Если $g_{i j}$-положительно определенная симметрическая $(n \times n)$-матрица и $g^{i j}$ – обратная ей матрица $\left(g^{i j} g_{j k}=\delta_{k}^{i}\right)$, то
\[
\left\langle x^{i} x^{j}\right\rangle=\frac{\int \cdots \int x^{i} x^{j} e^{-(1 / 2) g_{r s} x^{r} x^{s}} d x^{1} \ldots d x^{n}}{\int \cdots \int e^{-(1 / 2) g_{r s} x^{r} x^{s}} d x^{1} \ldots d x^{n}}=g^{i j} .
\]

Этот результат можно доказать следующим образом:
1. $\left\langle x^{i} x^{j}\right\rangle$ являются компонентами контравариантного тензора второго ранга, который симметричен. То же справедливо для $g^{i j}$.
2. Равенство (10.130) справедливо в одной конкретной системе координат, а именно в системе, где $g_{. .}=g \cdot=I_{n}$.
3. Поэтому оно справедливо во всех системах координат.
В окрестности любой точки ( $\left.i_{\alpha} ; E^{\beta}\right)$ критического многообразия имеют место флуктуации интенсивных $\delta i_{\alpha}$ и экстенсивных $\delta E^{\beta}$ переменных. Эти флуктуации могут быть равновесными или неравновесными, причем в первом случае приращения $\delta i_{\alpha}$ и $\delta E^{\beta}$ связаны через тензор восприимчивости. Неравновесные флуктуации происходят вокруг точки ( $\left.i_{\alpha} ; E^{\beta}\right)$ в $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{n}$; равновесные флуктуации имеют место только в $n$-мерном пространстве, касательном к критическому многообразию в точке $\left(i_{\alpha}, E^{\beta}\right)$. Неравновесные и равновесные флуктуации описываются функциями распределения вероятностей $\mathscr{P}$ и $P$ соответственно, которые определяются как.
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{P}\left(\delta i_{\alpha} ; \delta E^{\beta}\right) \simeq e^{\delta S / k} \simeq e^{-\delta^{(2)} \mathcal{U} / k T}, \\
P\left(\delta E^{\beta}\right) \simeq e^{\delta S / k} \simeq e^{-\delta^{(2)} U / k T} .
\end{array}
\]

Положительно определенные выражения $\delta^{(2)} \mathcal{U}$, $\delta^{(2)} U$ представлены в (10.75iі). Эти выражения совместно с (10.130) приводят к простым соотношениям для ожидаемых значений неравновесных и равновесных флуктуаций. В неравновесном случае
\[
\left[\begin{array}{cc}
\left\langle\delta i_{r} \delta i_{s}\right\rangle & \left\langle\delta i_{r} \delta E^{\beta}\right\rangle \\
\left\langle\delta E^{\alpha} \delta i_{s}\right\rangle & \left\langle\delta E^{\alpha} \delta E^{\beta}\right\rangle
\end{array}\right]_{N E}=k T\left[\begin{array}{cc}
\mathcal{U}^{r s} & \mathcal{U}_{\beta}^{r} \\
\mathcal{U}_{\alpha}^{s} & \boldsymbol{U}_{\alpha \beta}
\end{array}\right]^{-1} .
\]

Таким образом, смешанные вторые частные производные потенциала $\mathcal{U}$ могут быть выражены через неравновесные флуктуации.
В равновесном случае $\delta^{(2)} U=\frac{1}{2} U_{\alpha \beta} \delta E^{\alpha} \delta E^{\beta}$ и
\[
\frac{\left\langle\delta E^{\alpha} \delta E^{\beta}\right\rangle}{k T}=U^{\alpha \beta}, \frac{\left\langle\delta i_{\alpha} \delta E^{\beta}\right\rangle}{k T}=\delta_{\alpha}^{\beta}, \frac{\left\langle\delta i_{\alpha} \delta i_{\beta}\right\rangle}{k T}=U_{\alpha \beta} .
\]

Пример. Для однокомпонентной системы из (10.133) немедленно получаем
\[
\begin{array}{c}
{\left[\begin{array}{cc}
\langle\delta S \delta S\rangle & \langle\delta S \delta V\rangle \\
\langle\delta V \delta S\rangle & \langle\delta V \delta V\rangle
\end{array}\right]=k T\left[\begin{array}{cc}
\frac{C_{P}}{T} & V \alpha_{P} \\
V \alpha_{P} & V \beta_{T}
\end{array}\right],} \\
{\left[\begin{array}{cc}
\langle\delta T \delta S\rangle & \langle\delta T \delta V\rangle \\
\langle-\delta P \delta S\rangle & \langle-\delta P \delta V\rangle
\end{array}\right]=k T\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right],} \\
{\left[\begin{array}{cc}
\langle\delta T \delta T\rangle & \langle-\delta T \delta P\rangle \\
\langle-\delta P \delta T\rangle & \langle\delta P \delta P\rangle
\end{array}\right]=k T\left[\begin{array}{cc}
\frac{T}{C_{V}} & -\frac{T}{\Gamma_{V}} \\
-\frac{T}{\Gamma_{V}} & \frac{1}{V \beta_{S}}
\end{array}\right] .}
\end{array}
\]