Помимо бифуркационных множеств для элементарных катастроф размерности $k \leqslant 3$ существует другое множество точек в $\mathbb{R}^{R}$, которое представляет структурно неустойчивые функции и тические значения функции совпадают в двух или более критических точках. Такая вырожденность в критическом значении в общем случае может быть удалена при помощи произвольного возмущения. Множество Максвелла состоит из компонент размерности менее чем $k$ в $\mathbb{R}^{k}$ и используется для моделирования физических систем, состояния которых описываются с помощью глобального минимума потенциальной функции. В тех случаях, когда управляющие параметры изменяются так, что глобальное минимальное значение перескакивает из одного локального минимума в другой, в поведении системы наблюдаются качественные изменения. Имеющие пергостепенный интерес в приложениях компоненты множества Максвелла описывают вырождение критического значения глобальюого минимума.
4.1. Уравнения Клаузиуса — Клапейрона

Уравнения, определяющие множество Максвелла $\mathscr{S}_{M}$, называются уравнениями Клаузиуса — Клапейрона и могут быть получены из (5.3). Вначале предположим, что при $c=c^{0} \in \mathbb{R}^{k}$ имеется ровно $t$ изолированных критических точек $x^{(1)}, \ldots, x^{(t)}$, в которых потенциал имеет вырожденные критические значения:
\[
\begin{array}{c}
V^{(1)}=V^{(2)}=\ldots=V^{(t)}, \\
V^{(p)}=V\left(x^{(p)}, c^{0}\right), \quad 1 \leqslant p \leqslant t .
\end{array}
\]

При малом изменении значений управляющих параметров $p$-е критическое значение изменяется на
\[
\delta^{(1)} V^{(p)}=V_{\alpha}^{(p)} \delta c^{a} .
\]

Требование, чтобы все $t$ критуческих значений изменялись на одно и то же число, накладывает $t-1$ ограничений на вариации $\delta c^{\alpha}$ управляющих параметров. При этом получаем следующую систему из $t-1$ уравнении:
\[
\left[V^{(p)}-V^{(p+1)}\right]_{\alpha} \delta c^{\alpha}=0, \quad p=1,2, \ldots, t-1,
\]

или в матричной форме
\[
\left[\begin{array}{cccc}
V_{1}^{(1)}-V_{1}^{(2)} & V_{2}^{(1)}-V_{2}^{(2)} & \ldots & V_{k}^{(1)}-V_{k}^{(2)} \\
V_{1}^{(2)}-V_{1}^{(3)} & V_{2}^{(2)}-V_{2}^{(3)} & \ldots & V_{k}^{(2)}-V_{k}^{(3)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
V_{1}^{(t-1)}-V_{1}^{(t)} & V_{2}^{(t-1)}-V_{2}^{(t)} & \ldots & V_{k}^{(t-1)}-V_{k}^{(t)}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\delta c^{1} \\
\delta c^{2} \\
\vdots \\
\delta c^{k}
\end{array}\right]=0 . \quad\left(5.68^{\prime}\right)
\]

Эти уравнения Қлаузиуса — Клапейрона определяют $k-(t-$ — 1)-мерную касательную плоскость к множеству Максвелла для $t$ вырожденных критических значений в $k$-параметрическом семействе потенциалов.

Множество из $k+1-t$ базисных векторов данной касательной плоскости в точке $c^{0}$ может быть найдено посредством элементарного алгоритма, который имеет место почти везде на мно-
\[
B_{i}=\left[\begin{array}{c}
\delta c^{1} \\
: \\
\cdot \\
\delta c^{t-1} \\
0 \\
. \\
. \\
0
\end{array}\right]+C_{j} \delta s_{j}, \quad C_{i}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
\cdot \\
\cdot \\
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \quad t \leqslant j \leqslant k .
\]
4 зак. 731

Вектор-столбец $C_{j}$ имеет нули во всех строках, за исключением $j$-й строки, а $\delta s_{j}$ — множество $k-t+1$ независимых параметров. Тогда $k+1-t$ векторов $B_{i}$ должны удовлетворять уравнению вида
\[
M B_{j}=C_{j} \delta s_{j},
\]

где $M$ — квадратная матрица порядка $k$, получаемая заменой $(t-1) \times k$-матрицы, появляющейся в $\left(5.68^{\prime}\right)$, на $(k+1-t) \times$ $X k$-матрицу, состоящую из нулей и единиц, так что
\[
\begin{array}{ll}
M_{i j}=V_{i}^{(i)}-V_{i}^{(i+1)}, & 1 \leqslant i \leqslant t-1, \\
M_{i j}=\delta_{i j}, & t \leqslant i \leqslant k, \quad 1 \leqslant j \leqslant k .
\end{array}
\]

Если положить
\[
N_{i j}=(-)^{i+j} \operatorname{det}\left(\hat{M}_{j i}\right),
\]

где $\widehat{M}_{j i}$ — квадратная матрица порядка $
ot{k}-1$, получаемая удалением $j$-й строки и $i$-го столбца из матрицы $M$, то
\[
M N=I_{k}(\operatorname{det} M) \text {. }
\]

Если $\operatorname{det} M
eq 0$, то соотношение (5.73) может быть обращено, и тогда получаем
\[
B_{j} \simeq N C_{j} \delta s_{j} .
\]

Қороче говоря, элементы вектор-столбца $B_{j}$ пропорциональны кофакторам матрицы $M$ :
\[
B_{j} \simeq\left[\begin{array}{c}
N_{1 j} \\
N_{2 j} \\
\vdots \\
N_{k j}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
(-)^{j+1} & \operatorname{det} & \left(\hat{M}_{j 1}\right) \\
(-)^{j+2} & \operatorname{det} & \left(\hat{M}_{j 2}\right) \\
& \vdots & \\
(-)^{j+k} & \operatorname{det} & \left(\hat{M}_{j k}\right)
\end{array}\right] .
\]

Эти векторы порождают касательную плоскость, если $\operatorname{det} M
eq$ $
eq 0$. Если же $\operatorname{det} M=0$, то порождаемое множество может быть определено путем замены $(t-1) \times k$-матрицы в $\left(5.68^{\prime}\right)$ совершенно другим способом. Уравнения (5.75) эквивалентны множеству уравнений
\[
\frac{\partial c_{\alpha}}{\partial s_{j}}=(-)^{\alpha-j} \operatorname{det}\left(\hat{M}_{j \alpha}\right), \quad 1 \leqslant \alpha \leqslant k, \quad t \leqslant j \leqslant k,
\]

для сеператрисы в $R^{k}$.

Пример 1. Қатастрофа складки $A_{2}$ не имеет множества Максвелла, так как изолированные точки, если они существуют, имеют различные критические значения. Если условится считать точку $a \equiv 0$ множеством Максвелла, поскотьку критические значения станозятся вырожденными в вырожденной кригической точке, то множество Максвелла для высших катастроф будет включать это бифуркационное множество в качестве своего подмножества. Пример 2. Точка $a<0, b=0$ лежит в множестве Максвелла катастрофы сборки
\[
V(x ; a, b)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x .
\]

В данной точке
\[
x^{(1)}=-\sqrt{-a}, \quad x^{(2)}=+\sqrt{-a} .
\]

В этих двух точках $\hat{V}^{(1)}=V^{(2)}=-a^{2} / 4,(a, b)$ — это то же, что и $\left(c_{1}, c_{2}\right)$ выше, так что
\[
\begin{array}{ll}
V_{1}^{(1)}=-\frac{a}{2}, & V_{2}^{(1)}=-\sqrt{-a}, \\
V_{1}^{(2)}=-\frac{a}{2}, & V_{2}^{(2)}=+\sqrt{-a} .
\end{array}
\]

В этом случае уравнения Қлаузиуса — Қлапейрона (5.68) сводятся к
\[
(0,-2 \sqrt{-a})\left(\begin{array}{l}
\delta c^{1} \\
\delta c^{2}
\end{array}\right)=0,
\]

а решение имеет вид
\[
B_{2} \simeq\left(\begin{array}{c}
-2 \sqrt{-a} \\
0
\end{array}\right) \delta s_{2}
\]

или $\delta a$ произвольно, $\delta b=0$.
Подобный путь решения оказывается, с одной стороны, довольно сложным, когда речь идет об определении, состоит ли множество Максвелла $\mathscr{P}_{M}$ для $A_{3}$ из луча $a \leqslant 0, b=0$, а с другой стороны, является достаточно про-
$\diamond \diamond \diamond$ С уравнениями Қлаузнуса — Клапейрона (5.68′) легко работать в частном случае, когда $k=t$; система уравнений в частных производных (5.76) сводится к системе обыкновенных цифференциальных уравнений.