Если $g_{ij}$-положительно определенная симметрическая $(n\times n)$-матрица и $g^{ij}$ — обратная ей матрица $(g^{ij}{g}_{jk}={\delta }_k^i)$, то
$$⟨x^i{x}^j⟩=\frac{\int \cdots \int x^i{x}^j{e}^{-(1/2)g_{rs}{x}^r{x}^s}d{x}^1\dots d{x}^n}{\int \cdots \int e^{-(1/2)g_{rs}{x}^r{x}^s}d{x}^1\dots d{x}^n}=g^{ij}.$$

Этот результат можно доказать следующим образом:
1. $⟨x^i{x}^j⟩$ являются компонентами контравариантного тензора второго ранга, который симметричен. То же справедливо для $g^{ij}$.
2. Равенство (10.130) справедливо в одной конкретной системе координат, а именно в системе, где $g_{..}=g\cdot =I_n$.
3. Поэтому оно справедливо во всех системах координат.
В окрестности любой точки ( $i_{\alpha };E^{\beta })$ критического многообразия имеют место флуктуации интенсивных $\delta i_{\alpha }$ и экстенсивных $\delta E^{\beta }$ переменных. Эти флуктуации могут быть равновесными или неравновесными, причем в первом случае приращения $\delta i_{\alpha }$ и $\delta E^{\beta }$ связаны через тензор восприимчивости. Неравновесные флуктуации происходят вокруг точки ( $i_{\alpha };E^{\beta })$ в ${\mathbb{R}}^n\otimes {\mathbb{R}}^n$; равновесные флуктуации имеют место только в $n$-мерном пространстве, касательном к критическому многообразию в точке $(i_{\alpha },E^{\beta })$. Неравновесные и равновесные флуктуации описываются функциями распределения вероятностей $\mathcal{P}$ и $P$ соответственно, которые определяются как.
$$\begin{array}{c}\mathcal{P}(\delta i_{\alpha };\delta E^{\beta })\simeq e^{\delta S/k}\simeq e^{-{\delta }^{(2)}\mathcal{U}/kT},\\ P\left(\delta E^{\beta }\right)\simeq e^{\delta S/k}\simeq e^{-{\delta }^{(2)}U/kT}.\end{array}$$

Положительно определенные выражения ${\delta }^{(2)}\mathcal{U}$, ${\delta }^{(2)}U$ представлены в (10.75iі). Эти выражения совместно с (10.130) приводят к простым соотношениям для ожидаемых значений неравновесных и равновесных флуктуаций. В неравновесном случае
$${\left[\begin{array}{cc}⟨\delta i_r\delta i_s⟩& ⟨\delta i_r\delta E^{\beta }⟩\\ ⟨\delta E^{\alpha }\delta i_s⟩& ⟨\delta E^{\alpha }\delta E^{\beta }⟩\end{array}\right]}_{NE}=kT{\left[\begin{array}{cc}{\mathcal{U}}^{rs}& {\mathcal{U}}_{\beta }^r\\ {\mathcal{U}}_{\alpha }^s& {\mathit{U}}_{\alpha \beta }\end{array}\right]}^{-1}.$$

Таким образом, смешанные вторые частные производные потенциала $\mathcal{U}$ могут быть выражены через неравновесные флуктуации.
В равновесном случае ${\delta }^{(2)}U=\frac{1}{2}{U}_{\alpha \beta }\delta E^{\alpha }\delta E^{\beta }$ и
$$\frac{⟨\delta E^{\alpha }\delta E^{\beta }⟩}{kT}=U^{\alpha \beta },\frac{⟨\delta i_{\alpha }\delta E^{\beta }⟩}{kT}={\delta }_{\alpha }^{\beta },\frac{⟨\delta i_{\alpha }\delta i_{\beta }⟩}{kT}=U_{\alpha \beta }.$$

Пример. Для однокомпонентной системы из (10.133) немедленно получаем
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}⟨\delta S\delta S⟩& ⟨\delta S\delta V⟩\\ ⟨\delta V\delta S⟩& ⟨\delta V\delta V⟩\end{array}\right]=kT\left[\begin{array}{cc}\frac{C_P}{T}& V{\alpha }_P\\ V{\alpha }_P& V{\beta }_T\end{array}\right],\\ \left[\begin{array}{cc}⟨\delta T\delta S⟩& ⟨\delta T\delta V⟩\\ ⟨-\delta P\delta S⟩& ⟨-\delta P\delta V⟩\end{array}\right]=kT\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\\ \left[\begin{array}{cc}⟨\delta T\delta T⟩& ⟨-\delta T\delta P⟩\\ ⟨-\delta P\delta T⟩& ⟨\delta P\delta P⟩\end{array}\right]=kT\left[\begin{array}{cc}\frac{T}{C_V}& -\frac{T}{{\mathrm{\Gamma }}_V}\\ -\frac{T}{{\mathrm{\Gamma }}_V}& \frac{1}{V{\beta }_S}\end{array}\right].\end{array}$$