В основе коротковолновой асимптотики лежит тот факт, что распространение световой волны описывается интегралами от быстро осциллирующих функций, имеющих резко выраженный пик в узком конусе направлений. Представим себе, что волна длиной $\lambda$ распространяется от одной двумерной поверхности к другой. Предположим, что оптическая толщина среды между источником, расположенным в точке $x \in \mathbb{R}^{n}(n=2)$, и точкой наблюдения $\boldsymbol{\Omega} \in \mathbb{R}^{k}(k=2)$ есть $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$, а амплитуда сигнала, испущенного в точке $x$ и принятого в точке наблюдения $\boldsymbol{\Omega},-\psi(x ; \boldsymbol{\Omega})$. Тогда интенсивногть сигнала, принятого в $\boldsymbol{\Omega}$, определяется как
\[
\begin{array}{c}
I(\boldsymbol{\Omega})=|A(\boldsymbol{\Omega})|^{2}, \\
A(\boldsymbol{\Omega})=\frac{1}{\lambda} \iint \Psi(x ; \boldsymbol{\Omega}) e^{2 \pi i \Phi(x ; \boldsymbol{\Omega}) / \lambda} d^{2} x .
\end{array}
\]

Вектор $\boldsymbol{\Omega}$ можно трактовать как точку наблюдения в физическом пространстве $\mathbb{R}^{2}$ или, согласно иной геометрической интерпретации, как направление наблюдения. Поскольку $\boldsymbol{\Omega}$ может, вообще говоря, контролироваться наблюдателем, будем интерпретировать $\boldsymbol{\Omega}$ как систему управляющих параметров (без дальнейших уточнений). Тогда естественно рассматривать $x$ как систему переменных состояния.

Проанализируем $n$-мерный случай. Положим $k=1 / \lambda=$ $=2 \pi / \lambda$. Тогда соотношения (13.8) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
I(\boldsymbol{\Omega})=|A(\boldsymbol{\Omega})|^{2}, \\
A(\mathbf{\Omega})=(2 \pi)^{-n / 2} k^{n / 2} \int \psi(x ; \boldsymbol{\Omega}) e^{i k \boldsymbol{\Phi}(x ; \Omega)} d^{n} x .
\end{array}
\]

Чтобы выявить, какой вклад в интеграл (13.9) дает окрестность произвольной точки $x^{0}$ области интегрирования, разложим Ф и $\ln \psi$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x^{0}$ :
\[
\begin{array}{c}
\Phi(x ; \mathbf{\Omega})=\Phi\left(x^{0} ; \mathbf{\Omega}\right)+\delta x \cdot
abla \Phi+\ldots, \\
\ln \psi(x ; \mathbf{\Omega})=\ln \psi\left(x^{0} ; \mathbf{\Omega}\right)+\delta x \cdot
abla \ln \psi+\ldots
\end{array}
\]

С учетом этого разложения (13.9) можно представить как
\[
\begin{array}{l}
A_{x^{0}}(\boldsymbol{\Omega})=(2 \pi)^{-n / 2} k^{n / 2} \Psi\left(x^{0} ; \boldsymbol{\Omega}\right) e^{i k \Phi\left(x^{0} ; \Omega\right)} \times \\
\times \int_{N\left(x^{0}\right)}\left(e^{i k
abla \Phi+
abla \ln \psi)^{\delta x} d^{n} x,}\right.
\end{array}
\]

где $N\left(x^{0}\right)$ – малая окрестность точки $x^{0}$ (в данном случае мы пренебрегаем членами более высокого порядка в разложении экспоненты). Оценка $n$-мерного интеграла в (13.11) сводится к последовательному нахождению $n$ одномерных интегралов вида
\[
k^{1 / 2} \int_{\delta x=-\varepsilon}^{\delta x=+\varepsilon} e^{(i k A+B) \delta x} d x=k^{1 / 2} \frac{e^{(i k A+B) \varepsilon}-\bar{e}^{(i k A+B) \varepsilon}}{i k A+B} .
\]

Выбирая $\varepsilon$ так, чтобы $\varepsilon k A=2 \pi \times$ (целое число), это выражение можно свести к
\[
k^{1 / 2} \frac{2 \operatorname{sh} \varepsilon B}{i k A+B} \underbrace{\varepsilon \rightarrow 0}_{i k} \frac{2 k^{1 / 2} B \varepsilon}{i k A+B} \xrightarrow{\lambda \rightarrow 0} 0 .
\]

Последний предельный переход допустим, когда $A
eq 0$. Пока $
abla \Phi\left(x^{0} ; \boldsymbol{\Omega}\right)
eq 0$, окрестность $N\left(x^{0}\right)$ можно всегда выбрать так, чтобы каждый из одномерных интегралов (13.12) обращался в нуль при предельном переходе $\lambda \rightarrow 0$.

Поскольку окрестности некритических точек дают нулевой вклад в амплитуду $A(\boldsymbol{\Omega})$, интеграл в (13.9) при $\lambda \rightarrow 0$ можно достаточно точно оценить, рассматривая лишь вклад окрестностей критических точек $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$. В этих малых окрестностях функцию $\psi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ можно принять равной константе, так что
\[
\begin{array}{c}
A(\boldsymbol{\Omega}) \simeq \sum_{r=1}(2 \pi)^{-n / 2} k^{n / 2} \psi\left(x^{(r)} ; \boldsymbol{\Omega}\right) \int e^{i k \Phi\left(x^{(r)}+\delta x ; \Omega\right)} d^{n} x, \\

abla \Phi\left(x^{(r)} ; \mathbf{\Omega}\right)=0 .
\end{array}
\]

Описанный метод оценки значений интегралов от быстро осциллирующих функций, основанный на интегрировании лишь по окрестностям точек, в которых фаза $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega}) / \lambda$ меняется медленно, называют методом стационарной фазы.

Оценим интеграл (13.9) в окрестности критической точки Морса. Для этого, во-первых, не будем принимать во внимание вариации $\psi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ в окрестности этой точки (если только $\psi$ не оказывается близким к нулю), во-вторых, разложим $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ в ряд Тейлора в окрестности $x^{0}$ :
\[
\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})=\Phi\left(x^{0} ; \boldsymbol{\Omega}\right)+\frac{1}{2} \delta x_{i} \delta x_{j} \Phi_{i j}+\ldots
\]

и, в-третьих, исключим члены более высокой степени. Затем с помощью ортогонального преобразования приведем $\Phi_{i j}$ к диагональному виду
\[
\begin{array}{c}
(2 \pi)^{-n / 2} k^{n / 2} \int \psi(x ; \mathbf{\Omega}) e^{i k \Phi(x ; \Omega)} d^{n} x \rightarrow \\
\rightarrow \psi\left(x^{0} ; \boldsymbol{\Omega}\right) e^{i k \Phi\left(x^{0} ; \Omega\right)} \prod_{j=1}^{n}\left[\left(\frac{k}{2 \pi}\right)^{1 / 2} \int e^{(1 / 2) i k \lambda_{j}\left(\delta x_{j}\right)^{2}} d x_{j}\right]= \\
=\psi\left(x^{0} ; \mathbf{\Omega}\right) e^{i k \Phi\left(x^{0} ; \Omega\right)} \prod_{j=1}^{n}\left(\left|\lambda_{j}\right|^{-1 / 2} e^{ \pm i \pi / 4}\right),
\end{array}
\]

где знак «十» или «-» выбирается согласно знаку собственного значения $\lambda_{i}
eq 0$. Вклад окрестности критической точки Морса в интеграл от быстро осциллирующей функции может быть выражен в виде
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{k}{2 \pi}\right)^{n / 2} \int_{N\left(x^{0}\right)} \psi(x ; \boldsymbol{\Omega}) e^{i k \Phi(x ; \Omega)} d^{n} x \simeq \\
\simeq \psi\left(x^{0} ; \boldsymbol{\Omega}\right) e^{i k \Phi\left(x^{0} ; \Omega\right)} \frac{e^{i t_{\pi} / 4}}{\left|\operatorname{det} \Phi_{i j}\left(x^{0} ; \boldsymbol{\Omega}\right)\right|^{1 / 2}} .
\end{array}
\]

Здесь $t=(n-i)-i=n-2 i-$ индекс инерции $i$-седловой точки Морса ( $t=n$ в случае локального минимума).