Если $M\left(c^{0}\right)$ – вырожденная матрица в $k$-параметрическом семействе линейных операторов $M(c)$, то типичное возмущение полностью ликвидирует вырожденность собственных значений. Попытаемся выяснить, как расщепление собственных значений связано с возмущением $c^{0} \rightarrow c^{0}+\delta c$, с учетом того факта, что подмножество возмущений меры нуль не будет ликвидировать полностью вырожденность, и какова структура этого подмножества в пространстве управляющих параметров $\mathbb{R}^{k}$. Поскольку конкретные жордановы «ростки» имеют канонические возмущения, то на эти вопросы можно ответить «канонически». По существу эти вопросы полностью аналогичны таким вопросам элементарной теории катастроф, как: что представляет собой критическое каноническое многообразие и каково каноническое бифуркационное множество?

Начнем с предположения, что однопараметрическое семейство $n \times n$-матриц имеет один дважды вырожденный корень. В этом случае канонической формой Жордана – Арнольда интересующей нас матрицы будет
\[
\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
t & 0
\end{array}\right]
\]
(ее собственные значения и бифуркационное множество приведены на рис. 14.1).

Рис. 14.1. Каноническая зависимость собственных значений возмущенной жордановой $2 \times 2$-матрицы от универсального возмущения Арнольда $t$ [cp. c (14.59)].
Сплошные линии – вещественные собственные эначения штриховые линии – мнимые собственные значения, Бифуркацнонное множество расположено в $t=0$.

Двухпараметрическое семейство интересующих нас $3 \times 3$ матриц Жордана – Арнольда имеет вид
\[
\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-b & -a & 0
\end{array}\right] .
\]

Собственные значения над плоскостью $(a, b)$ тесно связаны с многообразием катастрофы сборки (при учете добавлений, сделанные выше). Поперечные сечения плоскостями $a=-1,0,+1$ показаны на рис. 14.2,б. Бифуркационное множество в плоскости $(a, b)$ является стандартной сборкой.

Аналогично могут быть определены бифуркационные множества жордановских ростков с $k=3$. Жорданова каноническая форма $\alpha^{4} \simeq A_{4}$ и ее бифуркационное множество показаны на рис. 14.3, a. Бифуркационное множество жордановой формы $\alpha^{3} \beta^{2}$ является прямым произведением бифуркационных множеств, соответствующих катастрофам $A_{3}$ и $A_{2}$, а поэтому оно выглядит так, как показано на рис. 14.3, в. Бифуркационное множество $\alpha^{2} \beta^{2} \gamma^{2}$ является произведением трех прямых $\mathbb{R}^{1}$ (рис. $14.3,2$ ). Не изменяющее следа трехпараметрическое возмущение определяется как
\[
\left[\begin{array}{ll}
\alpha+z & x+y \\
x-y & \alpha-z
\end{array}\right] .
\]

Бифуркационным множеством будет конус $x^{2}+z^{2}-y^{2}=0$ (рис. 14.3, б).
$\diamond \diamond \diamond$ В общем случае бифуркационное множество, соответствующее возмущению жорданова ростка вида $J_{1}(\alpha) J_{2}(\beta) \ldots$, где $J_{1}(\alpha)=\alpha^{p} \alpha^{q} \ldots$, представляет собой прямое произведение бифуркационных множеств, соответствующих жордановым формам для каждого вырожденного собственного значения.

На основании соотношения, существующего между вырожденностью и возмущениями функций и матриц, можно сделать вывод о возможности существования матричных аналогов бибыло показано, бифуркационное множество описывает остаточные вырожденности, не полностью уничтоженные возмущениями. Асимптотическая устойчивость линейной системы вида $d x / d t=$ $=M x$ определяется собственным значением, имеющим наибольшую вещественную часть. Если теперь определить множество Максвелла канонической формы Жордана – Арнольда как множество точек пространства управляющих параметров, в которых два или более несопряженғых собственных значения имеют

Рис. 14.2. Три собственных значения возмущенной жордановой $3 \times 3$-матрицы с канонической зависимостью от параметров универсального возмущения $a, b$.
$a$ – поверхность собственных значений над плоскостью управления выглядит подобно многообразию катастрофы сборки с присоздиненными крыльями. Показаны лишь действительные части комплексных собственных значений; 6 – собственные значения как функции от $b$ при $a=-1,0,+1$. Двойные линии указывают равные вещественные части комплексно-сопряженных собственных значений, а расстояние между штриховыми ли. ниями (сверху и снизу) двойными линиями дают значения мнимых частей комплексносопряженных собственных значений.

равные вещественные части, то динамическая асимптотическая устойчивость будет иметь место на отдельных компонентах множества Максвелла. Следовательно, множества Максвелла для матриц полностью аналогичны множествам Максвелла для функций.