3.1. Катастрофы типа $A_{2}$

Предположим, что $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n} ; c\right)$ – общее 1-параметрическое семейство потенциальных функций. Тогда при исследовании этого семейства можно встретить отдельные функции, которые имеют неморсовские критические точки. Для таких функций разложение (2.3б) имеет место в некоторой окрестности критической точки (гл. 3, разд. 4). В действительности для любой функции, расположенной вблизи неморсовской функции, имеет место разложение (2.4) (гл. 4, разд. 4). Поскольку на морсовскую часть этого разложения возмущение качественно не влияет, можно ограничиться лишь изучением зависимости качественных изменений в поведении функции катастрофы от управляющих параметров ${ }^{1}$ ).
Катастрофа $A_{2}$ задается формулой
\[
A_{2}: \quad F(x ; a)=\frac{1}{3} x^{3}+a x,
\]

при этом коэффициенты в простых ростках катастроф могут быть выбраны равными каноническим значениям, подобным $\pm 1$. В тех случаях, когда берутся производные, могут быть выбраны другие канонические значения с помощью изменения масштабов. Для удобства такие же множители могут быть введены и в возмущение.

Критические и дважды вырожденные критические точки $F$ ( $x$; a) определяются соответственно из условий равенства нулю градиента $F(x ; a)$ и $d^{2} F / d x^{2}=0$ :
\[
\begin{aligned}
x^{2}+a & =0, \\
2 x & =0 .
\end{aligned}
\]
1) Вышеизложенные соображения справедливы при рассмотрении катастрофы любого типа, поэтому мы не будем повторять их при анализе других катастроф.

Дважды вырожденная критическая точка расположена в точке пространства $\mathbb{R}^{2}$ с координатами $x=0$ из $(5.4 ; 2)$ и $a=0$ из $(5.4 ; 1)$. Таким образом, изолированная точка $a=0$ является сепаратрисой пространства управляющих параметров, разделяющей функции двух качественно различных видов. Для определения этих видов требуется выбрать некоторое $a>0$ и определить качественные изменения в поведении функции $F(x ; a)$.

Рис. 5.3. Все функции $F(x ; a)=\frac{1}{3} x^{3}+a x$ с $a>0$ являются функциями качественно одного и того же типа, не имеющими критических точек. Все функции с $a<0$ также качественно подобны. Два качественно различных типа кривых имеют общую границу, сєпаратрису $a=0$.

Тогда из (5.4) следует, что все функции $F(x ; a)$ с $a>0$ качественно идентичны (не имеют кэитических точек).

Аналогичное рассмотрение может быть выполнено и в случае функции $F(x ; a)$ с $a<0$ (рис. 5.3).
3.2. Катастрофы типа $\boldsymbol{A}_{3}$

Критические, дважды вырожденные критические и трижды вырожденные критические точки катастрофы $A_{3}$ определяются приравниванием соответственно первой, второй и третьей производных $F(x ; a, b)$ нулю:
\[
\begin{array}{c}
A_{3}: F(x ; a, b)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x, \\
x^{3}+a x+b=0, \\
3 x^{2}+a=0, \\
6 x=0 .
\end{array}
\]

Условие $(5.5 ; 1)$ выполняется в критических точках; условия $(5.5 ; 1)$ и $(5.5 ; 2)$ – в дважды вырожденных критических точках, а условия $(5.5 ; 1)-(5.5 ; 3)$ – в трижды вырожденных критических точках. Положение в пространстве параметров точки, которая описывает функцию с трижды вырожденной критической точкой, определяется как
\[
(5.53 😉 \Rightarrow x=0 \stackrel{(5.5 ; 2)}{\Rightarrow} a=0 \stackrel{(5.5 ; 1)}{\Rightarrow} b=0 .
\]

Соответствующая функция $F(x ; 0,0)=x^{4} / 4$ имеет трижды вырожденную критическую точку в начале координат,

Точки пространства управляющих параметров, которые параметризуют функции с дважды вырожденными критическими точками, определяются из уравнений $(5.5 ; 2)$ и $(5.5 ; 1)$ :
\[
(5.5 ; 2) \Rightarrow a=-3 x^{(5.5 ; 1)} \Rightarrow b=2 x^{3} .
\]

Если положение дважды вырожденной критической точки обозначить через $x_{c}$, то формула (5.7) дает значения управляющих параметров $a$ и $b$, которые описывают функцию с дважды вырожденной критической точкой $x_{c}$.

Уравнения (5.7) определяют параметрическое представление связи между $a$ и $b$. Более прямое выражение для связи между $a$ и $b$ может быть получено, если исключить $x_{c}$ из (5.7):
\[
\begin{array}{c}
\left(-\frac{a}{3}\right)^{1 / 2}=x=\left(\frac{b}{2}\right)^{1 / 3}, \\
\left(-\frac{a}{3}\right)^{3}=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}, \\
\left(\frac{a}{3}\right)^{3}+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=0 .
\end{array}
\]

Кривые, задаваемые уравнением (5.8), изображены на рис. 5.4.
Сепаратриса пространства управляющих параметров состоит из точки $(a, b)=(0,0)$, координаты которой определяются с помощью формулы (5.6), и «линии складки», описываемой уравнением (5.8). Чтобы определить качественное поведение функций $F(x ; a, b)$, параметризуемых точками области $\mathrm{I}$, достаточно выбрать любую точку из этой области и изучить качественные изменения в поведении соответствующей функции. Возьмем для простоты точку $(a, b)=(+1,0)$. Тогда уравнение $(5.5 ; 1)$ имеет лишь одно действительное решение $x=0$ и это решение определяет минимум. Поэтому в силу (5.3) все функции, параметризуемые управляющими параметрами из области I, имеют единственный минимум. Аналогично определяется качественное поведение функций, параметризуемых точками из области III.

Рис. 5.4. Сепаратриса катастрофы сборки, определяемая уравнениями $d F / d x=0, d F^{2} / d x^{2}=0$, разделяет пространство управляющих параметров на две открытые области, представляющие функции с одной критической точкой или функции с тремя критическими точками.
Точки на линиях складок (5.8) представляют неморсовские функции, а точка в начале координат $R^{2}$ – функцию $x^{4} / 4$, нмеющую трижды вырожденную критическую точку в начале координат R!. Селаратриса имеет компоненты размерности 1 (линии складки, при $a b
eq 0$ ) и размерности 0 . На рисунке изображены также потенциальные функции, соответствующие некоторым точкам плоскости $R^{2}$ управляющих параметров.

Удобной для нас точкой в этой области является $(a, b)=(-1$, $0)$ : в этой точке уравнение $(5.5 ; 1)$ имеет три решения – локальный максимум в $x=0$ и два локальных минимума в $x=+1$, $x=-1$. Следовательно, все функции, параметризуемые точками области III, должны иметь два локальных минимума и один локальный максимум.

Что касается функций, параметризуемых точками линии складки, то в точке 2 (рис. 5.4) управляющие параметры $a$ и $b$ имеют отрицательные значения. Из (5.7) следует, что соответствующая дважды вырожденная критическая точка $x_{c}$ должна также иметь отрицательное значение. Так как сумма трех корней уравнения $(5.5 ; 1$ ) равна нулю (в силу того что коэффициент при квадратичном члене нуль), а два вырожденных корня отрицательны, то третий корень должен быть положительным. Следовательно, вдоль левой кривой сборки локальный максимум и левосторонний минимум должны быть вырожденными. Аналогично в точке 2 локальный максимум и правосторонний минимум становятся вырожденными (рис. 5.4). На пересечении двух линий складки в точке $(a, b)=(0,0)$ локальный максимум и два минимума соответствующей функции вырождены.
3.3. Катастрофы типа $\boldsymbol{A}_{4}$

Критические точки вырожденности $j$ (изолированные критические точки имеют $j=1$ ) могут быть получены приравниванием первых производных $F(x ; a, b, c)$ нулю:
\[
A_{4}: \quad F(x ; a, b, c)=\frac{1}{5} x^{5}+\frac{1}{3} a x^{3}+\frac{1}{2} b x^{2}+c x .
\]
1. Критические точки:
\[
x^{4}+a x^{2}+b x+c=0 \text {. }
\]
2. Дважды вырожденные:
\[
4 x^{3}+2 a x+b=0 \text {. }
\]
3. Трижды вырожденные:
\[
12 x^{2}+2 a=0 \text {. }
\]
4. Четырежды вырожденные: $24 x$
\[
=0 \text {. }
\]

Четырежды вырожденные критические точки определяются так же точно, как в (5.6):
\[
(5.9 ; 4) \Rightarrow x=0 \stackrel{(5.9 ; 3)}{\Rightarrow} a=0 \stackrel{(5.9 ; 2)}{\Rightarrow} b=0 \stackrel{(5.9 ; 1)}{\Rightarrow} c=0 .
\]

Это означает, что функция $F(x ; 0,0,0)$ имеет четырежды вырожденную критическую точку $x=0$.

Линии, соединяющие точки, которые характеризуют поведение функции с трижды вырожденными критическими точками, имеют следующее параметрическое представление в пространстве управляющих параметров $\mathbb{R}^{3}$ (рис. 5.6):

Такое представление может быть получено следующим образом.
Точки, характеризующие функции с дважды вырожденными критическими точками, образуют поверхность, которая в пространстве параметров $\mathbb{R}^{3}$ может быть представлена как
\[
(5.9 ; 2) \Rightarrow b=-4 x^{3}-2 a x \stackrel{(5.9 ; 1)}{\Rightarrow} c=3 x^{4}+a x^{2},
\]
т. е. в параметрическое представление двумерной поверхности, определяемой (5.12), входят как координата дважды вырожденной критической точки $x$, так и значение управляющего параметра $a$. Для изучения этой поверхности используем следующее наблюдение: если вводить новый масштаб по $x$ с помощью множителя $\lambda$, а по $a$ – с помощью множителя $\lambda^{2}$, то при этом $b$ умножается на множитель $\lambda^{3}$, а $c$ – на $\lambda^{4}$ :
Если
\[
\begin{array}{ll}
x \rightarrow \lambda x \\
a \rightarrow \lambda^{2} a,
\end{array} \text { тогда } \quad \begin{array}{l}
b \rightarrow \lambda^{3} b \\
c \rightarrow \lambda^{4} c .
\end{array}
\]

Таким образом, необходимо лишь определить поперечное сечение $b$-c поверхности (5.12) в трех плоскостях, скажем, $a=$ $=+1, a=0, a=-1$. Затем изменяя масштаб в этих попе-

Рис. 5.5. Поперечные сечения $a=+1, a=0, a=-1$ сепаратрисы $A_{4}$ в пространстве $\mathbb{R}^{3}$, дающие параметрическје представление (5.12) для $b$ и $c$.
Сечения находятся фиксацией соответствующего значения $a$ ( $x$ меняется).
речных сечениях и используя формулы (5.13), получим всю поверхность. Поперечные сечения, изображенные на рис. 5.5 , получены при фиксированных значениях $a$. Если собрать эти поперечные сечения вместе, то, изменяя масштаб, получим поверхность, изображенную на рис. 5.6. Данная поверхность делит $R^{3}$ на три открытые области. Качественное поведение функций, параметризуемых точками любой одной области, одинаково и изменяется только при прохождении сквозь эту поверхность.

Чтобы определить качественный тип любой области, достаточно рассмотреть любую ее точку, например точки $0,2,4$ (рис. 5.5). Уравнение $\left(x^{2}\right)^{2}+a x^{2}+c=0$ имеет решение
\[
x= \pm\left[-(a / 2) \pm \sqrt{(a / 2)^{2}-\mathrm{c}}\right]^{1 / 2}
\]
$n р и a>0$ : два вещественных корня, если $c<0$, и ни одного вещественного корня, если $c>0$; при $a<0$ : два вещественных корня, если $c<0$, четыре вещественных корня, если $0<c<$

$<(a / 2)^{2}$, ни одного вещественного решения, если $0<c<$ $<(a / 2)^{2}$.

Интерес может также представлять тип функций, соответствующих точкам поверхности (5.12) на ребрах (5.11) или на

Рис. 5.6. При построении сепаратрисы катастрофы $A_{4}$ в пространстве $R^{3}$ три поперечных сечения, изображенные на рис. 5.5, могут быть соединены вместе посредством пересчетных соотношений (5.13).

Рис. 5.7. Любая точка сепаратрисы, изображенной на рис. 5.6, представляет неморсовскую функцию.
Здесь изображены некоторые морсовские функции, ассоцинрованные с различными компонентами сепаратрисы.

линии самопересечения. Из (5.12) следует, что в точке 2 (рис. 5.7) при $x=0$ имеется дважды вырожденная критическая точка, так что изолированные критические точки встречаются как справа, так и слева от нее. Согласно (5.11), получаем, что
в точке 1 трижды вырожденная критическая точка существует при $x<0$, а в точке 3 – при $x>0$. Обе левосторонние критические точки вырождены на кривой $S_{l}$ (рис. 5.7), а обе правосторонние критические точки – на кривой $S_{r}$. Линия пересечения левосторонней и правосторонней поверхностей (рис. 5.6) описывает функции с двумя дважды вырожденными критическими

Рис. 5.8. Точки, расположенные вдоль самопересечения двух крыльев «складки» сепаратрисы, изображенной на рис. 5.6, представляют функции с парой днажды вырожденных критических точек.

точками. На этой линии $b=0$, а $c=(a / 2)^{2}$, так что уравнение $(5.9 ; 1)$ принимает вид
\[
x^{4}+a x^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\left(x^{2}+\frac{a}{2}\right)^{2}=0
\]

и имеет кратные корни $x=-\sqrt{-a / 2}$ и $x=+\sqrt{-a / 2}$ при $a<0$; соответствующие значения потенциальной функции (5.9; 0) изображены на рис. 5.8.

Итак, множество точек, в которых $F(x ; a, b, c)$ имеет неморсовские критические точки, разделяет пространство управляющих параметров $\mathbb{R}^{3}$ на три открытые области. Любая точка $\mathbb{R}^{3}$ может быть аппроксимирована с любой наперед заданной точностью последовательности точек, полностью лежащих в одной из этих областей. Это значит, что неморсовские функции могут быть приближены с любой необходимой точностью морсовскими функциями. Сепаратриса состоит из точек, характеризующих функции с дважды вырожденными критическими точками, двух кривых, описывающих функции с трижды вырожденными критическими точками, кривой, описывающей функции с двумя дважды вырожденными критическими точками, и трех поверхностей, описывающих функции с дважды вырожденными критическими точками.
3.4. Катастрофы типа $D_{+4}$

Қак было показано (гл. 4, разд. 6), для катастроф, имеющих две переменные состояния и более трех управляющих параметров, всегда можно выбрать возмущения так, чтобы исключить два или три квадратичных одночлена. Более общим образом можно выбрать возмущение так, чтобы удалить две из трех линейно независимых комбинаций одночленов второй степени, оставляя только одну такую комбинацию вместе с линейными членами, как и в случае наиболее общего возмущения ${ }^{1}$ ).
Функция катастрофы $D_{+4}$ имеет вид
\[
D_{+4}: F(x, y ; a, b, c)=x^{2} y+\frac{1}{3} y^{3}+a\left(y^{2}-x^{2}\right)+b x+c y \text {. }
\]

Следует заметить, что эта фунзция имеет несколько симметрий, из которых наиболее полезна для нас $F \rightarrow+F$, если $(x, y) \rightarrow$ $\rightarrow(-x,+y)$ и $(a, b, c) \rightarrow(+a,-b,+c)$.
Критические точки $F$ определяются из уравнений
\[
\begin{array}{l}
\partial F / \partial x=2 x y-2 a x+b=0, \\
\partial F / \partial y=x^{2}+y^{2}+2 a y+c=0 .
\end{array}
\]

Матрица устойчивости $D_{+4}$ имеет вид
\[
F_{i j}=2\left[\begin{array}{cc}
y-a & x \\
x & y+a
\end{array}\right] .
\]

Когда все элементы матрицы устойчивости обращаются в нуль, появляются четырежды вырожденные критические точки:
\[
\begin{array}{r}
F_{i j}=0 \stackrel{(5.14 ; 2)}{\Rightarrow} x=y=a=0 \stackrel{(5.14 ; a)}{\Rightarrow} b=0, \\
(5.14 ; \text { б) } \\
\Rightarrow c=0 .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что точка $(a, b, c)=(0,0,0) \in \mathbb{R}^{3}$, принадлежащая пространству управляющих параметров, параметризует функцию
\[
F(x, y ; 0,0,0)=x^{2} y+\frac{1}{3} y^{3},
\]
1) В этом и последующих разделах будем выбирать члены второй степени в возмущении таким образом, чтобы минимизировать сложность вычислений.

которая имеет четырежды вырожденную критическую точку ( $x$, $y)=(0,0) \in \mathbb{R}^{2}$ в пространстве переменных состояния. Функция (5.16) изображена на рис. 5.9.

Дважды и трижды вырожденные критические точки могут быть найдены из условия, согласно которому по крайней мере одно собственное значение матрицы устойчивости обращается в

Рис. 5.9. Росток катастрофы $D_{+4}$. (Воспроизводится с разрешения Н. А. Поупa.)

нуль. Если это имеет место, то определитель матрицы $(5.14 ; 2$ ) равен нулю
\[
\operatorname{det} F_{i j}=4\left(y^{2}-a^{2}-x^{2}\right)=0 .
\]

Таким образом, «плохое множество» образует гиперболу
\[
y^{2}-x^{2}=a^{2} .
\]

Это означает, что если критические точки лежат на этой гиперболе, то они дважды или трижды вырожденные.

Теперь, используя переменные $x$ и $y$, получим параметрическое представление сепаратрисы в пространстве управляющих параметров: параметрическое представление $a(x, y)$ дается (5.18), а параметрическое представление для $b$ и $c$ может быть найдено из уравнений $(5.14 ; 1 \mathrm{a}$, б):
\[
\begin{array}{l}
-b=2 x y-2 a x, \\
-c=x^{2}+y^{2}+2 a y .
\end{array}
\]

Заметим, что эту же задачу можно решить значительно проще. Так, если по переменным $x$ и $y$ ввести новый масштаб $\lambda$, это будет означать и новый масштаб для $a$, т. е. $(x \rightarrow \lambda x, y \rightarrow$ $\rightarrow \lambda y \Rightarrow a \rightarrow \lambda a)$. Тогда для $b$ и $c$ надо ввести масштаб $\lambda^{2}$ :
\[
\begin{array}{l}
x \rightarrow \lambda x \quad a \rightarrow \lambda a \\
y \rightarrow \lambda y=b \rightarrow \lambda^{2} b, \quad V \rightarrow \lambda^{3} V \text {. } \\
c \rightarrow \lambda^{2} c \\
\end{array}
\]

Следовательно, достаточно определить поперечное сечение $b$-c сепаратрисы в плоскостях $a=+1, a=0, a=-1$, а затем, используя соотношение (5.20), восстановить всю сепаратрису. Сделав замену при $a>0$ :
\[
\begin{array}{l}
y=-a \operatorname{ch} \theta, \\
x=-a \operatorname{sh} \theta,
\end{array}
\]

можно определить, как верхняя ветвь гиперболы параметризует $b$-c сепаратрису:
\[
\begin{array}{l}
-\frac{b}{a^{2}}=\operatorname{sh} 2 \theta+2 \operatorname{sh} \theta, \\
-\frac{c}{a^{2}}=\operatorname{ch} 2 \theta+2 \operatorname{ch} \theta .
\end{array}
\]

Оставшуюся часть этой сепаратрисы параметризует нижняя ветвь гиперболы. Осуществляя замену
\[
\begin{array}{l}
y=-a \operatorname{ch} \theta, \\
x=-a \operatorname{sh} \theta,
\end{array}
\]

в этом случае получаем
\[
\begin{array}{l}
-\frac{b}{a^{2}}=\operatorname{sh} 2 \theta+2 \operatorname{sh} \theta, \\
-\frac{c}{a^{2}}=\operatorname{ch} 2 \theta-2 \operatorname{ch} \theta .
\end{array}
\]

Как уже отмечалось, $\theta \rightarrow-\theta \Rightarrow(x, y) \rightarrow(-x,+y)$ и $(a, b, c) \rightarrow$ $\rightarrow(+a,-b,+c)$. Зависимости (5.22) легко представить графически (рис. 5.10).

Все три поперечных сечения, изображенные на рис. 5.10, могут быть связаны вместе использованием пересчетных соотношений (5.20). При этом получим сепаратрису, или бифуркационное множество катастрофы $D_{+4}$, которое изображено на рис.5.11. Сепаратрису можно представить как две пересекающиеся в плоскости $a=0$ поверхности. Одна из поверхностей имеет складку перед плоскостью $a=0$ и не имеет ее сзади этой плоскости. Другая поверхность является зеркальным отражением первой. Эти поверхности делят пространство управляющих параметров

Рис. 5.10. Взаимосвязь между гиперболическими «плохими множествами» и сепаратрисой катастрофы $D_{+4}$ в пространстве $\mathbb{R}^{3}$.

Рис. 5.11. Сепаратриса для $D_{+4}$ в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ может быть построена из трех поперечных сечений, изображенных на рис. 5.10 , используя пересчетные соотношения (5.20).

Рис. 5.12. В плоскости $a=+1$ структурно устойчивые морсовские функции, параметризуемые любой из трех открытых областей, могут быть определены, если $b=0$, а $c$ произвольно меняется.
$\mathbb{R}^{3}$ на четыре открытые области, которые описывают функции четырех качественно различных типов.

Чтобы определить качественно поведение функций, параметризуемых точками каждой из этих открытых областей, исследуем свойства функций, параметризуемых точками вдоль прямой $a=+1, b=0$ в $\mathbb{R}^{3}$ (рис. 5.12). Вдоль этой прямой уравнения (5.14), определяющие критические точки, становятся
\[
\begin{array}{c}
2 x y-2 x=0, \\
x^{2}+y^{2}+2 y+c=0 .
\end{array}
\]

Из (5.23а) следует, что критические точки должны иметь координатами либо $x=0$, либо $y=+1$. Если $x=0$, то из (5.23б) получим
\[
x=0 \stackrel{(5.236)}{\Rightarrow} y=-1 \pm \sqrt{1-c} .
\]

Существует пара вещественных корней при $c<+1$. Если $y=$ $=+1$, то из (5.23б) имеем
\[
y=1 \stackrel{(5.236)}{\Rightarrow} x= \pm \sqrt{-(3+c)} .
\]

Следовательно, только при $c<3$ имеется пара вещественных критических точек. Положение и область знґчений $c$, для которых существуют критические точки, – (5.24) и (5.25), изображены на рис. 5.12.

Қак только положение (координаты) критических точек найдено, их свойства устойчивости (морсовский тип седла) могут быть определены из матрицы устойчивости $(5.14 ; 2$ ).

В критических точках (5.24) матрица устойчивости имеет следующий вид:
\[
F_{i j}=2\left[\begin{array}{cc}
y-1 & 0 \\
0 & y+1
\end{array}\right], \quad x=0, y=-1 \pm \sqrt{1-c} .
\]

Следовательно, оси $x$ и $y$ являются главными направлениями, а собственные значения в этих главных направлениях равны со-

Рис. 5.13. Критические точки катастрсфы $D_{+4}$ в плоскости $(x, y)$ как функции управляющего параметра $c$ при $a=+1, b=0$.

ответственно $2(y-1)$ и $2(y+1)$. Собственное значение в направлении оси $x$ верхней критической точки меняет знак при прохождении $y$ через +1 , в то время как собственное значение в направлении оси $y$ обращается в нуль, когда $y=-1$. Это и есть те точки, где критические точки (5.24) пересекают «плохое» множество (5.18) (рис. 5.13).

Аналогично определяются сзойства устойчивости и главные оси критических точек (5.25). Из матрицы устойчивости находим
\[
\begin{array}{l}
F_{i j}^{(5.25)} 2\left[\begin{array}{cc}
0 & \pm \sqrt{-(3+c)} \\
\pm \sqrt{-(3+c)} & 2
\end{array}\right] \Rightarrow \\
\Rightarrow \lambda_{1}=2(1+\sqrt{1-(3+c)}) \text {, } \\
\end{array}
\]

В этом случае главные направления уже не совпадают с направлениями осей $x$ и $y$ и определяются при помощи простого процесса диагонализации матрицы. Результаты подобных вычислений приведены на рис. 5.13: два корня пересекают «плохое» множество (5.18) в точке $(x, y)=(0,1)$ при $c=-3$. В этой точке собственное значение $\lambda_{2}=0$, и она, несомненно, представляет особый интерес. Однако, прежде чем обсуждать, что же может произойти в этой точке, когда $c=-3$ или $c=+1$, заметим, что при $c>1$ нет критических точек, при – $3<c<+1$ имеется один минимум и одно седло, а при $c<-3$ – один минимум, один максимум и два седла. Это полностью определяет качественные изменения в поведении всех функций, параметризуемых тремя из четырех открытых областей, изображенных на рис. 5.11. В четвертой области («средняя» область при $a<0$ ) имеется один минимум и одно седло.

Если с стремится к +1 снизу, то критические точки $(x, y)=$ $=(0,-1 \pm \sqrt{1-c})$ стремятся друг к другу и становятся вырожденной точкой в $(0,-1)$ при $c=+1$, которая исчезает при $c>1$. Собственное значение в направлении оси $x$ стремится к – 4 , в то время как собственное значение в направлении оси $y$ становится исчезающе малым и обращается в нуль в пределе при $c=+1$. Это означает, что мы имеем дело с катастрофой, так как число изолированных критических точек изменяется, когда $c$ проходит через +1 , где $\operatorname{det} F_{i j}=0$. Поскольку в ней присутствуют две критические точки, то вполне естественно ожидать, что это катастрофа складки или $A_{2}$. Так как собственное значение отлично от нуля по оси $x$ и равно нулю по оси $y$, то направление $x$ считается «хорошим», а направление $y$-«плохим».

Эти соображения можно сделать строгими, если найти каноническую форму для неморсовской функции $F(x, y ; a, b, c)$ при $(a, b, c)=(1,0,1)$ в дважды вырожденной критической точке $(x, y)=(0,-1)$ :
\[
F(x, y ; 1,0,1)=x^{2} y+\frac{1}{3} y^{2}+\left(y^{2}-x^{2}\right)+y .
\]

Полезно разложить эту функцию в окрестности вырожденной критической точки, сделав следующее неоднородное линейное преобразование $x=X, y=(y+1)-1=Y-1$. Тогда
\[
F(X, Y)=X^{2} Y+\frac{1}{3} Y^{3}+2 X^{2}-\frac{1}{3} .
\]

Постоянный член не играет существенной роли и его можно не принимать во внимание. Матрица устойчивости $F(X, Y)$ в дважды вырожденной критической точке $(X, Y)=(0,0)$ имеет вид
\[
\left.F_{i j}\right|_{(0,0)}=\left[\begin{array}{rr}
-4 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right] .
\]

Следовательно, направление по оси $X$ «хорошее», а направление по оси $Y$ «плохое».

Теперь попытаемся привести функцию (5.29) к каноническому виду (2.3б), сделав следующую гладкую замену переменных:
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=X+\Delta_{1}=X+A_{20} X^{2}+A_{11} X Y+A_{02} Y^{2}+\ldots \\
y^{\prime}=Y+\Delta_{2}=Y+B_{20} X^{2}+B_{11} X Y+B_{02} Y^{2}+\ldots
\end{array}
\]

Поскольку есть все основания полагать, что мы имеем дело с ростком катастрофы типа $A_{2}$, а коэффициент при $x^{\prime 2}$ должен быть равен – 2 , замену переменных (5.31) надо выбрать так, чтобы выполнялось равенство ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{c}
-2 X^{2}+X^{2} Y+\frac{1}{3} Y^{3} \stackrel{?}{=}-2 x^{\prime 2}+k y^{3}= \\
=-2\left(\underset{2}{X^{2}}+\underset{3}{2 X \Delta_{1}}+\Delta_{4}^{2}\right)+k\left({ }_{3}^{Y^{3}}+3 Y_{4}^{2} \Delta_{2}+3 Y \Delta_{2}^{2}+\Delta_{6}^{3}\right) .
\end{array}
\]

Это равенство выполняется для членов второй степени. Для членов третьей степени находим, что
\[
X^{2} Y+\frac{1}{3} Y^{3} \stackrel{?}{=}-4 X\left(A_{20} X^{2}+A_{11} X Y+A_{02} Y^{2}\right)+k Y^{3} .
\]

Данное уравнение удовлетворяєтся при выборе
\[
A_{20}=0, \quad A_{11}=-\frac{1}{4}, \quad A_{02}=0, \quad k=\frac{1}{3} .
\]

Для членов четвертой степени и выше все коэффициенты в левой части (5.32) равны нулю. Соответствующие члены в правой части формулы зависят от находящихся в нашем распоряжении коэффициентов $A_{i j}, B_{i j}(i+j \geqslant 2)$, которые мы используем в замене (5.31). Если для данной степени в нашем распоряжении в правой части (5.32) имеется больше коэффициентов, чем в левой части, то $F(X, Y)$ можно привести к каноническому виду
1) Целые числа под каждым членом указывают одночлены наименьшей степени в рассматриваемом произведении.

$-2 x^{\prime 2}+\frac{1}{3} y^{\prime 3}$. Например, для членов пятой степени в левой части формулы (5.32) имеется ровно шесть фиксированных коэффициентов, и они все равны нулю. Члены степеней вплоть до четвертой возникают из $\Delta_{1}$ (тех членов четвертой степени, которые входят линейно), а члены степеней вплоть до третьей возникают из $\Delta_{2}$ (тех членов третьей степени, которые входят линейно). Количество новых (не представленных в рассмотрении четвертой степени) коэффициентов, находяцихся в нашем распоряжении, равно $5+4=9$, так что мы обладаем достаточной свободой выбора этих коэффициентов с целью исключить все члены пятой степени. Для членов малых степеней эти соображения подсчета суммированы в табл. 5.1. Из этой таблицы совершенно

Таблица 5.1. Соображения непрерывности, используемые при приведении функции $\boldsymbol{F}(x, y ; a, b, c)$ к канонической форме (2.3б) в точке $(a, b, c)=(1,0,1)$

ясно, что функция $F(X, Y)$ в действительности может быть приведена к предполагаемому каноническому виду. Кроме того, при помощи простого преобразования масштабов по $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ получим каноническую форму
\[
F(X, Y) \doteq-x^{\prime 2}+y^{\prime \prime 3},
\]

где $x^{\prime \prime}=(2)^{1 / 2} x^{\prime}, y^{\prime \prime}=(3)^{1 / 3} y^{\prime}$.
Теперь исследуем другую интересную точку прямой $[a=1$, $b=0]$, а именно $c=-3$. Когда $c$ стремится к -3 снизу, то три критические точки $(x, y)=( \pm \sqrt{-(3+c)}, 1)$ и $(0,-1+$ $+\sqrt{1-c})$ стремятся друг к другу, образуя при $c=-3$ одну трижды вырожденную точку $(x, y)=(0,1)$, которая становится простой критической точкой, когда $c$ стремится к – 3 сверху. При стремлении $c$ к – 3 снизу главные оси этих трех критических точек вращаются в направлении осей $x$ и $y$ и остаются направленными по этим осям, если $c>-3$. Собственное значение в направлении оси $y$ стремится к 4 вблизи $c=-3$, в то время как собственное значение по оси $x$ становится равным нулю при $c=-3$. Когда $c$ проходит через – 3 , знак собственного значения по оси $x$ в критической точке $(x, y)=(0,-1+\sqrt{1-c})$ м эняется на противоположный. Это дает возможность предположить наличие катастрофы типа $A_{ \pm 3}$ с «хорошим» направлением по оси $y$ и «плохим» – по оси $x$.

Теперь проведем более детальный анализ точки $c=-3$ прямой $[a=1, b=0]$. Для этого сначала разложим функцию $F(x$, $y ; a, b, c)$, где $(a, b, c)=(1,0,-3)$, в трижды вырожденной критической точке $(x, y)=(0,1)$, используя преобразование $x=X, y=(y-1)+1=Y+1$ :
\[
F(X, Y)=X^{2} Y+\frac{1}{3} Y^{3}+2 Y^{2}-\frac{5}{3} .
\]

Постоянный член для нас не важен, и мы его исключим из дальнейших рассмотрений. Матрица устойчивости $F(X, Y)$ в точке $(0,0)$ равна
\[
\left.F_{i j}\right|_{(0,0)}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 4
\end{array}\right] \text {. }
\]

Ясно, что $X$ – это «плохая» переменная, а $Y$ – «хорошая».
Теперь попытаемся привести (5.36) к каноническому виду путем осесохраняющего нелинейного преобразования типа (5.31). Предполагаемая при этом каноническая форма имеет вид $k^{\prime} x^{\prime 4}+2 y^{\prime 2}$. В результате получим равенство
\[
\begin{array}{l}
2 Y^{2}+X^{2} Y+\frac{1}{3} Y^{3} \stackrel{?}{=} 2 y^{2}+k x^{\prime 4}= \\
=2\left(\underset{2}{Y^{2}}+\underset{3}{2 Y \Delta_{2}}+\Delta_{4}^{2}\right)+k\left(\underset{4}{X^{4}}+\underset{5}{4 X^{3} \Delta_{1}}+\underset{6}{6 X^{2} \Delta_{1}^{2}}+\underset{7}{4 X \Delta_{1}^{3}+\Delta_{1}^{4}}\right) \text {, } \\
\end{array}
\]

которое выполняется для членов второй степени. Для членов третьей и четвертой степени соответственно имеем
\[
\begin{array}{l}
X^{2} Y+\frac{1}{3} Y^{3} \stackrel{?}{=} 4 Y\left(B_{23} X^{2}+B_{11} X Y+B_{02} Y^{2}\right), \\
0 \stackrel{?}{=} 4 Y\left(B_{30} X^{3}+B_{21} X^{2} Y+B_{12} X Y^{2}+B_{03} Y^{3}\right)+ \\
+2\left(\frac{1}{4} X^{2}+\frac{1}{12} Y^{2}\right)^{2}+k X^{4},
\end{array}
\]

причем (5.39) справедливо только при $B_{20}=\frac{1}{4}, B_{11}=0, B_{02}=\frac{1}{12}$, a (5.40) выполняется пр! условии

\[
\begin{array}{rlrl}
\frac{1}{8}+k & =0, & B_{30} & =0, \\
4 B_{21}+\frac{1}{12} & =0, & B_{12}=0 . \\
4 B_{03}+\frac{1}{72} & =0, &
\end{array}
\]

Используя табл. 5.1, можно показать, что (5.38) удовлетворяется для всех членов больше четвертой степени.

Для того чтобы читатель с ғеослабевающим вниманием следил за ходом наших рассужденнй, используем на этот раз свойство симметрии функции (5.36): $F(X, Y)=F(-X, Y)$. В силу симметрии коэффициенты одночленов $X^{p} Y^{q}$ обязательно должны быть нулями при условии, что $p$ – нечетно. Потребуем, чтобы и каноническая форма для $F(X, Y)$ имела тот же тип симметрии, т. е. $(X, Y) \rightarrow(-X, Y) \Rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \rightarrow\left(-x^{\prime}, y^{\prime}\right)$. Тогда не все коэффициенты в $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ свободны и находятся в нашем распоряжении; некоторые из них обязательно должны быть нулями. Теперь построим табл. 5.2, аналогичную табл. 5.1, которая будет

Таблица 5.2. Соображения непрерывности, включая рассмотрение симметрии, используемые при приведении функции $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} ; \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})$ к канонической форме (2.3б) в точке $(a, b, c)=(1,0,-3)$

показывать число коэффициентов в левой и правой частях формулы (5.38), не равных нулю в силу требуемой симметрии. Из табл. 5.2 видно, что
\[
F(X, Y) \doteq 2 y^{\prime 2}-\frac{1}{8} x^{\prime 4} .
\]

Путем изменения масштаба вводим новые координаты $x^{\prime \prime}=$ $=(8)^{-1 / 4} x^{\prime}$ и $y^{\prime \prime}=(2)^{1 / 2} y^{\prime}$, что дает каноническую форму
\[
F(X, Y) \doteq-x^{\prime 4}+y^{\prime 2} \text {. }
\]

Ввиду аналогии между формулами (5.29) и (5.38) может показаться весьма заманчивым предположить в (5.38) канони-

Рис. 5.14. Гладкое преобразование из декартовой в криволинейную систему координат, показывающее, каким образом двойственная сборка ассоциируется с катастрофой $D_{++}$

ческую форму $2 y^{\prime 2}+k x^{\prime 3}$. Однако при этом предположении равенство в (5.38) не может быть удовлетворено. Это легко показать, поскольку член $k X^{3}$ должен бы тогда появиться в правой части (5.39). Но в этом случае этот член не мог бы быть удален никаким выбором коэффициентов, находящихся в нашем распоряжении.

Преобразование (5.31) декартовых координат ( $X, Y$ ) в криволинейные координаты ( $x^{\prime}, y^{\prime}$ ) иллюстрируется на рис. 5.14. Линии уровня $F\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ при различных значениях $y^{\prime}=$ const указывают на присутствие катастрофы «двойственной сборки» $-x^{4}=$ $=A-3$.

Подобный анализ может быть проведен и при $a=+1$. Кроме того, можно упростить вычисления, если предположить существование симметрии в плоскости $b=0$. Когда же $b
eq 0$, симметрия разрушается (рис. 5.13), и в этом случае для фиксированных $a=1$ и $b
eq 0$ линия с возрастающим $c$ должна пробить одну или другую сторону складчатых слоев, изображенных на рис. 5.11. Такие слои представляют катастрофы складки; при этом минимум, изображенный на рис. 5.13, совпадает либо с левым седлом и, таким образом, уничтожает его, либо с правым седлом, так как они встречаются на верхней части гиперболического «плохого» множества (5.18). Оставшиеся верхние седла и максимум совпадают и уничтожаются, когда они встречаются на нижней ветви гиперболического «плохого» множества, при достижении $c$ верхней криволинейной поверхности (рис. 5.11). При $b<0$ минимум совпадает с правосторонним, а максимум – с левосторонним седлом.

Весь этот анализ можно целиком осуществить и в плоскости $a=-1$. Однако в этом нет нєобходимости, так как два седла лежат между верхней и нижней ветвями гиперболического «плохого» множества; минимум лежит выше верхней ветви, а максимум – ниже нижней ветви; когда $c$ возрастает, максимум совпадает с левосторонним седлом (если $b<0$ ). на левой гиперболической ветви и уничтожает его, а для больших значений $c$ минимум и правостороннее седло уничтожают друг друга на верхней ветви.

В плоскости $a=0$ самопересечение двух поверхностей описывает присутствие двух катастроф складки, т. е. минимум и седло уничтожают друг друга в некоторой точке плоскости $(x, y)$, в то время как максимум и седло одновременно уничтожают друг друга в некоторой другой точке «плохого» множества.
3.5. Катастрофы типа $D_{-4}$
В этом случае катастрофы списываются функцией вида
$D_{-4}: \quad F(x, y ; a, b, c)=x^{2} y-\frac{1}{3} y^{3}+a\left(y^{2}+x^{2}\right)+b x+c y .(5.44 ; 0)$
Прежде всего заметим, что эта функция имеет несколько симметрий, из которых наиболее полезной для нас будет симметрия $F \rightarrow+F$, когда $(x, y) \rightarrow(-x,+y)$ и $(a, b, c) \rightarrow(+a,-b,+c)$. Критические точки $F$ определяются из уравнений
\[
\begin{array}{l}
\partial F / \partial x=2 x y+2 a x+b=0, \\
\partial F / \partial y=x^{2}-y^{2}+2 a y+c=0 .
\end{array}
\]

Матрица устойчивости $F$ равна
\[
F_{i j}=2\left[\begin{array}{cc}
y+a & x \\
x & -y+a
\end{array}\right] .
\]

Четырежды вырожденная критическая точка определяется из условия обращения в нуль матрицы устойчивости:
\[
\begin{array}{r}
F_{i j}=0 \stackrel{(5.44 ; 2)}{\Rightarrow} x=y=a=0 \stackrel{(5.44 ; 1 a)}{\Rightarrow} b=0, \\
(5.44 ; 16) \\
\Rightarrow c=0 .
\end{array}
\]

Поэтому точка $(a, b, c)=(0,0,0) \in \mathbb{R}^{2}$ в пространстве управляющих параметров параметриэует функцию
\[
F(x, y ; 0,0,0)=x^{2} y-\frac{1}{3} y^{3},
\]

которая имеет четырежды вырожденную критическую точку ( $x$, $y)=(0,0) \in \mathbb{R}^{2}$ в пространстве переменных состояния. Функ-

Рис. 5.15. Изображение ростка катастрофы $D_{-4}$. (Воспроизводится с разрешения Н. А. Поупа.)

ция (5.46) изображена на рис. 5.15. Для нахождения дважды и трижды вырожденных критических точек используют условие, согласно которому одно из собственных значений матрицы устойчивости должно обращаться в нуль. Если это так, то определитель матрицы (5.42) становится равным нулю:
\[
\operatorname{det} F_{i j}=4\left(a^{2}-y^{2}-x^{2}\right)=0 .
\]

Таким образом, «плохое множество» является окружностью
\[
y^{2}+x^{2}=a^{2} \text {. }
\]

Это означает, что если критическая точка лежит на этой окружности, то она дважды или трижды вырождена (четырежды вырождена, если $a=0$ ).

Чтобы получить параметрическое представление сепаратрисы в пространстве управляющих параметров, можно использовать две переменные $x$ и $y$. Парамегрическое представление $a(x, y)$ дается формулой (5.48), а параметрическое представление для $b, c$ может быть определено из формул $(5.44 ; 1$ a) и $(5.44 ; 16)$ :
\[
-b=2 x y+2 a x, \quad-c=x^{2}-y^{2}+2 a y .
\]

И в этом случае существует простой путь решения поставленной задачи, и он состоит в изменении масштабов. Соотношения пересчета для формул (5.44) совершенно идентичны соотношениям пересчета для (5.14):
\[
\begin{aligned}
x \rightarrow \lambda x \\
y \rightarrow \lambda y
\end{aligned} \Rightarrow \begin{array}{l}
a \rightarrow \lambda a \\
b \rightarrow \lambda^{2} b \\
c \rightarrow \lambda^{2} c .
\end{array}
\]

Следовательно, достаточно определить поперечное сечение $b-c$ сепаратрисы в плоскостях $a=+1, a=0, a=-1$, а затем с помощью этих соотношений восстановить всю сепаратрису. Если $a>0$, то, производя замену [см. (5.21), (5.22)]
\[
y=-a \cos \theta, \quad x=a \sin \theta,
\]

можно определить, каким образом «плохое» множество окружности параметризует $b-c$ сепаратрису. Тогда
\[
\frac{b}{a^{2}}=\sin 2 \theta-2 \sin \theta, \quad \frac{c}{a^{2}}=\cos 2 \theta+2 \cos \theta .
\]

Функцию (5.52) легко изобразить графически (рис. 5.16). Все три поперечных сечения, показанные на рис. 5.16 , можно связать воедино, используя соотношения (5.50). В результате получаем сепаратрису, или бифуркационное множество, катастрофы $D_{-4}$, изображенное на рис. 5.17. Эта поверхность разделяет пространство управляющих параметров $\mathbb{R}^{3}$ на три открытые области, которые описывают функции трех качественно различных типов.

Чтобы определить качественные изменения в поведении функций, параметризуемых точками каждой из этих открытых областей, исследуем свойства функций, параметризуемых точками вдоль прямой $a=+1, b=0$ в $\mathbb{R}^{3}$ (рис. 5.18). Вдоль этой прямой уравнения (5.44), определяющие критические точки, в точности совпадают с уравнениями
\[
\begin{array}{r}
2 x y+2 x=0, \\
x^{2}-y^{2}+2 y+c=0 .
\end{array}
\]

Рис. 5.16. Изображение взаимосвязи иежду «плохими» множествами формы окружности и сепаратрисой $D_{-4}$ в пространстве $R^{3}$.
Из (5.53) следует, что критические точки должны иметь либо $x=0$, либо $y=-1$. Если $x=0$, то из (5.53б) получаем
\[
x=0 \stackrel{(5.536)}{\Rightarrow} y=+1 \pm \sqrt{1+c} .
\]

Существуют две вещественные точки, если $c>1$. Если $y=-1$, то из (5.536) имеем
\[
y=-1 \stackrel{(5.536)}{\Rightarrow} x= \pm \sqrt{3-c .}
\]

Эта пара вещественных критических точек существует, если $c<+3$. Положение и область значений $c$, для которых суще-

Рис. 5.17. Сепаратриса катастрофы $D_{-4}$ в пространстве может быть построена из трех поперечных сечений, изображенных на рис. 5.16, с помощью пересчетных соотношений (5.50).

ствуют критические точки (5.54) и (5.55), изображены на рис. 5.18 .

Если положение критических точек известно, их свойства устойчивости могут быть определены из матрицы устойчивости $(5.44 ; 2)$. В критических точках (5.34) матрица устойчивости имеет вид
\[
F_{i j}=2\left[\begin{array}{cc}
y+1 & 0 \\
0 & -y+1
\end{array}\right], \quad x=0, \quad y=+1 \pm \sqrt{1+c} .
\]

Таким образом, оси $x$ и $y$ являются главными направлениями с собственными значениями по главным направлениям, равными соответственно $2(1+y)$ и $2(1-y)$. Собственное значение по направлению $x$ нижней критической точки меняет знак, когда $y$ проходит через – 1 , в то время как собственное значение по направлению $y$ меняет знак, когда $y=+1$. Это и есть те точки, в которых критические точки (5.54) пересекают «плохое» множество (5.48); положение и свойства устойчивости этих критических точек отражены на рис. 5.19, Рис. 5.18. В плоскости $a=+1$ струк:урно устойчивые морсовские функции, параметризуемые двумя открытыми областями, могут быть определены, если $b=0$, а $c$ меняется.

Аналогично определяются свойства устойчивости и главные оси критических точек (5.55). Матрица устойчивости дает
\[
\begin{array}{l}
F_{i j}^{(5.55)}\left[\begin{array}{cc}
0 & \pm \sqrt{3-c} \\
\pm \sqrt{3-c} & 2
\end{array}\right] \Rightarrow \\
\Rightarrow \begin{array}{l}
\lambda_{1}=2(1+\sqrt{1+(3-c)}), \\
\lambda_{2}=2(1-\sqrt{1+(3-c)}) .
\end{array} \\
\end{array}
\]

Теперь главные направления не совпадают с осями $x$ и $y$, но их легко найти путем диагонализации матрицы $F_{i j}$. Результатывычислений изображены на рис. 5.19: эти два корня пересекают «плохое» множество (5.48) в точке $(x, y)=(0,-1)$, когда $c=$ $=+3$; этой точке собственное значение $\lambda_{2}=0$, и мы можем ожидать много интересного.

Принимая во внимание соображения, изложенные в разд. 6, можно сразу же установить, что происходит при возрастании $c$ вдоль прямой $a=+1, b=0$. При $c<-1$ имеется в точности одна пара седловых точек. Когда $c$ возрастает до – 1 , в точке $(x, y)=(0,1)$ имеет место катастрофа складки с седлом и ло-

Рис. 5.19. Критические точки катастрофы $D_{-4}$ в плоскости $(x, y)$ как функции управляющего параметра $c$ при $a=+1, b=0$.

кальным минимумом (внутри окружности). Направление по оси $x$ в рассматриваемой катастрофе складки является «хорошим», а направление по оси $y$-«плохим». При увеличении $c$ до +3 новое седло на оси $x$ перемецается на север, локальный минимум движется через окружность по направлению к точке ( $x$, $y)=(0,-1)$, а два исходных седла движутся к одной и той же точке вдоль прямой $y=-1$. Когда три критические точки приближаются к точке $(0,-1)$, главные направления двух седел вращаются в направлении осей $x$ и $y$. Собственное значение по оси $y$ всех этих точек стремится к +4 , а собственное значение по оси $x$-к нулю. Когда $c$ проходит через +3 , два седла и локальный минимум совпадают $\mathrm{E}(x, y)=(0,-1)$, образуя катастрофу двойственной сборки. При $c>+3$ два седла и локальный минимум объединяются, образуя одно седло (вдоль $x=0$, $y<-1$ ). Второе седло существует лишь вдоль $x=0, y>+1$.

В результате проведенного анализа становится очевидным, какие типы функций параметризуются каждой из трех открытых областей, изображенных на рис. 5.17. Область, ограниченная треугольником, параметризует функции, имеющие три седла и один локальный минимум (если $a>0$ ) или локальный максимум (если $a<0$ ). Седла при этом располагаются вне «плохого множества», представляемого окружностью (5.48), а минимум и максимум – внутри «плохого множества». Область вне треугольника (рис. 5.17) параметризует функции, имеющие два седла, расположенных вне «плохого множества», представляемого окружностью.

Подобный анализ можно провести, используя симметрию в плоскости $b=0$. (В этом случае вычисления значительно упрощаются, а графические представления становятся более изящными.) При перемещении точки пространства управляющих параметров через сепаратрису (рис. 5.17) возникновение катастрофы складки или сборки зависит от того, движется ли точка через одну из трех поверхностей или через одно из трех ребер. При движении через поверхность (в предположении $a>0$ ) минимум совпадает с одним из трех имеющихся седел и уничтожает его. Какое из этих седел уничтожается, зависит от того, какую поверхность пересечет точка при своем перемещении (см. рис. 5.16).

Қанонические формы катастроф, имеющих место при $(a, b, c)=$ $=(1,0,-1)$ в точке $(x, y)=(0,+1)$, могут быть определены так же, как в разд. 6. В этой точке
\[
F(x, y ; 1,0,-1)=x^{2} y-\frac{1}{3} y^{3}+\left(x^{2}+y^{2}\right)-y .
\]

Разложение этой функции в вырожденной критической точке $(0,1)$ при использовании замены $x=X, \quad y=(y-1)+1=$ $=Y+1$ дает
\[
F(X, Y)=X^{2} Y-\frac{1}{3} Y^{3}+2 X^{2}-\frac{1}{3} .
\]

Очевидно, что $X$ – «хорошее» а $Y$ – «плохое» направление. Можно попытаться найти каноническую форму при помощи нелинейного осесохраняющего преобразования (5.31). Предположим, что $2 x^{\prime 2}+k^{\prime} y^{\prime 2}$ является канонической формой. Теперь попытаемся удовлетворить следующее уравнение:
\[
2 X^{2}+X^{2} Y-\frac{1}{3} Y^{3} \stackrel{?}{=}+2 x^{\prime 2}+k^{\prime} y^{\prime 3} .
\]

В нашем случае уравнение (5.60) идентично уравнению (5.32). Это в свою очередь означает, что, во-первых, результат, за исключением знака (т. е. $k^{\prime}=-\frac{1}{3}$ ), должен быть таким же, вовторых, дальнейший вид рассуждений будет идентичен тому, которого мы придерживались пос.е вывода уравнения, а соответ-

Рис. 5.20. Гладкая замена переменньх от декартовой к криволинейной системе координат, показывающая, кағим образом катастрофа двойственной сборки связана с катастрофой $D_{-4}$.

ствующая каноническая форма, аналогичная (5.35), будет иметь Вид
\[
F(X, Y) \doteq+x^{\prime \prime 2}-y^{\prime \prime \prime} \text {. }
\]

В точке $(a, b, c)=(1,0,+3)$ можно ожидать появления катастрофы сборки в точке $(x, y)=(0,-1)$. В этой точке
\[
F(x, y ; 1,0,+3)=x^{2} y-\frac{1}{3} y^{3}+\left(y^{2}+x^{2}\right)+3 y .
\]

Если разложить эту функцию в окрестности данной критической точки, используя замену $x=X, y=(y+1)-1=Y-1$, то
\[
F(X, Y)=X^{2} Y-\frac{1}{3} Y^{3}+2 Y^{2}-\frac{5}{3} \text {. }
\]

Полученное выражение почти полностью совпадает с формулой (5.36), за исключением знака. Таким образом, ясно, что $Y$ является «хорошим», а $X$– «плохим» направлением. Поэтому можно ожидать, что канонической формой $F(X, Y)$ будет $k^{\prime} x^{\prime 4}+$ $+2 y^{\prime 2}$. И, следовательно, можно попытаться удовлетворить уравнению вида
\[
2 Y^{2}+X^{2} Y-\frac{1}{3} Y^{3} \stackrel{?}{=} 2 y^{2}+k^{\prime} x^{\prime 4} .
\]

Используя соображения, изложенные при выводе формулы (5.38), получим, что $k^{\prime}=-\frac{1}{8}$, т. е. имеет место катастрофа двойственной сборки. Соображения подсчета суммированы в табл. 5.2, и, наконец, каноническая форма аналогична (5.43) и равна
\[
F(X, Y) \doteq-x^{\prime \prime 4}+y^{\prime \prime 2} .
\]

Результат перехода от декартовой системы координат $X, Y$ к криволинейной $x^{\prime}, y^{\prime}$ демонстрируется на рис. 5.20.