Для описания фазовых переходов второго рода чрезвычайно полезным инструментом является модель Гинзбурга — Ландау. Суть этой модели состоит в следующем. Для описания состояния физической системы вводится параметр порядка $x$. Полная энергия системы представляется в виде суммы членов, описывающих кинетическую $\left(\sim(d x / d t)^{2}\right)$ и потенциальную $V(x)$ энергию. Последняя зависит как от внешних управляющих параметров, так и от переменной состояния $x$. Состояние покоя системы достигается в результате минимизации суммы этих двух членов. В статическом случае $(d x / d t=0)$ состояние системы определяется величиной $x$, минимизирующей $V(x)$. Часто либо система подчиняется (либо для нее постулируется) некоторому принципу симметрии, сужающему возможный вид потенциальных функций до класса четных функций от $x$. Потенциал Гинзбурга — Ландау
\[
V(x ; a)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a x^{2}
\]

имеет единственный минимум в точке $x=0$ при $a \geqslant 0$ и два равных минимума в $x= \pm \sqrt{-a}$ при $a<0$ (рис. 10.1). Фазовый переход второго рода прсисходит при переходе $a$ через нуль.

Модель Гинзбурга — Ландау часто используют для термодинамического описания фазовых переходов второго рода. В этом случае управляющий параметр $a$ в окрестности критической температуры $T_{c}$ идентифицируется с $T-T_{c}$, а бифуркационная фазовая диаграмма представляет собой стандартный трезубец, изображенный на рис. 10.2 .

С экспериментальной точки зрения в поведении фазовых переходов второго рода наблюдаются такие «особенности», которые отнюдь не следуют с очевидностью из модели (10.6a). Так, например, фазовый переход второго рода попросту исчезает при произвольно малых возмущениях, нарушающих симметрию, или

Рис. 10.1. Потенциал $V(x ; a)$ имеет единственный минимум в точке $x=a$ при $a \geqslant 0$ и два равных минимума в точке $x= \pm(-a)^{1 / 2}$ при $a \leqslant 0$.

Рис. 10.2. Сечение многообразия катастрофы сборки плоскостью симметрии $b=0$ имеет вид трезубца.
При температурах виже критической ( $T_{c}$ ) наблюдаются два устойчивых состояния, а выше — только одно.

может вновь возникнуть в какой-либо отдаленной точке в виде фазового перехода нулевого или первого рода. Эта особенность поведения связана со структурной неустойчивостью фазовых переходов второго рода.

Для более подробного изучения модели Гинзбурга-Ландау (10.6a), включающего анализ влияния членов, нарушающих симметрию, необходимо исследовать наиболее общий вид возмущения потенциальной функции, т. е. катастрофу сборки
\[
V(x ; a, b)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x .
\]

Проиллюстрируем общие понятия, описанные в разд. 1, на трех примерах с катастрофой сборки.
Пример 0. Будем придерживаться принципа максимального промедления и проследуем по кривой 0 (рис. 10.3). В данном случае существенной является сепаратриса, которая представляет собой бифуркационное множество $\mathscr{P}_{B}$, состоящее из двух линий складок. Фазовый переход происходит в точке $X$, где переменная состояния системы перескакивает с исчезающего правого минимума в $x^{(r)}=\sqrt{-a / 3}$ на глобальный левый минимум в $x^{(l)}=-2 \sqrt{-a / 3}$. Критические значения для правой и левой ветвей равны
\[
V^{(r)}=a^{2} / 12, \quad V^{(l)}=-2 a^{2} / 3 .
\]

Поскольку в точке $X$ изменение яначения потенциала отлично от нуля:
\[
\Delta V \mathrm{I}_{\delta_{B}}=V^{(t)} V^{(r)}=-\frac{3}{4} a^{2}
\]

мы имеем дело с фазовым переходом нулевого рода. Величина скачка зависит только от положения точки, в которой кривая 0 пересекает линию складки, и не зависит от направления пути в этой точке.
Пример 1. На этот раз будем придерживаться принципа Максвелла и проследуем по кривой 1 (рис. 10.3). В данном случае существенной является сепаратриса, которая представляет собой максвелловское множество $\mathscr{P}_{\text {м }}$, состоящее из полупрямой ( $a<0, b=0)$. Фазовый переход происходит в точке $X$, где переменная состояния системы перескакивает с правого минимума в

Рис. 10.3. Порядок фазового перехода зависит от принятого принципа и пути следования.
Переход нулевого рода происходит на пути 0 , если справедлив принцип максимального промедления, переход первого рода происходит на пути $I$ в случае справедливости принципа Максвелла, переход второго рода происходит на пути 2. Значком $X$ обозва чена точка разрыва.
$x^{(r)}=\sqrt{-a}$ на левый минимум в $x^{(t)}=-\sqrt{-a}$. Потенциальная функция в этих точках имеет равные численные значения $V^{(r)}=V^{(t)}=-a^{2} / 4$, однако первая производная вдоль кривой 1 терпит разрыв на максвелловском множестве. Величину скачка можно определить, вычислив значение
\[
\frac{d}{d s} V(x ; a, b)=\frac{\partial V}{\partial x} \frac{d x}{d s}+\frac{\partial V}{\partial a} \frac{d a}{d s}+\frac{\partial V}{\partial b} \frac{d b}{d s},
\]

на максвелловском множестве. Производные $d a / d s, d b / d s$ можно интерпретировать, как направляющие косинусы, а $d b / d a=(d b / d s) /(d a / d s)=\operatorname{tg} \theta$, как показано на рис. 10.3. Поскольку $d V / d x=0$,
\[
\begin{aligned}
\left.\Delta \frac{d V}{d s}\right|_{\delta_{M}} & =\left(\frac{1}{2} x^{2} \cos \theta+x \sin \theta\right)^{(t)}-\left(\frac{1}{2} x^{2} \cos \theta+x \sin \theta\right)^{(r)}= \\
& =-2 \sqrt{-a} \sin \theta .
\end{aligned}
\]

Эта функция описывает фазовый переход первого рода, так как ее первая производная претерпевает разрыв непрерывности, зависящий не только от положения точки фазового перехода, но и от направления кривой равновесия при ее пересечении максвелловского множества.

Пример 2. Рассмотрим теперь кривую 2 на рис. 10.3 (точка фазового перехода помечена знаком $X$ ). Вдоль этой кривой $s=0$ и
\[
V(s)=0, \quad s \geqslant 0 ; \quad V(s)=-s^{2} / 4, \quad s \leqslant 0 .
\]

При $s=0$ как сам потенциал, так и его первая производная непрерывны, однако вторая производная терпит разрыв, поскольку
\[
\Delta \frac{d^{2} V}{d s^{2}}=\frac{d^{2} V^{(1)}}{d s^{2}}-\frac{d^{2} V^{(0)}}{d s^{2}}=-\frac{1}{2},
\]

где верхний индекс (1) указывает, что значение потенциала берется на любой из ветвей с ненулевым решением ( $s<0$ ), а индекс (0) обозначает нулевую ветвь $(s>0$ ) при $s \rightarrow 0 \pm$. Этот фазовый переход вдоль кривой 2 является переходом второго рода.

Фазовый переход второго рода является локальным, в то время как фазовые переходы нулевого и первого рода нелокальны.

Фазовые переходы, которые не являются переходами ни нулевого, ни первого и ни второго рода, невозможно описать типичными путями в пространстве управляющих параметров катастрофы сборки. Их можно описать путями в пространстве управляющих параметров катастроф более высокой размерности. $\diamond \diamond \diamond$ Не всякий фазовый переход точно укладывается в схему классификации Эренфеста.
$\diamond \diamond \diamond$ При соблюдении принципа Максвелла бифуркационное множество катастрофы сборки состоит из полупрямой ( $a<0$, $b=0$ ), соответствующей фазовым переходам первого рода, и граничной точки ( $a=0, b=0$ ), соответствующей фазовому переходу второго рода.
$\diamond \diamond \diamond$ Неочевидное поведение фазовых переходов второго рода при наличии возмущений, отмеченное в начале данного раздела, имеет совершенно естественную интерпретацию в рамках элементарной теории катастроф. Потенциал Гинзбурга — Ландау (10.6a) является наиболее общим однопараметрическим семейством четных функций, содержащих неморсовский росток. Для этого семейства могут иметь место только фазовые переходы второго рода. При нарушении симметрии возможно появление возмущений более общего вида, причем для потенциала Гинзбурга — Ландау (10.6a) таким возмущением является катастрофа сборки (10.6б). При произвольно малых возмущениях, нарушающих симметрию, путь в пространстве управляющих параметров не проходит через точку сборки $(a, b)=(0,0)$, поэтому фазовый переход второго рода исчезает. Если, однако, принят принцип Максвелла и возмущенный путь пересекает максвелловское множество ( $a<0, b=0$ ) в точке, вообще говоря, не слишком близкой к $a=0$, то возникает фазовый переход первого рода. Если же принят принцип максимального промедле-

Рис. 10.4. Одной точке в пространстве $R^{4}$ управляющих параметров могут соответствовать несколько критических точек.
Окрестность каждой изолированной критической точки, принадлежащей $k$-мерному критическому многообразию, можно параметризовать точками из окрестности $N \in \mathrm{k}^{k}$ точки соответствующего управляющего параметра или из окрестностей $C_{1}, C_{2}, C_{3}, \ldots$ в некотором $k$-мерном подпространстве из $\mathrm{R}^{n} \otimes \mathrm{R}^{k}$.

ния и путь пересекает соответствующую линию складки [опять же, вообще говоря, далекую от ( $a=0, b=0)$ ], то наблюдается фазовый переход нулевого рода.