Главная > ПРИКЛАДНАЯ TEOPИЯ КАТАСТРОФ. ТОМ-1 (Р.ГИЛМОР)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Первые содержательные приложения теории катастроф относились к области термодинамики. Из сравнения канонической модели фазовых переходов второго рода и фазовой диаграммы жидкости в окрестности ее критической точки следует неизбежный вывод о том, что в основе фазового перехода первого рода жидкость – газ лежит катастрофа сборки. Многие из признаков, характерных для этой катастрофы (см. гл. 8) можно заметить на кривой равновесия жидкость – пар, в особенности в окрестности критической точки. Отождествлению критической точки и кривой равновесия с катастрофой сборки можно придать количественный характер, введя аффинную линейную связь между переменными состояния $\rho$ и $x$ и между управляющими параметрами ( $P_{r}, T_{r}$ ) и ( $a, b$ ). Четыре довольно разумных предположения позволяют перейти от многообразия катастрофы сборки к уравнению состояния Ван-дер-Ваальса. Это классическое уравнение оказывается неверным в количественном отношении, поскольку оно дает неправильные значения для некоторых важных показателей. При этом невозможно построить правильное в этом смысле уравнение ни при каких модификациях принятого соответствия между математическими и физическими переменными состояния и управляющими параметрами.

Тройная точка представляет в чем-то больший интерес, чем критическая. Пытаясь найти уравнение состояния вещества в окрестности его тройной точки, мы рассмотрели каноническую модель фазовых переходов первого рода. Сделав всего «полшага», можно перейти от этой симметризованной модели к обсуждению трикритических точек, и еще через «полшага»-к обсуждению катастрофы $A_{+5}$ и, в частности, ее максвелловского множества. Тогда фазовая диаграмма простого вещества есть пересечение плоскости ( $P, T$ ) физического пространства $\mathbb{R}^{2}$ с максвелловским множеством $\mathscr{g}_{M}$ катастрофы $A_{5}$ в математическом пространстве управляющих параметров $\mathbb{R}^{4}$.

Различие между «потенциалами», характеризующими системы в состоянии термодинамического равновесия, и потенциалами и семействами потенциалов, являющимися объектом исследования в теории катастроф, и естественное отождествление уравнения состояния вещества с $n$-мерным многообразием в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ (интенсивные переменные) $\otimes \mathbb{R}^{n}$ (экстенсивные переменные) приводят к довольно естественной вариационной формулировке термодинамики равновесных систем в терминах теории катастроф. В этой формулировке фигурирует некоторый действительный потенциал $\mathscr{U}$, являющийся функцией $n$ интенсивных переменных состояния и $n$ экстенсивных управляющих параметров. Тогда уравнение состояния идентифицируется с критическим многообразием.

При таком подходе условия равновесия и устойчивости, наложенные на семейства функций, выраженные через первые и вторые производные, эквивалентны первому и второму началам термодинамики. Более точно, первое начало термодинамики эквивалентно отсутствию бесконечно малых членов по интенсивным переменным состояния в выражении для приращения первого порядка величины потенциала в состоянии равновесия:
\[
\delta^{(1)} \mathcal{U}=\mathcal{U}^{r} \delta i_{r}+\mathcal{U}_{\alpha} \delta E^{a} \rightarrow 0+U_{\alpha} \delta E^{a} .
\]

Второе начало термодинамики эквивалентно некоторому условию устойчивости, а именно, требованию положительной определенности членов второго порядка в разложении $U$ на критическом многообразии:
\[
\delta^{(2)} U=\frac{1}{2} U_{\alpha_{\beta}} \delta E^{\alpha} \delta E^{\beta} \geqslant 0 .
\]

Положительная определенность метрического тензора $U_{\alpha \beta}$ означает, что уравнение состояния описывается римановой поверхностью. Принцип Ле Щателье, по-видимому, связан с «относительными размерами» $\mathcal{U}_{\alpha \beta}$ и $U_{\alpha \beta}$ :
\[
\left(\mathcal{U}_{\alpha \beta}-U_{\alpha \beta}\right) \delta E^{\alpha} \delta E^{\beta} \geqslant 0 .
\]

Из положительной определенности метрического тензора $U_{\alpha \beta}$ с помощью неравенств Шварца и Бесселя выводится ряд термодинамических равенств и неравенств.

Теория линейного отклика проще всего выражается в пространстве, касательном в некоторой точке к критическому многообразию. Любая точка в касательном пространстве ( $\simeq \mathbb{R}^{n}$ ) из $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{n}$ однозначно определяется заданием $n$ из $2 n$ координат. Таким образом, легко можно вычислить тензоры восприимчивости и их матричные элементы, а также частные производные термодинамических величин. В частности, метрический тензор $U_{\alpha \beta}$ оказывается тензором восприимчивости.

Если искусственно не разделять интенсивные и экстенсивные переменные, то можно дать формулировку термодинамики в терминах теории катастроф, используя смешанный набор интенсивных и экстенсивных термодинамических переменных в качестве управляющих параметров, а остальные – в качестве переменных состояния.

Пытаясь перейти границы чисто классической термодинамики, мы рассмотрели как неравновесные $(k
eq 0)$, так и равновесные флуктуации, которые могут иметь место только в касательном к критическому многообразию пространстве. Kорреляционные функции для флуктуаций определяются матрицами смешанных частных производных потенциала $\mathcal{U}$ и производяцей функции $U$.

Два обстоятельства позволяют считать, что предложенная формулировка термодинамики в терминах теории катастроф является обоснованным и полезным обобщением классической формулировки Гиббса. Первое из них связано с многообразием свойств матрицы $U_{\alpha \beta}$, которая (1) определяет $\delta^{(2)} U$, (2) является положительно определенным метрическим тензором, (3) является тензором восприимчивости, (4) описывает расположение касательного простралства в $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{n}$, (5) является корреляционной функцией флуктуаций, (6) определяет нижнюю границу неравновесной реакции $\mathscr{U}_{\alpha \beta}$.

Второе обстоятельство связано с тем, что при такой формулировке вопросов возникает больше, чем имеется ответов. В частности, такая формулировка может оказаться полезной при распространении термодинамики на случай неравновесных систем (конфигураций). В пространстве $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{n}$ «хватит места», чтобы сдвинуться с критұческого многообразия в некотором направлении, не лежащем в касательном пространстве. В стандартной гиббсовской формулировке термодинамики равновесных систем этого сделать нельзя, поскольку она оперирует в $\mathbb{R}^{n}$. Все вопросы сводятся к одному: как проложить мостик между термодинамикой равновесных и термодинамикой неравновесных систем?

Литература
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. – М.: Наука, 1976.
2. Van der Waals J. D., Ph. D. Thesis, Leiden, 1873.
3. Guggenheim E. A., The Principle o! Corresponding States, J. Chem. Phys., 13, $253-261$ (1945).
4. (a) Weinhold F., Metric Geometry of Equilibrium Thermodynamics, J. Chem. Phys., 63, 2479-2483 (1975).
(b) II. Scaling, Homogeneity, and Generalized Gibbs-Duhem relations, $J$. Chem. Phys., 63, 24-2487 (1975).
(c) III. Elementary Formal Structure of a Vector-Algebraic Representation of Equilibrium Thermodynamics, J. Chem. Phys., 63, 2488-2495 (1975).
(d) IV. Vector-Algebraic Evaluation of Thermodynamic Derivatives, J. Chem. Phys., 63, 2496-2501 (1975).
(e) V. Aspects of Heterogeneous Equilibrium, J. Chem. Phys., 65, 559-564 (1976).
5. Onsager L., Reciprocal Relations in Irreversible Processes. I., Phys. Rev., 37, 405-426 (1931); Reciprocal Relations in Irreversible Processes. II., Phys. Rev., 38, 2265-2279 (1931).

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru