Проблема дуализма волна – частица долгое время служила предметом словопрений философов и ученых. Дело в том, что при тщательном рассмотрении большинство объектов имело, грубо говоря, волноподобные свойства. Это означало, что эффективные размеры измерительной аппаратуры были сравнимь с исследуемой длиной волны. Однако, если длина волны много меньше, чем размер прибора, исследуемую систему практически можно рассматривать как частицу, т. е. система, подобно частице, может перемещаться вдоль определенных траекторий, даже если она фундаментально описывается волновым уравнением. Классическая механика и геометрическая оптика формально являются коротковолновыми пределами квантовой механики и электромагнитной теории.
$\diamond \diamond \diamond$ Классическая механика и геометрическая оптика с равным основанием могли бы быть названы также геометрической механикой и классической оптикой, поскольку и та и другая являются коротковолновыми асимптотиками волновых теорий. Поэтому нет ничего удивительного в том, что математические
Рис. 13.1.
Существует тесная математическая связь между волновой и геометрической оптикой и механикой. Идея жзаполнения пустых клеточек» схемы привела Шредингера к его волновому уравнению.
Библиография и комментарни
1. Geometrical Optics, Principle of Least Time, Oeuvres de Fermat, Vol. 2, Paris, 1891, p. 354 .
2. Least Action Formulation of Classical Mechanics, W. R. Hamilton, Trans. Roy. Irish Acad., 17, 1 (1833). Hamilton’s Mathematical Papers, J. L. Synge, W. Conway, editors, Cambridge University Press, p. 285.
3. Wave Optics, J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism: Oxford University Press, 1873 .
4. The Eikonal Approximation, A. Sommerfelc and J. Runger. Ann. Physik, 35, 289 (1911). 5. The Quantum Patchwork, N. Bohr. Phil. Mag., 26, 1 (1913). W. Wilson, Phil. Mag., 29, 795 (1915). A. Sommerfeld, Ann. Physik, 51, 1 (ï16).
6. М. Бор запрещает Геизенбергу попытаться обобщить теорию Бора-Зоммерфельда, используя результаты матрнчной механики.
7. Wave Mechanics. L. deBroglie, Nature, 112, 540 (1923). L. deBroglie, These, Paris (1924). L. deBroglie, Ann. Physique, 3, 22 (1925). P. A. M. Dirac, Sc. Am., 208, 45′ (1963). (Шредингер выводит уравненне Клейна – Гордона и решает его для случая атома водорода. Однако свою работу он не публикует.)
E. Schrödinger, Ann. Physik, 79, 361 (1926). E. Sphrödinger, Ann. Physik, 79, 489 (1926). E. Schrödinger, Ann. Physik, 80, 437 (1926). E. Schrödinger, Ann. Physik, 81, 109 (1926): 8. The WKB Approximation. J. Liouville, J. Math., 2, 16 (1837). J Liouville, J, Math., 2, 418 (1837) Lord Rayleigh, Proc. Roy Soc. (London), A86, 207 (1912). H. Jeffreys, Proc. London Math. Soc. (2), 23, 428 (1923). G. Wentzel, Z. Physik, 38, 518 (1926). H. A. Kramers, Z. Physik, 39, 828 (1926). L. Brilloun, Comptes Rendus, 183, 24 (1926). 9, Вывод приближения эйконала из геометрической оптики П. Франком и Р. фон Мизеcom. Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Vol. II, Braunschweig: Friederick Yiewig und Sohn (1935), ?rob. 2-4.
10. Формулировка P. Фейнманом волновой механики, основанная на интеграле действия. R. P. Feynman, Revs. Mod. Phys., 20, 267 (1948). R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Path Integrals and Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1965.
11. Формулировка уравнений Максвелла, сгнованная на интеграле времени. Идея не была математически формализонана. Основополагающая работа прннадлежит Гюйгенсу.
Рис. 13.2. Путь светового луча между точками $P_{1}$ и $P_{2}$ соответствует оптицеской длине пути.
описания основных представлений обеих дисциплин по существу идентичны.
$\diamond \diamond \diamond$ Последнее обстоятельство (т. е. идентичность гамильтоновских формулировок классической механики и геометрической оптики) и тот факт, что классическая оптика является коротковолновым пределом волновой оптики, позволили Шредингеру предположить, что если лрирода в некотором смысле симметрична, то классическая механика должна быть коротковолновым пределом некоторой новой дисциплины, которую по аналогии он назвал волновой механикой. Достаточно настойчивое следование этой аналогии позволило ему получить так называемое уравнение Шредингера. Связь, существующая между волновой оптикой и волновой механикой, а также между их коротковолновыми асимптотиками – классической оптикой и классической механикой – демонстрируется с помощью рис. 13.1.
Чтобы наглядно показать, почему геометрическую оптику можно считать коротковолновым пределом волновой оптики, рассмотрим два тесно связанных примера. В обоих случаях свет распространяется из точки $P_{1}$ в точку $P_{2}$ в трехмерном пространстве (рис. 13.2), но в первом случае это происходит согласно законам классической оптики, а во втором согласно законам волновой оптики. Существенно при этом, что независимо от того, как распространяется свет, в виде ли луча или в виде волны, его путь определяется на основании одного и того же принципа минимума.
Пример 1. Путь светового луча, попадающего из точки $P_{1}$ в точку $P_{2}$ (рис. $13.2, a$ ), определяется, согласно принципу наименьшего времени Ферма, как
\[
\delta \int_{P_{1}}^{P_{2}} d t=0 .
\]
Если скорость света в некоторой эталонной среде (вакууме) равна $c$, а показатель преломления среды, через которую распространяется свет, есть $n(x, y, z)$, то $d s / d t=c / n$, и принцип Ферма может быть записан в виде
\[
\delta \int_{P_{1}}^{P_{2}} \frac{1}{c} n d s=0,
\]
где $d s$ – путь, проходимый светом за промежуток времени $d t$. Если показатель преломления $n$ постоянен, то из (13.2) следует, что проходимый светом путь есть кривая минимальной длинь, связывающая точки $P_{1}$ и $P_{2}$. Тогда пғинцип минимума может быть записан в виде
\[
\delta D\left(P_{1}, P_{2}\right)=0,
\]
где вариация берется по всем путям, связывающим эти две точки.
Пример 2. Интенсивность света длиной волны $\lambda$, который наблюдается в точке $P_{2}$, есть [1]
\[
I\left(P_{1}, P_{2}\right)=I_{0}\left|\frac{1}{\lambda} \int \psi e^{2 \pi i \Phi / \lambda} d x\right|^{2},
\]
где $I_{0}$ – интенсивность источника света в точке $P_{1}, \Phi$ – длина пути, связывающего точки $P_{1}$ и $P_{2}$ (посредством зеркала), $\psi$-мера, определенная на пространстве криволинейных интегралов, а интеграл берется по всем возможным путям, связывающим $P_{1}$ с $P_{2}$ (криволинейный интеграл). Если отраженный зеркалом $M$ (рис. $13.2,6$ ) свег полностью достигает точки $P_{2}$; то интерес представляет та область зеркала, отражение от которой вносит наиболее значительный вклад в интеграл (13.4) в коротковолновом пределе. Практически достаточно рассмотреть лишь кусочно-линейные пути с точкой излома, лежащей на зеркале. В этом случае криволинейный интеграл заменяется интегралом, взятым по поверхности зеркала:
\[
\Phi=R_{1}(x)+R_{2}(x), \quad \psi=\left[R_{1}(x)+R_{2}(x)\right]^{-1},
\]
где $R_{i}(x)$ – кратчайшее расстояние между $P_{i}$ и произвольной точкой $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ на поверхности зеркала. Тогда (13.4) сводится к виду
\[
I\left(P_{1}, P_{2}\right)=I_{0}\left|\frac{1}{\lambda} \iint \psi\left(x_{1}, x_{2}\right) e^{2 \pi i \Phi\left(x_{1}, x_{2}\right) / \lambda} d x_{1} d x_{2}\right|^{2} .
\]
В предельном случае $\lambda \rightarrow 0$ вклад окрестности $x^{0}$ в быстро осциллирующий интеграл типа (13.6) является нулевым, если $
abla \Phi
eq 0$ в $x^{0}$. Следовательно, в коротковолновом предельном случае большая часть света, испускаемого в точке $P_{1}$ и достигающего точки $P_{2}$, отражается окрестностью точки $x^{0} \in M \simeq$ $\simeq R^{2}$, такой, что
\[
\delta\left(R_{1}+R_{2}\right)=0 .
\]
Этот результат эквивалентен евклидову построению, показанному на рис. 13.2, в. [Полезно сравнить (13.3) с (13.7).]
В результате отражения от криволинейной поверхности через некоторые точки трехмерного пространства $\mathbb{R}^{3}$ будут проходить два или более лучей. Вдоль огибающих (рис. 13.3) интенсивность света может быть существенно выше, чем в окрестности точек, лежащих вне огибающей. Подобное усиление интенсивности в точках огибающей может сопровождаться локальным повышением температуры, достаточным для воспламенения бумаги или дерева. Такие огибающие называют каустиками.
Если нормальные интенсивности связаны с типичными кри-
Рис. 13.3. Огибающая лучей, отраженных от криволинейной поверхности, образует каустики. Қаустика, образованная отражением параллельного пучка сферической поверхностью, выглядит (предположительно) подобно катастрофе сборки.
тическими точками, в которых $
abla Ф=0$ (критические точки Mopса), то можно ожидать, что каустики связаны с нетипичными критическими точками.
