Согласно гл. 3, анализ произвольных функций $n$ переменных состояния следует начинать с поиска канонических форм таких функций в вырожденной критической точке. При исследовании систем линейных уравнений нашим «рабочим материалом» являются $n \times n$-матрицы. Поэтому роль вырожденной критической точки будут играть вырожденные собственные значеиия матриц, а канонических ростков в вырожденных критических точках — канонические жордановы формы (14.2) и (14.3) матриц с вырожденными собственными значениями; вместо нелинейных преобразований функций будут использоваться линейные преобразования линейных систем ${ }^{1}$ ).
1) Сведение к каноническим формам линейных систем при наличии вырожденности было проведено Жорданом задолго до того, как Уитни и Том решили более сложную проблему сведения к каноническим росткам функций.

Вычисления для матриц, сходные с вычислениями, которые выполняются при приведении функции к каноническому виду (гл. 3), можно найти в любой монографии [2], посвященной теории линейных векторных пространств. Поскольку, однако, в подобных работах, как правило, отсутствует информация относительно нахождения наименьшего универсального возмущения, то, по-видимому, имеет смысл рассмотреть этот вопрос более подробно.

Напомним еще раз, что, как только канонический росток определен, необходимо определить его наиболее общее возмущение. Для этого к ростку добавляют произвольное возмуцение, а затем «забывают» все те члены возмущения, которые могут быть получены из ростка с помощью преобразований «подобия» (т. е. нелинейных координатных замен). По этому пути можно пойти и в случае линейных систем. Так, если имеется комплексная $n \times n$-матрица $M_{0}$, то можно добавить к ней произвольное возмущение $\delta M$, и тогда наиболее общим возмущением будет комплексная $n \times n$-матрица, все элементы которой достаточно малы. Некоторые малые матрицы $\delta M$ (кстати, они не представляют для нас особого интереса, поэтому о них можно «забыть») могут быть получены посредством преобразований подобия матрицы $M$. Оставшиеся матрицы аналогичны универсальным возмущениям ростков катастроф, которые приведены в табл. 2.2.
Пример 1. Положим
\[
M_{0}(\lambda)=\left[\begin{array}{lll}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right] .
\]

Наиболее общее возмущение $M_{0}(\lambda)$ имеет вид
\[
\delta M=\left[\begin{array}{lll}
\delta m_{11} & \delta m_{12} & \delta m_{13} \\
\delta m_{21} & \delta m_{22} & \delta m_{23} \\
\delta m_{1} & \delta m_{32} & \delta m_{33}
\end{array}\right],
\]

при этом любой элемент матрицы «мал» по величине. Можно получить большое семейство матриц из $M_{0}$, выполняя над ней преобразования подобия: $M_{0} \rightarrow S M_{0} S^{-1}$. В общем преобразованные матрицы, близкие к $M_{0}$,- это лишь те матрицы, которые могут быть получены путем преобразований подобия, близких к тождественному. Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
S M_{0} S^{-1} \rightarrow(I+\delta S) M_{0}(I+\delta S)^{-1}=(I+\delta S) M_{0}\left(I-\delta S+\delta S^{2}-\ldots\right)= \\
=M_{0}+\left[\delta S, M_{0}\right]+\ldots .
\end{array}
\]

Если мы возьмем малую матрицу $\delta S$ :
\[
\delta S=\left[\begin{array}{ccc}
A & B & C \\
a & b & c \\
\alpha & \beta & \gamma
\end{array}\right],
\]

любой элемент которой «мал», то
\[
\left[\delta S, M_{0}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
-a & A-b & B-c \\
-\alpha & a-\beta & b-\gamma \\
0 & \alpha & \beta
\end{array}\right] .
\]

Ясно, что некоторые матрицы $\delta S_{c}$ коммутируют с матрицей $M_{0}$

в то время как другие матрицы $\delta S_{i}$ не коммутируют с $M_{0}$; например,
\[
\delta S_{i}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
a & x^{\prime} & z^{\prime} \\
\alpha & \beta & y^{\prime}
\end{array}\right] .
\]

Также очевидно, что некоторые матрицы $8 M_{i}$ могут быть записаны в виде коммутатора некоторой матрицы $\delta S$ с $M_{0}$ :
\[
\delta M_{i}=\left[\begin{array}{ccc}
\delta m_{11} & \delta m_{12} & \delta m_{13} \\
\delta m_{21} & \delta m_{22} & \delta m_{23} \\
0 & -\delta m_{21} & -\delta m_{11}-\delta m_{22}
\end{array}\right] \text {, }
\]

в то время как другие матрицы $\delta M_{c}$ — нет; например,
\[
\delta M_{c}=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
x & y & z
\end{array}\right] .
\]

Можно пренебречь всеми возмущениями $\delta M$ матрицы $M_{0}$ вида (14.18в), так как они «внутренне» порождаются координатными преобразованиями (т.е. заменой базиса). Следовательно, самое общее возмущение матрицы $M_{0}$ наименьшей размерности имеет вид
\[
M_{0}+\delta M=\left[\begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
x & y & z+\lambda
\end{array}\right\rceil .
\]

Вернемся к обсуждению общей проблемы. Инфинитезимальные преобразования подобия $S \rightarrow I+\delta S$ вызывают возмущения $M_{0}$ в соответствии с
\[
\begin{array}{c}
(I+\delta S) M_{0}(I+\delta S)^{-1}=M_{0}+\delta M, \\
\delta M=\left[\delta S, M_{0}\right]+O(2) .
\end{array}
\]

Множество инфинитезимальных матриц $\delta S$ образует линейное векторное пространство $\mathscr{S} \simeq \mathbb{C}^{n^{2}}$. Подмножество матриц в $\mathscr{S}$, коммутирующих с $M_{0}$, Гср. стве $\mathscr{F}$; если $\delta S_{1}, \delta S_{2} \in \mathscr{I}_{c}$, то
\[
\left[\alpha \delta S_{1}+\beta \delta S_{2}, M_{0}\right]=\alpha\left[\delta S_{1}, M_{0}\right]+\beta\left[\delta S_{2}, M_{0}\right]=0 .
\]

Подпространство $\mathscr{S}_{c}$ определено однозначно. Пространство $\mathscr{P}$ может быть представлено в виде прямой суммы
\[
\mathscr{P}=\mathscr{S}_{c} \oplus \mathscr{F}_{i}, \quad \mathscr{S}_{c} \cap \mathscr{S}_{i}=0 .
\]

Множество инфинитезимальных преобразований $\delta M$ матрицы $M_{0}$ является линейным векторным пространством $\mathscr{P} \simeq \mathbb{C}^{n^{2}}$. Подмножество матриц $\mathscr{P}$, которые могут быть представлены в виде $\left[\delta S, \dot{M}_{0}\right]$, образует линейное векторное подпространство $\mathscr{P}_{i}$ [внутреннее, ср. с (14.18в)] в пространстве $\mathscr{P} ;$ если $\delta M_{1}=\left[\delta S_{1}, M_{0}\right]$ и $\delta M_{2}=\left[\delta S_{2}, M_{0}\right]$, то
\[
\alpha \delta M_{1}+\beta \delta M_{2}=\alpha\left[\delta S_{1}, M_{0}\right]+\beta\left[\delta S_{2}, M_{0}\right]=\left[\alpha \delta S_{1}+\beta \delta S_{2}, M_{0}\right] .
\]

Подпространство $\mathscr{P}_{i}$ определено однэзначно. Пространство $\mathscr{P}$ может быть представлено как
\[
\mathscr{P}=\mathscr{P}_{i} \oplus \mathscr{P}_{c}, \quad \mathscr{P}_{i} \cap \mathscr{P}_{c}=0 .
\]

Подпространство $\mathscr{P}_{c}$ [ср. с (14.18г)] не единственно. Матричная структура пространства $\mathscr{P}_{c}$ может быть выбранє подходящим образом.

Ранее мы уже пояснили, почему между двумя пространствами $\mathscr{P}$ и $\mathscr{P}$ должен существовать некоторый тип двойственности. В частности, существует взаимно однозначное соответствие между (не единственным) пространством $\mathscr{P}_{i}$ и единственным пространством $\mathscr{P}_{i}$. Предположим, что для некоторого $\delta M \in \mathscr{P}_{i}$ можно найти две матрицы $\delta S_{1}, \delta S_{2} \in \mathscr{P}_{i}$, коммутаторы которых с $M_{0}$ дают $\delta M$. Тогда $\delta S_{1}-\delta S_{2} \in \mathscr{P}_{i}$, и из
\[
\left[\delta S_{1}-\delta S_{2}, M_{0}\right]=\delta M-\delta M=0
\]

следует, что $\delta S_{1}-\delta S_{2} \in \mathscr{P}_{c}$. Так как $\mathscr{P}_{c} \cap \mathscr{P}_{i}=0$, то $\delta S_{1}-\delta S_{2}=0$. Поэ1ому соответствие между этими просгранствами таково:
единственно
единственно

Поскольку $\mathscr{S}$ и $\mathscr{P}$ изоморфны $\mathbb{C}^{n^{2}}$, а $\mathscr{P}_{l}$ изоморфно $\mathscr{P}_{i}$, то должно существовать взаимно однозначное соответствие между $\mathscr{P}_{c}$ и $\mathscr{P}_{c}$. Наименьшее универсальное возмущение матрицы $M_{0}$ лежит в $\mathscr{P}_{c}$. Таким образом, $\mathscr{P}_{c}$ может быть построено, как показано ниже:

Пример 2. Предположим, что $M_{0}$ имеет различные собственные значения. Без потери общности можно считать, что матрица $M_{0}$ диагональна и имеет собственные значения $\lambda_{1}
eq \lambda_{3}
eq \ldots
eq \lambda_{n}$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\delta M & =\left[\delta S, M_{0}\right], \\
\delta m_{i j} & =\delta S_{i j}\left(\lambda_{j}-\lambda_{i}\right) .
\end{aligned}
\]

Поскольку собственные значения различны, все внедиагональные элементы возмущения $\delta M$ могут быть порождены внутренним образом. Универсальное возмущение диагональной матрицы с различными собственными значениями само является диагональной матрицей. Возмущение вызывает лишь небольшое смещение значений изолированных собственных значений, не изменяя при этом знак их действительной части ${ }^{1}$ ), или свойства устойчивости $M_{0}$. В этом смысле матрица с $n$ невырожденными (изолированными) собственными значениями аналогична морсовским функциям с невырожденными (изолированными) критическими точками.
Пример 3. Предположим, что $M_{0}$ имеет собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ с вырожденностями $d_{1}, d_{2}, \ldots$. Тогда матрица $M_{0}$ может быть взята в жордановой канонической форме
\[
M_{0}=\left[\begin{array}{l|l}
J_{1}\left(\lambda_{1}\right) & \\
\hline & J_{2}\left(\lambda_{2}\right)
\end{array}\right]
\]

Инфинитезимальное преобразование подобия $\delta S$ также может быть представлено в блочной форме
\[
\delta S=\left[\begin{array}{ccc}
S_{11} & S_{12} & S_{13} \cdots \\
S_{21} & S_{22} & \\
\vdots & & \ddots
\end{array}\right],
\]

где $S_{i j}-d_{i} \times d_{j}$-матрица. Коммутатор дает
\[
\delta M_{i j}=S_{i j} J_{l}\left(\lambda_{j}\right)-J_{i}\left(\lambda_{i}\right) S_{i j} .
\]

Полученное уравнение может быть однозначно разрешено для элементов $d_{i} \times d_{j}$-матрицы $S_{i j}$ через элементы $d_{i} \times d_{j}$-матрицы $\delta M_{i j}$, если $i
eq j$, так как в этом случае $\lambda_{i}
eq \lambda_{j}$. Следовательно, все внеблочно-диагональные возмущения $\delta M$ являются внутренними, и $\mathscr{P}_{c}$ может быть выбрано так, что его матричное представление будет иметь следующую структуру:
\[
\mathscr{P}_{c}=\left[\begin{array}{ccc}
(\delta M)_{11} & 0 & \cdots \\
0 & (\delta M)_{22} & \\
\vdots & & \ddots
\end{array}\right] .
\]

Пример 4. Предположим, что $M_{0}$ имеет $k$-кратно вырожденное собственное значение и ее жорданова каноническая форма имеет структуру
$(14.34$.
1) Предполагается, что все собственные значения имеют отличные ор нуля действительные части,

Подпространство $\mathscr{P}_{c}$ матриц может быть схематически представлено как
$(14.35)$
при этом элементы матриц на отмеченных участках диагонали равны между собой, а остальные элементы равны нулю [сравните с (14.18a)]. Подпространство матриц $\mathscr{P}_{c}$ может быть выбрано так, что его схематическим представлением будет [1]

при этом отмеченные элементы матриц независимы, а остальные равны нулю [сравните с (14.18г)]. Наиболее общее возмущение жордановой матрицы (14.34) $\lambda^{n_{1}} \lambda^{n_{2}} \lambda^{n_{3}} \ldots\left(n_{1} \geqslant n_{2} \geqslant n_{3}>\ldots>1\right)$ [сравните с (14.3)] имеет следующую размерность:
\[
D=n_{1}+3 n_{2}+5 n_{3}+\ldots .
\]

Пример 5. Наиболее общее возмущение жордановой матрицы
\[
M_{0}=\left[\begin{array}{llll}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda
\end{array}\right]
\]

имеет вид
\[
\delta M=\left[\begin{array}{rrr:r}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\hdashline x_{4} & x_{3} & x_{2} & x_{1} \\
x_{5} & 0 & 0 & x_{6}
\end{array}\right]
\]

ших
Смотрите (14.12).
Читатель, который внимательно следил за ходом нарассуждений, не мог не увидеть аналогии, между возмущениями, изучаемыми в г. 4 , и возмущениями, рассматриваемыми в этой главе, однако он также не мог не заметить, что мы потерпели неудачу, пытаясь довести аналогию между анализами функции и матриц до конца. Объясняется это тем, что нелинейные преобразования, описанные в гл. 4, были глобальными, в то время как линейные преобразования, рассмотренные в этой главе, локальны (инфинитезимальны). Инфинитезимальные преобразования подобия были введены для того, чтобы стало возможным работать с линейным векторным пространством $\mathscr{S}$ (алгеброй Ли), а не с группой Ли $G$ преобразований подобия. Освобождение от этих инфинитезимальных ограничений достигается путем замен
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{I} \rightarrow G \text { (групда Ли), } \\
\mathscr{I}_{c} \rightarrow C \text { (централизатор), } \\
\mathscr{P}_{i} \rightarrow G / C \text { (фактор-множество). }
\end{array}
\]

Локальное и глобальное рассмотрения дают эквивалентные результаты, хотя первое значительно проще. Это наводит на мысль о существовании «инфинитезимального аналога» методов, описанных в гл. 4.