
\begin{array}{l}
x^{4}: \quad B_{20} \quad=t_{40}, \\
x^{3} y: 2 A_{20}+B_{11} \quad=t_{31} \text {, } \\
x^{2} y^{2}: 2 A_{11}+B_{02}+3 b B_{20}=t_{22} \text {, } \\
x y^{3}: 2 A_{02}+3 b B_{11}=t_{13} \text {, } \\
y^{4}: \quad+3 b B_{02}=t_{04} . \\
\end{array}
\]

Поскольку имеются точно шесть неопределенных коэффициентов и лишь пять коэффициентов ряда Тейлора, то все квадратичные члены могут быть исключены. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и в случае членов степени $5,6, \ldots$.

Наконец, если $b
eq 0$, то для переменных $x^{\prime}, y^{\prime}$ может быть введен новый масштаб, такой, чтобы получить канонические ростки
\[
\begin{array}{ll}
D_{+4}: & x^{\prime 2} y^{\prime}+y^{\prime 3}, \quad b>0, \\
D_{-4}: & x^{\prime 2} y^{\prime}-y^{\prime 3}, \quad b<0 .
\end{array}
\]

В случае 4-параметрического семейства функций три степени свободы могут быть использованы для обращения в нуль трех квадратичных коэффициентов, а четвертая степень свободы для исключения параметра $b$ из канонической формы (3.38б). В этом случае гладкая заменє переменных (3.13nl) не позволяет удалить все члены выше третьей степени. Из анализа последней строки системы уравнений (3.41) следует, что члены $x^{4}, x^{3} y, x^{2} y^{2}$ и $x y^{3}$ можно исключить из разложения, а $y^{4}$ нет. Поэтому в случае 4-параметрического семейства получим функции вида $x^{\prime 2} y^{\prime}+b^{\prime} y^{\prime 4}$, где в общем случае $b^{\prime}
eq 0$, так как все четыре степени свободы в пространстве управляющих параметров были уже использованы. Когда $b^{\prime}
eq 0$, для переменных $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ всегда можно ввести новый масштаб, такой, чтобы получить канонический росток
\[
\pm D_{5}: \pm\left(x^{\prime 2} y^{\prime}+y^{\prime 4}\right) .
\]

В 5 -параметрическом семействе функций имеется еще одна дополнительная степень свободы, которая может быть использована для обращения в нуль коэффициента $b^{\prime}$. Тогда с помощью уже известных рассуждений, получим, что член $b^{\prime} y^{\prime 5}$ не может быть удален, и будем иметь следующие канонические ростки:
\[
\begin{array}{l}
D_{+6}: x^{\prime 2} y^{\prime}+y^{\prime 5}, \quad b^{\prime \prime}>0 \text {, } \\
D_{-6}: x^{\prime 2} y^{\prime}-y^{\prime 5}, \quad b^{\prime \prime}<0 \text {. } \\
\end{array}
\]

Продолжая подобным образом, получим, что в $k$-параметрических семействах функций можно встретить следующие канонические ростки:
\[
D_{ \pm(k+1)}: \quad x^{\prime 2} y^{\prime} \pm y^{\prime k} .
\]

Совершенно аналогичные рассуждения могут быть проведены при выводе канонической формы (3.38a). В 3-параметрическом семействе функций в общем случае $a
eq 0$. Вводя новый масштаб, координату $y^{\prime}$ можно преобразовать так, что получим каноническую форму
\[
D_{+4}: x^{\prime 3}+y^{\prime 3} \text {. }
\]

Функции вида (3.38a) при $a eq 0$ эквивалентны функциям (3.38б) при $b>0$. Так как при этом имеется соотношение между $a$ и $b$ ( $a^{2} \sim b$ ), то это дает в общем случае два дополнительных управляющих параметра для обращения в нуль $a$ (только один дополнительный параметр для $b$ ), так что соответствующий канонический росток 5 -параметрического семейства функций имеет вид
\[
E_{ \pm 6}: x^{\prime 3} \pm y^{\prime 4} .
\]
2.6. $l=2, k \geqslant 7$

Если пространство управляощих параметров имеет размерность, превышающую шесть, то имеющиеся семь степеней свободы могут быть использованы для удаления членов второй и третьей степени из разложения в ряд Тейлора (3.37). И в этом случае можно выполнить
– линейное преобразование (3.13hl), приводящее члены четвертой степени к некоторой канонической форме;
– нелинейное преобразование (3.13nl), чтобы избавиться от членов более высокой степени.

Однако линейное преобразование ( $3.13 \mathrm{hl}$ ) имеет четыре параметра $(\alpha, \beta, \gamma, \delta)$, в то время как члены четвертой степени определяются пятью коэффициентами ( $\left.t_{40}, t_{31}, t_{22}, t_{13}, t_{04}\right)$. Поэтому невозможно привести члены четвертой степени разложения к канонической форме, в которой все члены имеют канонические коэффициенты $\pm 1$ или 0 . Лучшее, что может быть достигнуто, – это каноническая форма, зависящая от одного $(1=5-4)$ параметра,
\[
\pm x^{\prime 4}+a x^{\prime 2} y^{\prime 2} \pm y^{\prime 4}, \quad a^{2}
eq 4 .
\]

Қаноническая форма кубических коэффициентов совершенно не зависит от параметров (для $b$ может быть назначено $\pm 1)$, так как имеется достаточно свободы в проведении линейного преобразования (четыре степени), для того чтобы задать однозначно четыре кубических коэффициента.
2.7. $l=3, k \geqslant 6$

Если число управляющих параметров больше пяти, то в $\mathrm{k}$-параметрическом семействе функций в общем случае можно встретить лишь неморсовские критические точки с тремя «плохими» переменными $x, y, z$. Разложение в ряд Тейлора функции $f_{N M}(x, y, z ; c)$ в критической точке $(x, y, z)=(0,0,0)$ имеет шесть квадратичных членов, десять кубических членов, …. Шесть из $k$ имеющихся степеней свободы могут быть использованы для того, чтобы обратить в нуль шесть квадратичных коэффициентов, а нелинейное преобразование можно попытаться использовать для приведения оставшейся части разложения в ряд Тейлора к стандартному виду. Рассуждения при этом совершенно аналогичны рассуждениям в случае двух переменных:
– найти линейное преобразование $(x, y, z) \rightarrow(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})$, приводящее кубические члены к стандартному виду;
– найти нелинейное осесохраняющее преобразование, удаляющее члены четвертой степени и выше.

Однако найденное линейное преобразование имеет девять степеней свободы, так как оно полностью определяется действительной квадратной матрицей порядка три, в то время как коэффициентов, параметризующих кубические члены, десять. Следовательно, любая каноническая форма для кубических членов разложения должна зависеть от одного действительного параметра. Одна из канонических форм имеет вид
\[
T_{3,3,3}: x^{\prime 3}+y^{\prime 3}+z^{\prime 3}+a x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}, \quad a^{3}
eq-27 .
\]
2.8. $l \geqslant 4$

Если $k \geqslant l(l+1) / 2$, то в $k$-параметрическом семействе функций можем ожидать лишь неморсовские критические точки, имеющие $b$ «плохих» переменных [сравните с (3.29)]. В разложении в ряд Тейлора такой функции в неморсовской критической точке имеется $l(l+1) / 2$ квадратичных членов, $l(l+1) \times$ $X(l+2) / 6$ кубических членов и т. д. После того как с помощью управляющих параметров удалим квадратичные члены, можно попытаться найти каноническую форму кубических членов. Линейная часть нелинейного преобразования имеет размерность $l^{2}$, так как оно задается квадратной матрицей порядка $l$. Это дает возможность получить каноническую форму, зависящую от
\[
\frac{l(l+1)(l+2)}{6}-l^{2}=\frac{l(l-1)(l-2)}{6}
\]

действительных параметров. Эти параметры будем называть модулями; росток, зависящий от $t$ модулей, назовем $t$-модальным, а росток, не зависящий от модулей, – нуль-модальным или простым.

Если известно, от скольких модулей зависит росток, то иногда легко догадаться, и какова его каноническая форма. Например, в случае $k$-параметрического семейства, если $k \geqslant$ $\geqslant 4(4+1) / 2=10$, в общем случае невозможно встретить неморсовскую критическую точку с четырьмя вырожденными собственными значениями. В 10-параметрическом семействе все 10 квадратичных коэффициентов могут одновременно обращаться в нуль. Поэтому каноническая форма кубических коэффициентов будет обязательно зависеть от четырех модулей (3.50). Это дает право предлсжить следующую каноническую форму для кубических членов:
\[
\begin{array}{c}
f_{N M}(x, y, z, \omega)= \\
=x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}+a_{1} y z w+a_{2} x z w+a_{3} x y w+a_{4} x y z .
\end{array}
\]

Теперь можно проверить, что гладкая замена переменных вида (3.2) с $A_{i}=0$ ( $\left.i=1,2,3,4\right)$ позволяет исключить все члены четвертой степени и выше, если только $a_{i}$ (3.51) случайно не подчиняются другим обязательным соотношениям.

В более общем случае $l$ «плохих» переменных состояния в $k$-параметрическом семействе $k \geqslant l(l+1) / 2$ можно также найти каноническую форму для кубических членов. Она, конечно, будет зависеть от ( $\left.\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$ модулей. Биномиальная природа этой числовой зависимости и вид формы (3.49) при $l=3$ и (3.51) при $l=4$ позволяют предположить, что общая каноническая форма при $l \geqslant 3$ имеет следующее представление:
\[
f_{N M}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{l}\right)=\sum_{i=1}^{l} x_{i}^{3}+\sum_{1 \leqslant i<l<k \leqslant l} a_{i j k} x_{i} x_{i} x_{k} .
\]

Здесь точно $\left(\begin{array}{l}l \\ 3\end{array}\right)$ различных коэффициентов $a_{i j k}$. Используя предполагаемый вид канонической формы и простые алгебраические преобразования, легко проверить, что гладкое преобразование переменных вида (3.2nl) может быть с успехом использовано для удаления всех членов четвертой степени и выше, если коэффициенты $a_{i j k}$ не подчиняются другим обязательным соотношениям.

Таким образом, в канонической форме кубических членов модули встречаются лишь тогда, когда количество «плохих» переменных состояния слишком велико $[l>2$ (3.50)] или если $l=2$, но количество управляющих параметров слишком велико $[k \geqslant 7$ (3.48)]. Модули совсем не встречаются в канонических формах при $l=1$ независимо от значения $k$.

Простые ростки (т. е. ростки, не зависящие от модулей) встречаются, когда $l=1, k$-произвольно или $l=2, k<7$, и полностью отсутствуют при значениях $l>3$. Однако при $l=3$ они могут встречаться только при $k=6$. Таким образом, при $k \leqslant 5$ все возможные ростки будут простые. Поэтому для списка элементарных (простых) катастроф Тома $k=5$ яв. ляется границей. При $k \geqslant 6$ существуют как устойчивые простые, так и непростые ростки (табл. 3.1). Простые ростки встречаются только при $l=1$ и $l=2$ :
\[
\begin{aligned}
A_{ \pm k}: & \pm x^{k+1}, \quad k=2,3, \ldots, \\
D_{ \pm k}: & x^{2} y \pm y^{k-1}, \quad k=4,5, \ldots, \\
E_{ \pm 6}: & x^{3} \pm y^{4}, \\
E_{ \pm 7}: & \pm\left(x^{3} y+y^{4}\right), \\
E_{8}: & x^{3}+y^{5} .
\end{aligned}
\]

Таблица 3.1. Простые и непростые ростки катастроф ${ }^{1}$ )
1) В $k$-параметрическом семействе функций с неморсовской критической точкой, имеющем $l$ кплохих» направлений, каноническге ростки могут быть простыми (S) или могут зависеть от модуля ( $M$ ). При $k \leqslant 5$ встречаются лишь простые ростки.