Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Помимо бифуркационных множеств для элементарных катастроф размерности $k \leqslant 3$ существует другое множество точек в $\mathbb{R}^{R}$, которое представляет структурно неустойчивые функции и тические значения функции совпадают в двух или более критических точках. Такая вырожденность в критическом значении в общем случае может быть удалена при помощи произвольного возмущения. Множество Максвелла состоит из компонент размерности менее чем $k$ в $\mathbb{R}^{k}$ и используется для моделирования физических систем, состояния которых описываются с помощью глобального минимума потенциальной функции. В тех случаях, когда управляющие параметры изменяются так, что глобальное минимальное значение перескакивает из одного локального минимума в другой, в поведении системы наблюдаются качественные изменения. Имеющие пергостепенный интерес в приложениях компоненты множества Максвелла описывают вырождение критического значения глобальюого минимума. Уравнения, определяющие множество Максвелла $\mathscr{S}_{M}$, называются уравнениями Клаузиуса – Клапейрона и могут быть получены из (5.3). Вначале предположим, что при $c=c^{0} \in \mathbb{R}^{k}$ имеется ровно $t$ изолированных критических точек $x^{(1)}, \ldots, x^{(t)}$, в которых потенциал имеет вырожденные критические значения: При малом изменении значений управляющих параметров $p$-е критическое значение изменяется на Требование, чтобы все $t$ критуческих значений изменялись на одно и то же число, накладывает $t-1$ ограничений на вариации $\delta c^{\alpha}$ управляющих параметров. При этом получаем следующую систему из $t-1$ уравнении: или в матричной форме Эти уравнения Қлаузиуса – Клапейрона определяют $k-(t-$ – 1)-мерную касательную плоскость к множеству Максвелла для $t$ вырожденных критических значений в $k$-параметрическом семействе потенциалов. Множество из $k+1-t$ базисных векторов данной касательной плоскости в точке $c^{0}$ может быть найдено посредством элементарного алгоритма, который имеет место почти везде на мно- Вектор-столбец $C_{j}$ имеет нули во всех строках, за исключением $j$-й строки, а $\delta s_{j}$ – множество $k-t+1$ независимых параметров. Тогда $k+1-t$ векторов $B_{i}$ должны удовлетворять уравнению вида где $M$ – квадратная матрица порядка $k$, получаемая заменой $(t-1) \times k$-матрицы, появляющейся в $\left(5.68^{\prime}\right)$, на $(k+1-t) \times$ $X k$-матрицу, состоящую из нулей и единиц, так что Если положить где $\widehat{M}_{j i}$ – квадратная матрица порядка $ Если $\operatorname{det} M Қороче говоря, элементы вектор-столбца $B_{j}$ пропорциональны кофакторам матрицы $M$ : Эти векторы порождают касательную плоскость, если $\operatorname{det} M для сеператрисы в $R^{k}$. Пример 1. Қатастрофа складки $A_{2}$ не имеет множества Максвелла, так как изолированные точки, если они существуют, имеют различные критические значения. Если условится считать точку $a \equiv 0$ множеством Максвелла, поскотьку критические значения станозятся вырожденными в вырожденной кригической точке, то множество Максвелла для высших катастроф будет включать это бифуркационное множество в качестве своего подмножества. Пример 2. Точка $a<0, b=0$ лежит в множестве Максвелла катастрофы сборки В данной точке В этих двух точках $\hat{V}^{(1)}=V^{(2)}=-a^{2} / 4,(a, b)$ – это то же, что и $\left(c_{1}, c_{2}\right)$ выше, так что В этом случае уравнения Қлаузиуса – Қлапейрона (5.68) сводятся к а решение имеет вид или $\delta a$ произвольно, $\delta b=0$.
|
1 |
Оглавление
|